第十二章 動(dòng)量矩定理張秀洲分享

第十二章動(dòng)量矩定理張秀洲分享第一頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日§12-1質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩§12-2動(dòng)量矩定理§12-3剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程§12-4剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量§12-5質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理§12-6剛體的平面運(yùn)動(dòng)微分方程

第十二章動(dòng)量矩定理本章學(xué)習(xí)內(nèi)容第二頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日

理解并熟練計(jì)算動(dòng)量矩；熟練掌握對(duì)固定點(diǎn)和對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理；能正確選擇和綜合應(yīng)用這些定理求解質(zhì)點(diǎn)及質(zhì)點(diǎn)系（主要是剛體系）的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題；掌握剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算；能應(yīng)用剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)和平面運(yùn)動(dòng)微分方程求解有關(guān)問(wèn)題。本章學(xué)習(xí)要求第三頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日§12-1質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩1．質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩對(duì)點(diǎn)O的動(dòng)量矩對(duì)z軸的動(dòng)量矩

代數(shù)量，從z軸正向看，逆時(shí)針為正，順時(shí)針為負(fù)。第十二章動(dòng)量矩定理第四頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日

單位:kg·m2/s

2．質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩

對(duì)點(diǎn)的動(dòng)量矩對(duì)軸的動(dòng)量矩

即

第十二章動(dòng)量矩定理§12-1質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩第五頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日（1）剛體平移

可將全部質(zhì)量集中于質(zhì)心，作為一個(gè)質(zhì)點(diǎn)來(lái)計(jì)算。,（2）剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量第十二章動(dòng)量矩定理§12-1質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩第六頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日

§12-2動(dòng)量矩定理

1．質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理設(shè)O為定點(diǎn)，有：其中:

（O為定點(diǎn)）第十二章動(dòng)量矩定理第七頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日投影式:因此

稱為質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理：質(zhì)點(diǎn)對(duì)某定點(diǎn)的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，等于作用力對(duì)同一點(diǎn)的矩。第十二章動(dòng)量矩定理

§12-2動(dòng)量矩定理第八頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日得稱為質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理：質(zhì)點(diǎn)系對(duì)某定點(diǎn)O的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力對(duì)于同一點(diǎn)的矩的矢量和。2.質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理由于

第十二章動(dòng)量矩定理

§12-2動(dòng)量矩定理第九頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日投影式:內(nèi)力不能改變質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩。第十二章動(dòng)量矩定理

§12-2動(dòng)量矩定理第十頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日例12-1已知：,小車(chē)不計(jì)摩擦。求:小車(chē)的加速度。解:由,，得第十二章動(dòng)量矩定理

§12-2動(dòng)量矩定理第十一頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日例12-2：已知,,,,,,不計(jì)摩擦.求:（1）

（2）O處約束力

（3）繩索張力，第十二章動(dòng)量矩定理

§12-2動(dòng)量矩定理第十二頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日由

,得解：(1)（2）由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理第十二章動(dòng)量矩定理

§12-2動(dòng)量矩定理第十三頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日

（3）

研究（4）研究第十二章動(dòng)量矩定理

§12-2動(dòng)量矩定理第十四頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日3．動(dòng)量矩守恒定律若,若,則常量。例：面積速度定理有心力：力作用線始終通過(guò)某固定點(diǎn)，該點(diǎn)稱力心。由于,有

常矢量則常矢量；第十二章動(dòng)量矩定理

§12-2動(dòng)量矩定理第十五頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日即常量由圖,

因此,常量（1）與必在一固定平面內(nèi)，即點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡是平面曲線。

稱面積速度。

面積速度定理：質(zhì)點(diǎn)在有心力作用下其面積速度守恒。第十二章動(dòng)量矩定理

§12-2動(dòng)量矩定理第十六頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日求：剪斷繩后,角時(shí)的.第十二章動(dòng)量矩定理

§12-2動(dòng)量矩定理例12-4：兩小球質(zhì)量皆為,初始角速度第十七頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日時(shí),

時(shí),由,得解：第十二章動(dòng)量矩定理

§12-2動(dòng)量矩定理第十八頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日

§12-3剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程主動(dòng)力:約束力:即:或或轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程第十二章動(dòng)量矩定理第十九頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日例12-5:已知:，求.解:第十二章動(dòng)量矩定理

§12-3剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程第二十頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日求微小擺動(dòng)的周期。例12-6：物理擺（復(fù)擺），已知，第十二章動(dòng)量矩定理

§12-3剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程第二十一頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日解：微小擺動(dòng)時(shí)，即：通解為

稱角振幅，稱初相位，由初始條件確定。周期第十二章動(dòng)量矩定理

§12-3剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程第二十二頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日求：制動(dòng)所需時(shí)間。例12-7：已知：，動(dòng)滑動(dòng)摩擦系數(shù)，第十二章動(dòng)量矩定理

§12-3剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程第二十三頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日解：

§12-3剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程第十二章動(dòng)量矩定理第二十四頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日例12-8：已知求：.解：因，，

§12-3剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程第十二章動(dòng)量矩定理得：第二十五頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日§12-4剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

單位：kg·m2

1.簡(jiǎn)單形狀物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量計(jì)算(1)均質(zhì)細(xì)直桿對(duì)一端的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量由，得第十二章動(dòng)量矩定理第二十六頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日（2）均質(zhì)薄圓環(huán)對(duì)中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（3）均質(zhì)圓板對(duì)中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量式中：

或§12-4剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量第十二章動(dòng)量矩定理第二十七頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日2.回轉(zhuǎn)半徑（慣性半徑）

或3．平行軸定理

式中軸為過(guò)質(zhì)心且與軸平行的軸，為與軸之間的距離。即：剛體對(duì)于任一軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，等于剛體對(duì)于通過(guò)質(zhì)心并與該軸平行的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，加上剛體的質(zhì)量與兩軸間距離平方的乘積?！?2-4剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量第十二章動(dòng)量矩定理第二十八頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日證明：因?yàn)椋河?，得?2-4剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量第十二章動(dòng)量矩定理第二十九頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日例12-9：均質(zhì)細(xì)直桿，已知.求：對(duì)過(guò)質(zhì)心且垂直于桿的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。要求記住三個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：（2）均質(zhì)細(xì)直桿對(duì)一端的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（3）均質(zhì)細(xì)直桿對(duì)中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量則

對(duì)一端的軸，有：解：§12-4剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量第十二章動(dòng)量矩定理（1）均質(zhì)圓盤(pán)對(duì)盤(pán)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量第三十頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日4．組合法

求：.例12-10：已知桿長(zhǎng)為質(zhì)量為，圓盤(pán)半徑為，質(zhì)量為.§12-4剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量第十二章動(dòng)量矩定理第三十一頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日解：§12-4剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量第十二章動(dòng)量矩定理第三十二頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日

解：其中由，得：例12-11：已知：，

求.§12-4剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量第十二章動(dòng)量矩定理第三十三頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日5．實(shí)驗(yàn)法例：求對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。將曲柄懸掛在軸O上，作微幅擺動(dòng).由其中已知,可測(cè)得，從而求得。解：§12-4剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量第十二章動(dòng)量矩定理第三十四頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日6.查表法均質(zhì)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量薄壁圓筒細(xì)直桿慣性半徑轉(zhuǎn)動(dòng)慣量簡(jiǎn)圖物體的形狀§12-4剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量第十二章動(dòng)量矩定理體積第三十五頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日薄壁空心球空心圓柱圓柱§12-4剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量第十二章動(dòng)量矩定理第三十六頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日?qǐng)A環(huán)圓錐體實(shí)心球§12-4剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量第十二章動(dòng)量矩定理第三十七頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日矩形薄板長(zhǎng)方體橢圓形薄板第十二章動(dòng)量矩定理§12-4剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量第三十八頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日§12-5質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理1．對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩有由于得其中：第十二章動(dòng)量矩定理第三十九頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日即：無(wú)論是以相對(duì)速度或以絕對(duì)速度計(jì)算質(zhì)點(diǎn)系對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩其結(jié)果相同。對(duì)任一點(diǎn)O的動(dòng)量矩：第十二章動(dòng)量矩定理§12-5質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理第四十頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日2.相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理由于即第十二章動(dòng)量矩定理§12-5質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理第四十一頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理:質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力對(duì)質(zhì)心的主矩.得或第十二章動(dòng)量矩定理§12-5質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理第四十二頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日或§12-6剛體的平面運(yùn)動(dòng)微分方程第十二章動(dòng)量矩定理第四十三頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日以上各組均稱為剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程.應(yīng)用時(shí)一般用投影式：第十二章動(dòng)量矩定理第十二章動(dòng)量矩定理§12-6剛體的平面運(yùn)動(dòng)微分方程第四十四頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日

例12-12半徑為r，質(zhì)量為m的均質(zhì)圓輪沿水平直線滾動(dòng)，如圖所示.設(shè)輪的慣性半徑為，作用于輪的力偶矩為M.求輪心的加速度.如果圓輪對(duì)地面的滑動(dòng)摩擦因數(shù)為f,問(wèn)力偶M必須符合什么條件不致使圓輪滑動(dòng)?第十二章動(dòng)量矩定理§12-6剛體的平面運(yùn)動(dòng)微分方程第四十五頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日解：其中得純滾動(dòng)的條件：即第十二章動(dòng)量矩定理§12-6剛體的平面運(yùn)動(dòng)微分方程第四十六頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日

例12-13均質(zhì)圓輪半徑為r質(zhì)量為m

，

受到輕微擾動(dòng)后，在半徑為R的圓弧上往復(fù)滾動(dòng)，如圖所示.設(shè)表面足夠粗糙，使圓輪在滾動(dòng)時(shí)無(wú)滑動(dòng)。求:質(zhì)心C的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。第十二章動(dòng)量矩定理§12-6剛體的平面運(yùn)動(dòng)微分方程第四十七頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日由于解:第十二章動(dòng)量矩定理§12-6剛體的平面運(yùn)動(dòng)微分方程第四十八頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日其解為式中運(yùn)動(dòng)方程為得得由時(shí)第十二章動(dòng)量矩定理§12-6剛體的平面運(yùn)動(dòng)微分方程第四十九頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量對(duì)于某點(diǎn)（或某軸）的矩稱為質(zhì)點(diǎn)對(duì)于該點(diǎn)（或該軸）的動(dòng)量矩。質(zhì)點(diǎn)系對(duì)于某點(diǎn)O的動(dòng)量矩等于各質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量對(duì)點(diǎn)O的矩的矢量和，即質(zhì)點(diǎn)系對(duì)于某軸z的動(dòng)量矩等于各質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量對(duì)軸z的矩的代數(shù)和，即本章小結(jié)第五十頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩定理（相對(duì)于慣性參考系）：若z軸通過(guò)點(diǎn)O，則質(zhì)點(diǎn)系對(duì)于點(diǎn)O的動(dòng)量矩在z軸上的投影等于質(zhì)點(diǎn)系對(duì)于z軸的動(dòng)