第十五章分析動力學基礎

第十五章分析動力學基礎第一頁，共三十一頁，2022年，8月28日■

引言■動力學普遍方程■討論■拉格朗日方程第15章分析動力學基礎第二頁，共三十一頁，2022年，8月28日＊拓寬研究領域矢量動力學又稱為牛頓－歐拉動力學■引言經(jīng)典動力學發(fā)展的兩個方面：＊尋求新的表達形式將虛位移原理和達朗貝爾原理結(jié)合應用于動力學建立分析力學的新體系。該體系組成之一即拉格朗日力學牛頓運動定律由單個自由質(zhì)點

受約束質(zhì)點和質(zhì)點系。歐拉將牛頓運動定律剛體和理想流。第三頁，共三十一頁，2022年，8月28日■動力學普遍方程★動力學普遍方程★應用舉例

第四頁，共三十一頁，2022年，8月28日考察由n個質(zhì)點的、具有理想約束的系統(tǒng)。根據(jù)達朗貝爾原理，有主動力約束力慣性力令系統(tǒng)有任意一組虛位移系統(tǒng)的總虛功為★

動力學普遍方程利用理想約束條件得到——動力學普遍方程（達朗貝爾－拉格朗日方程）任意瞬時作用于具有理想、雙面約束的系統(tǒng)上的主動力與慣性力在系統(tǒng)的任意虛位移上的元功之和等于零。稱達朗貝爾－拉格朗日原理(d'Alembert–Lagrangeprinciple)。第五頁，共三十一頁，2022年，8月28日動力學普遍方程的直角坐標形式動力學普遍方程★

動力學普遍方程適用于具有定常（或非定常）約束的系統(tǒng)；適用于具有完整（或非完整）約束的系統(tǒng)；適用于具有有勢力（或無勢力）的系統(tǒng)。動力學普遍方程：適用于具有理想約束或雙面約束的系統(tǒng)；第六頁，共三十一頁，2022年，8月28日＊達朗貝爾－拉格朗日方程主要應用于求解動力學第二類問題，即：已知主動力求系統(tǒng)的運動規(guī)律。＊應用達朗貝爾－拉格朗日方程求解系統(tǒng)運動規(guī)律時，重要的是正確分析運動，并在系統(tǒng)上施加慣性力?！飸门e例＊由于達朗貝爾－拉格朗日方程中不包含約束力，因此，不需要解除約束，也不需要將系統(tǒng)拆開。＊應用達朗貝爾－拉格朗日方程時，需要正確分析主動力和慣性力作用點的虛位移，并正確計算相應的虛功。第七頁，共三十一頁，2022年，8月28日例題1BACllllO1x1y1離心調(diào)速器已知：m1－球A、B的質(zhì)量；m2－重錘C的質(zhì)量；l－桿件的長度；－O1y1軸的旋轉(zhuǎn)角速度。求：－的關系?！飸门e例第八頁，共三十一頁，2022年，8月28日CllllO1xyAB

解：不考慮摩擦力，這一系統(tǒng)的約束為理想約束；系統(tǒng)具有一個自由度。取廣義坐標q=1、分析運動、確定慣性力球A、B繞

y軸等速轉(zhuǎn)動；重錘靜止不動。球A、B的慣性力為FIBFIAm1

gm1

gm2

g2、給系統(tǒng)有一虛位移

。A、B、C

三處的虛位移分別為rA、rB、rCrBrArC3、應用達朗貝爾－拉格朗日方程第九頁，共三十一頁，2022年，8月28日CllllO1xyABm1

gm1

gm2

grBrArC

根據(jù)幾何關系，有FIBFIA第十頁，共三十一頁，2022年，8月28日例題2xOyC2D質(zhì)量為m1的三棱柱ABC通過滾輪擱置在光滑的水平面上。質(zhì)量為m2、半徑為R的均質(zhì)圓輪沿三棱柱的斜面AB無滑動地滾下。求：1、三棱柱后退的加速度a1；2、圓輪質(zhì)心C2相對于三棱柱加速度ar。C1ACB★應用舉例第十一頁，共三十一頁，2022年，8月28日xOyC2DC1ACB解：1、分析運動三棱柱作平動，加速度為a1。a1圓輪作平面運動，質(zhì)心的牽連加速度為ae=a1；質(zhì)心的相對加速度為ar；圓輪的角加速度為2。aear22、施加慣性力m1gm2gFI1FI2eFI2rMI23、確定虛位移xOyC2DC1ACBm1gm2gFI1FI2eFI2rMI2x考察三棱柱和圓盤組成的系統(tǒng)，系統(tǒng)具有兩個自由度第十二頁，共三十一頁，2022年，8月28日xOyC2DC1ACBm1gm2gFI1FI2eFI2rMI2x4、應用達朗貝爾－拉格朗日方程求解聯(lián)立方程，得：第十三頁，共三十一頁，2022年，8月28日■拉格朗日方程★拉格朗日關系式★

拉格朗日方程★拉格朗日方程的有勢力形式★拉格朗日方程的應用第十四頁，共三十一頁，2022年，8月28日考察由n個質(zhì)點組成的系統(tǒng)，系統(tǒng)具有s個理想的、且為完整的約束，系統(tǒng)的廣義坐標數(shù)為N=3n-s。第i個質(zhì)點的位矢為★拉格朗日關系式第十五頁，共三十一頁，2022年，8月28日對任意一個廣義坐標qa求偏導數(shù)如果將位矢對任意一個廣義坐標qa求偏導數(shù)，再對時間求導數(shù)，則得到★拉格朗日關系式比較上兩式：＝——第二個拉格朗日關系式位矢ri對qj的偏導數(shù)與位矢ri對時間t的全導數(shù)運算可以互換(微分記號互換)第十六頁，共三十一頁，2022年，8月28日由達朗貝爾－拉格朗日方程★拉格朗日關系式廣義主動力FQj廣義慣性力FIj第十七頁，共三十一頁，2022年，8月28日廣義主動力FQj廣義慣性力FIj引入動能函數(shù)——達朗貝爾－拉格朗日方程的廣義坐標形式對于只具有完整約束的系統(tǒng)，由于qj

的獨立性，qj

(j=1,2,…,N)得到此即拉格朗日方程，或稱為第二類拉格朗日方程[Lagrangeequation(ofthesecondkind)]。第十八頁，共三十一頁，2022年，8月28日如果作用在系統(tǒng)上的主動力都是有勢力，根據(jù)有勢力的廣義主動力★拉格朗日方程的有勢力形式引入拉格朗日函數(shù)L＝T－V得到主動力為有勢力的拉格朗日方程第十九頁，共三十一頁，2022年，8月28日對于只具有完整約束、自由度為N的系統(tǒng)，可以得到由N個拉格朗日方程組成的方程組。應用拉格朗日方程，一般應遵循以下步驟：○

首先，要判斷約束性質(zhì)是否完整、主動力是否有勢，決定采用哪一種形式的拉格朗日方程?！?/p>

其次，要確定系統(tǒng)的自由度，選擇合適的廣義坐標。○按照所選擇的廣義坐標，寫出系統(tǒng)的動能、勢能或廣義力?！饘幽芑蚶窭嗜蘸瘮?shù)、廣義力代入拉格朗日方程。★拉格朗日方程的應用第二十頁，共三十一頁，2022年，8月28日例題3xOxl0AB質(zhì)量為m、長度為l的均質(zhì)桿AB可以繞A端的鉸鏈在平面內(nèi)轉(zhuǎn)動。A端的小圓輪與剛度系數(shù)為k的彈簧相連，并可在滑槽內(nèi)上下滑動。彈簧的原長為l0。求：系統(tǒng)的運動微分方程Ck★拉格朗日方程的應用第二十一頁，共三十一頁，2022年，8月28日xOxl0ABCk

解：1、系統(tǒng)的約束為完整約束，主動力為有勢力。2、系統(tǒng)具有兩個自由度，廣義坐標選擇為q=(x,),x坐標的原點取在彈簧原長的下方。3、計算系統(tǒng)的動能：不計彈簧的質(zhì)量，系統(tǒng)的動能即為AB桿的動能速度vC的確定第二十二頁，共三十一頁，2022年，8月28日xOxl0ABCk系統(tǒng)的勢能由彈簧勢能與重力勢能所組成，以O點為共同的勢能零點：拉格朗日函數(shù)4、應用拉格朗日方程運動微分方程第二十三頁，共三十一頁，2022年，8月28日第二十四頁，共三十一頁，2022年，8月28日BAk例題4Or0均質(zhì)桿OA，重量為W，長度為l繞O作定軸轉(zhuǎn)動。重量同為W的滑塊B套在OA桿上，可在OB桿上滑動。剛度系數(shù)為k、不計質(zhì)量的彈簧，兩端分別與A、B相連。彈簧未變形時，OB＝r0。

求：系統(tǒng)的運動微分方程(摩擦忽略不計)★拉格朗日方程的應用第二十五頁，共三十一頁，2022年，8月28日BAkr0B'ArO

解：1、系統(tǒng)的約束為完整約束，且主動力有勢。2、系統(tǒng)的自由度N＝2。取廣義坐標q=(r,

)。3、確定系統(tǒng)的動能和勢能：WFWF零勢能取彈簧原長及水平線。應用拉格朗日方程建立系統(tǒng)的運動微分方程求解。第二十六頁，共三十一頁，2022年，8月28日例題5★拉格朗日方程的應用圖示系統(tǒng)中，物塊A與球B看成兩個質(zhì)點，質(zhì)量分別為,用質(zhì)量不計的長為l的桿相連。水平面光滑，求系統(tǒng)的運動微分方程。第二十七頁，共三十一頁，2022年，8月28日解：系統(tǒng)受理想約束，主動力(重力)有勢。系統(tǒng)有二自由度，選為廣義坐標。代入拉氏方程系統(tǒng)運動微分方程第二十八頁，共三十一頁，2022年，8月28日適用于具有定常（或非定常）約束的系統(tǒng)；適用于具有完整（或非完整）約束的系統(tǒng)；適用于具有有勢力（或無勢力）的系統(tǒng)。動力學普遍方程：適用于具有理想約束或雙面約束的系統(tǒng)；■討論※第一類拉格朗日方程，即達朗貝爾－拉格朗日方程，又稱為動力學普遍方程。第二十九頁，共三十一頁，2022年，8月28日※

第二類拉格朗日方程:僅用動能、勢能以及廣義主動力等少數(shù)幾個標量便可描述復雜質(zhì)點系的運動。但只能用于具有完整約束的系統(tǒng)?；拘问街鲃恿τ袆菪问街鲃恿Π袆萘头怯袆萘π问?j=1,2,…,N)(j=1,2,…,N)(j=