第六章迭代法數(shù)值分析

第六章迭代法數(shù)值分析第一頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日§1.引言迭代法的基本思想是構(gòu)造一串收斂到解的序列，即建立一種從已有近似解計(jì)算新的近似解的規(guī)則。由不同的計(jì)算規(guī)則得到不同的迭代法，本章介紹單步定常線(xiàn)性迭代法。第二頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日第三頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日第四頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日引入誤差向量則可得由問(wèn)題是在什么條件下所以等價(jià)于也即第五頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日§2.基本迭代法設(shè)有其中A為非奇異矩陣將A分解成其中M是可選擇的非奇異矩陣,且使Mx=d容易求解由此,原問(wèn)題就可轉(zhuǎn)化為等價(jià)方程得:可構(gòu)造迭代法第六頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日J(rèn)acobi迭代法第七頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日第八頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日

Jacobid迭代的矩陣形式第九頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日收斂與解故如果序列收斂,則收斂到解.B稱(chēng)迭代矩陣.第十頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日第十一頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日第十二頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日高斯—塞德?tīng)枺℅auss-Seidel)迭代法第十三頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日第十四頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日第十五頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日用矩陣可表示為:移項(xiàng)得又所以可逆第十六頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日也即選取M為A的下三角部分，即M=D－L，Ａ＝Ｍ－N，則Ａx=b可等價(jià)為（M－N)x=b聯(lián)系上面已經(jīng)得到的矩陣迭代形式,為統(tǒng)一起見(jiàn),記:A=D－L－U第十七頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日等價(jià)為其中或其中Ｇ即為G-S迭代法的迭代矩陣第十八頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日第十九頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日第二十頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日Gauss-Seidel迭代法的計(jì)算過(guò)程如下：第二十一頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日松弛(SOR)法第二十二頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日第二十三頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日SOR迭代法也可以看作是G-S迭代法的一種修正.假設(shè)已知:及首先利用G-S迭代計(jì)算預(yù)測(cè)值加權(quán)平均可得:即得再由和的前i-1個(gè)分量第二十四頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日第二十五頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日返回第二十六頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日松弛法計(jì)算過(guò)程如下：第二十七頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日引入誤差向量則可得由等價(jià)于問(wèn)題是在什么條件下所以等價(jià)于也即§3.迭代法的收斂性作:第二十八頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日第二十九頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日注:其中為矩陣的任一種算子范數(shù)(p244定理1)

第三十頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日注第三十一頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日迭代法基本定理第三十二頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日第三十三頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日矩陣的譜半徑定理2第三十四頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日由此得P248的定理5(迭代法收斂的充分條件)定理5設(shè)有方程組和其定常迭代法如果B的某種算子范數(shù)則:1.迭代法收斂．即對(duì)任取的有２．３．４．證明第三十五頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日(P252定理8)第三十六頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日第三十七頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日第三十八頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日第三十九頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日(特殊方程組迭代法的收斂性P249)第四十頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日第四十一頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日定理6:(對(duì)角占優(yōu)定理P250)如果矩陣A為嚴(yán)格對(duì)角占矩陣或?yàn)椴豢杉s弱對(duì)角占優(yōu)矩陣,則A為非奇異矩陣.第四十二頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日(P251定理7,9,10)<例同時(shí)G-S迭代法也收斂.如1．條件的矩陣，證明第四十三頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日第四十四頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日第四十五頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日特別第四十六頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日第四十七頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日誤差估計(jì)第四十八頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日第四十九頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日第五十頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日第五十一頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日證明：2.3.1.返回第五十二頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日注:返回第五十三頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日證明:只證關(guān)于簡(jiǎn)單迭代法的兩個(gè)，其余兩個(gè)的證明類(lèi)似.(1)設(shè)A具有嚴(yán)格對(duì)角優(yōu)勢(shì)，以下證ρ(BJ)<1反證法，設(shè)BJ有特征值μ,|μ|≥1.3.20第五十四頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日所以μD+L+U也具有嚴(yán)格對(duì)角優(yōu)勢(shì)，所以|μD+L+U|≠0，所以|μ|≥1不可能成立，所以|μ|<1，即ρ(BJ)<1。3.21與矛盾第五十五頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日(2)A不可約且具有對(duì)角優(yōu)勢(shì)，證ρ(BJ)<1，由定理有A非奇異，又（否則A必有一行元素全為零，與A非奇矛盾）用反證法，設(shè)BJ有特征值μ,|μ|≥1.同（1）有(3.20),(3.21)。注意μD+L+U中非零元素的位置與A中非零元素的位置完全