第六章空間力系

第六章空間力系第一頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日工程中常常存在著很多各力的作用線不在同一平面內(nèi)的力系，即空間力系，空間力系是最一般的力系。

(a)圖為空間匯交力系；(b)圖為空間任意力系；

(b)圖中去了風(fēng)力為空間平行力系。迎面風(fēng)力側(cè)面風(fēng)力b第二頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日一、力在空間軸上的投影與分解：

1.力在空間的表示： 力的三要素：大小、方向、作用點(diǎn)(線)

大?。? 作用點(diǎn)：在物體的哪點(diǎn)就是哪點(diǎn)

方向：由、、g三個(gè)方向角確定 由仰角與俯角來確定。bgqFxyO§4–1空間匯交力系第三頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日2、一次投影法（直接投影法）由圖可知：3、二次投影法（間接投影法）當(dāng)力與各軸正向夾角不易確定時(shí)，可先將F投影到xy面上，然后再投影到x、y軸上，即第四頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日4、力沿坐標(biāo)軸分解：若以 表示力沿直角坐標(biāo)軸的正交分量，則：而：所以：FxFyFz第五頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日

1、幾何法：與平面匯交力系的合成方法相同，也可用力多邊形方法求合力。 即：合力等于各分力的矢量和2、解析法： 由于 代入上式 合力 由 為合力在x軸的投影，∴二、空間匯交力系的合成：第六頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日3、合力投影定理：空間力系的合力在任一軸上的投影，等于各分力在同一軸上投影的代數(shù)和。

空間匯交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用線通過匯交點(diǎn).第七頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日三、空間匯交力系的平衡：

稱為平衡方程空間匯交力系的平衡方程∴解析法平衡充要條件為：∴幾何法平衡充要條件為該力系的力多邊形封閉?？臻g匯交力系平衡的充要條件是：力系的合力為零，即：第八頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日空間匯交力系平衡的充分必要條件是：稱為空間匯交力系的平衡方程.該力系的合力等于零，即空間匯交力系平衡的充要條件：該力系中所有各力在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影的代數(shù)和分別為零.第九頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日

三棱柱底面為直角等腰三角形，在其側(cè)平面ABED上作用有一力F，力F與OAB平面夾角為30o，求力F在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影。

例題例題1

空間力系參見動(dòng)畫：例題1(1)第十頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日

利用二次投影法，先將力F投影到Oxy平面上，然后再分別向x，y，z軸投影。

解：

空間力系

例題例題1Fxy

=Fcos30oFx=-Fcos30ocos45oFy

=Fcos30osin45oFz

=Fsin30o參見動(dòng)畫：例題1(2)第十一頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日例題2

例題

如圖所示圓柱斜齒輪，其上受嚙合力Fn的作用。已知斜齒輪的嚙合角(螺旋角)

β和壓力角α，試求力Fn沿x，y

和z

軸的分力。

空間力系第十二頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日例題2

例題

運(yùn)動(dòng)演示

空間力系參見動(dòng)畫：圓柱斜齒輪受力分析第十三頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日例題2

例題將力Fn向z軸和Oxy平面投影解：

空間力系第十四頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日例題2

例題沿各軸的分力為將力Fxy向x，y軸投影

空間力系第十五頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日例4-3求：三根桿所受力.已知：P=1000N,各桿重不計(jì).解：各桿均為二力桿，取球鉸O，

畫受力圖。（拉）第十六頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日§4–2空間力偶理論1、力偶矩以矢量表示－－力偶矩矢空間力偶的三要素（1）大?。毫εc力偶臂的乘積；（3）作用面：力偶作用面。（2）方向：轉(zhuǎn)動(dòng)方向；第十七頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日力偶的轉(zhuǎn)向?yàn)橛沂致菪▌t。從力偶矢末端看去，順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正?？臻g力偶是一個(gè)自由矢量。第十八頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日2、空間力偶等效定理

作用在同一剛體上的兩個(gè)空間力偶，如果其力偶矩矢相等，則它們彼此等效。（2）力偶對(duì)任意點(diǎn)取矩都等于力偶矩，不因矩心的改變而改變力偶的性質(zhì)(1）力偶中兩力在任意坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和為零.（3）只要保持力偶矩不變，力偶可在其作用面內(nèi)任意移轉(zhuǎn)，且可以同時(shí)改變力偶中力的大小與力偶臂的長(zhǎng)短，對(duì)剛體的作用效果不變.(4)只要保持力偶矩不變，力偶可從其所在平面移至另一與此平面平行的任一平面，對(duì)剛體的作用效果不變.(5)力偶沒有合力，力偶平衡只能由力偶來平衡.第十九頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日力偶矩相等的力偶等效力偶矩矢是自由矢量自由矢量（搬來搬去，滑來滑去）第二十頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日3．空間力偶系的合成與平衡方程==有為合力偶矩矢，等于各分力偶矩矢的矢量和.如同右圖第二十一頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日合力偶矩矢的大小和方向余弦稱為空間力偶系的平衡方程.空間力偶系平衡的充分必要條件是:合力偶矩矢等于零，即

第二十二頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日定義： 它是代數(shù)量，方向規(guī)定+–結(jié)論：力對(duì)平行它的軸的矩為零。即力F與軸共面時(shí)，力對(duì)軸之矩為零。[證]§4–3力對(duì)軸之矩和力對(duì)點(diǎn)之矩1.力對(duì)軸的矩第二十三頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日

力與軸相交或與軸平行（力與軸在同一平面內(nèi)），力對(duì)該軸的矩為零.第二十四頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日力對(duì)平行它的軸的矩為零。即力F與軸共面時(shí)，力對(duì)軸之矩為零。第二十五頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日

2、力對(duì)點(diǎn)的矩以矢量表示——力矩矢（3）作用面：力矩作用面.（2）方向:轉(zhuǎn)動(dòng)方向（1）大小:力F與力臂的乘積三要素：在平面中：力對(duì)點(diǎn)的矩是代數(shù)量。在空間中：力對(duì)點(diǎn)的矩是矢量。力矩的幾何意義:mo(F)=±2OAB面積=±Fd第二十六頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日力對(duì)點(diǎn)O的矩在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影為mo(F)=

r×F

=第二十七頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日

若各力的作用線均在xy

平面內(nèi).則Fz=0,即任一力的坐標(biāo)

z=0則有mo(F)=xFx-yFy=說明：由于力矩矢的大小和方向都與矩心的位置有關(guān)，故力矩矢的始端必須在矩心，不可任意挪動(dòng)，這種矢量稱為定位矢量第二十八頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日即：三、力對(duì)點(diǎn)的矩與力對(duì)通過該點(diǎn)的軸之矩的關(guān)系[證]通過O點(diǎn)作任一軸Z，則：由幾何關(guān)系：所以：

定理：力對(duì)點(diǎn)的矩矢在通過該點(diǎn)的任意軸上的投影等于這力對(duì)于該軸的矩。這就是力對(duì)點(diǎn)之矩與對(duì)通過該點(diǎn)軸之矩的關(guān)系。

第二十九頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日例設(shè)曲桿OABD位于同一平面內(nèi),且OA垂直于AB,AB垂直于BD,如圖所示.在曲桿D點(diǎn)上作用一力P,其大小為p=2kN.力P位于垂直于BD的平面內(nèi),且于豎直線成夾角=30o.求力P分別對(duì)圖示直角坐標(biāo)軸的矩.xzyoABD3cm4cm5cmP第三十頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日PxzyoABD3cm4cm5cm解：(1)根據(jù)力對(duì)軸的矩的定義計(jì)算M1oPyzd1作和x軸垂直的平面M1.找出交點(diǎn)O.確定力P在平面M1內(nèi)的分力Pyz=1.732kN.在平面M1內(nèi)確定力Pyz到矩心O的距離即力臂d1=8cm計(jì)算力Pyz對(duì)點(diǎn)A的矩亦即力P對(duì)x軸的矩mx(P)=mo(Pyz)=-Pyz

d1=-13.86kN·cm

第三十一頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日作和y軸垂直的平面M2.PxzyoABD3cm4cm5cm確定力P在平面M2內(nèi)的分力Pxz=P=1kN.在平面M2內(nèi)確定力Pxz到矩心O的距離即力臂d2=3.464cm計(jì)算力Pxz對(duì)點(diǎn)A的矩亦即力P對(duì)y軸的矩my(P)=mo(Pxz)=-Pxz

d2=-6.928kN·cmM2Pd2亦可用合力矩定理計(jì)算:my(P)=mo(Pz)=-Pz

d=-6.928kN·cm找出交點(diǎn)O.o第三十二頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日PxzyoABD3cm4cm5cm作和z軸垂直的平面M3.o找出交點(diǎn)O.確定力P在平面M3內(nèi)的分力Pxy=1kN.在平面M3內(nèi)確定力P到矩心O的距離即力臂d3=8cm計(jì)算力Pxy對(duì)點(diǎn)O的矩亦即力P對(duì)z軸的矩mz(P)=mo(Pxy)=-Pxy

d2=-8kN·cmPxyM3d2第三十三頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日(2)根據(jù)力矩關(guān)系定理計(jì)算x=-4px=psin30oxzyoABD3cm4cm5cmy=8z=0

py=0pz=-pcos30o第三十四頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日§4–4空間任意力系向一點(diǎn)的簡(jiǎn)化·主矢和主矩1．

空間任意力系向一點(diǎn)的簡(jiǎn)化空間匯交與空間力偶系等效代替一空間任意力系.第三十五頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日主矩主矢空間力偶系的合力偶矩由力對(duì)點(diǎn)的矩與力對(duì)軸的矩的關(guān)系，有空間匯交力系的合力第三十六頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日

結(jié)論:

空間任意力系向任一點(diǎn)簡(jiǎn)化,一般可得到一個(gè)力和一個(gè)力偶.這個(gè)力作用在簡(jiǎn)化中心,它的矢量稱為原力系的主矢,并等于這力系中各力的矢量和;這個(gè)力偶的力偶矩矢等于原力系中各力對(duì)簡(jiǎn)化中心的矩的矢量和,并稱為原力系對(duì)簡(jiǎn)化中心的主矩.

主矢R'只取決于原力系中各力的大小和方向,與簡(jiǎn)化中心的位置無關(guān);而主矩Mo

的大小和方向都與簡(jiǎn)化中心的位置有關(guān).第三十七頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日（1）

合力合力.合力作用線距簡(jiǎn)化中心為過簡(jiǎn)化中心合力合力矩定理：合力對(duì)某點(diǎn)(軸）之矩等于各分力對(duì)同一點(diǎn)（軸）之矩的矢量和.第三十八頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日空間一般力系向一點(diǎn)簡(jiǎn)化得一主矢和主矩，下面針對(duì)主矢、主矩的不同情況分別加以討論。1、若 ,則該力系平衡（下節(jié)專門討論）。2、若 則力系可合成一個(gè)合力偶，其矩等于原力系對(duì)于簡(jiǎn)化中心的主矩MO。此時(shí)主矩與簡(jiǎn)化中心的位置無關(guān)。3、若 則力系可合成為一個(gè)合力，主矢等于原力系合力矢，合力通過簡(jiǎn)化中心O點(diǎn)。（此時(shí)與簡(jiǎn)化中心有關(guān)，換個(gè)簡(jiǎn)化中心，主矩不為零）

2．空間任意力系的簡(jiǎn)化結(jié)果分析（最后結(jié)果）第三十九頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日

4、若 此時(shí)分兩種情況討論。即：①

②

由于做①若 時(shí)可進(jìn)一步簡(jiǎn)化，將MO變成(

R'',R)使R'與R''抵消只剩下R。第四十頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日②若 時(shí)，——為力螺旋的情形（新概念，又移動(dòng)又轉(zhuǎn)動(dòng)）[例]①擰螺絲

②炮彈出膛時(shí)炮彈螺線③R′不平行也不垂直M0，最一般的成任意角在此種情況下，<1>首先把MO

分解為M//和M

<2>將M//和M

分別按①、②處理。''第四十一頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日M

使主矢R'搬家，搬家的矩離：所以在O'點(diǎn)處形成一個(gè)力螺旋。因?yàn)镸//是自由矢量，可將M//搬到O'處M//不變，第四十二頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日§4–5空間任意力系的平衡方程空間任意力系平衡的充要條件：1.空間任意力系的平衡方程

空間任意力系平衡的充要條件：所有各力在三個(gè)坐標(biāo)軸中每一個(gè)軸上的投影的代數(shù)和等于零，以及這些力對(duì)于每一個(gè)坐標(biāo)軸的矩的代數(shù)和也等于零.該力系的主矢、主矩分別為零.第四十三頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日3.空間力系平衡問題舉例2.空