第二講向量與矩陣運(yùn)算

第二講向量與矩陣運(yùn)算第一頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日

向量與矩陣的生成向量與矩陣運(yùn)算

向量的生成

直接輸入:a=[1,2,3,4]冒號(hào)運(yùn)算符a=[1:4]

==>a=[1,2,3,4]b=[0:pi/3:pi]

==>

b=[0,1.0472,2.0944,3.1416]c=[6:-2:0]

==>

c=[6,4,2,0]例：

從矩陣中抽取行或列第二頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日

向量與矩陣的生成（續(xù)）向量與矩陣運(yùn)算

矩陣的生成

直接輸入:A=[1,2,3;4,5,6;7,8,9]

由向量生成

由函數(shù)生成

通過(guò)編寫(xiě)m文件生成例：>>

x=[1,2,3];y=[2,3,4];>>

A=[x,y],B=[x;y]例：>>

C=magic(3)第三頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日常見(jiàn)矩陣生成函數(shù)zeros(m,n)生成一個(gè)m行n列的零矩陣，m=n時(shí)可簡(jiǎn)寫(xiě)為zeros(n)ones(m,n)生成一個(gè)m行n列的元素全為1的矩陣,

m=n時(shí)可寫(xiě)為ones(n)eye(m,n)生成一個(gè)主對(duì)角線全為1的m行n列矩陣,

m=n時(shí)可簡(jiǎn)寫(xiě)為eye(n)，即為n維單位矩陣diag(X)若X是矩陣，則diag(X)為X的主對(duì)角線向量若X是向量，diag(X)產(chǎn)生以X為主對(duì)角線的對(duì)角矩陣tril(A)提取一個(gè)矩陣的下三角部分triu(A)提取一個(gè)矩陣的上三角部分rand(m,n)產(chǎn)生0～1間均勻分布的隨機(jī)矩陣m=n時(shí)簡(jiǎn)寫(xiě)為rand(n)randn(m,n)產(chǎn)生均值為0，方差為1的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)矩陣

m=n時(shí)簡(jiǎn)寫(xiě)為randn(n)第四頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日矩陣操作提取矩陣的部分元素：冒號(hào)運(yùn)算符

A(:)A的所有元素

A(:,:)

二維矩陣A的所有元素

A(:,k)A的第k列，A(k,:)A的第k行

A(k:m)A的第k到第m個(gè)元素

A(:,k:m)A的第k到第m列組成的子矩陣A(:)與A(:,:)的區(qū)別?如何獲得由A的第一、三行和第一、二列組成的子矩陣？自己動(dòng)手第五頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日矩陣操作矩陣的旋轉(zhuǎn)

fliplr(A)

左右旋轉(zhuǎn)

flipud(A)

上下旋轉(zhuǎn)

rot90(A)

逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度；

rot90(A,k)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)k×90

度例：>>

A=[123;456]>>

B=fliplr(A)>>

C=flipud(A)>>

D=rot90(A),E=rot90(A,-1)第六頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日矩陣操作矩陣的轉(zhuǎn)置與共軛轉(zhuǎn)置

’

共軛轉(zhuǎn)置

.’

轉(zhuǎn)置，矩陣元素不取共軛例：>>

A=[12;2i3i]>>

B=A’>>

C=A.’點(diǎn)與單引號(hào)之間不能有空格！第七頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日矩陣操作改變矩陣的形狀：reshapereshape(A,m,n):將矩陣元素按

列方向

進(jìn)行重組重組后得到的新矩陣的元素個(gè)數(shù)必須與原矩陣元素個(gè)數(shù)相等！

第八頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日矩陣操作查看矩陣的大?。簊ize

size(A)

列出矩陣A的行數(shù)和列數(shù)

size(A,1)返回矩陣A的行數(shù)

size(A,2)返回矩陣A的列數(shù)例：>>

A=[123;456]>>

size(A)>>

size(A,1)>>

size(A,2)

length(x)返回向量X的長(zhǎng)度

length(A)等價(jià)于max(size(A))第九頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日矩陣基本運(yùn)算

矩陣的加減：對(duì)應(yīng)分量進(jìn)行運(yùn)算要求參與加減運(yùn)算的矩陣具有相同的維數(shù)例：>>

A=[123;456];B=[321;654]>>

C=A+B;D=A-B;矩陣的普通乘法要求參與運(yùn)算的矩陣滿足線性代數(shù)中矩陣相乘的原則例：>>

A=[123;456];B=[21;34];>>

C=A*B第十頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日矩陣基本運(yùn)算

矩陣的除法：/、\右除和左除

若A可逆方陣，則A\B

<==>A的逆左乘B<==>inv(A)*BB/A

<==>A的逆右乘B<==>B*inv(A)X=A\B

<==>A*X=BX=B/A

<==>X*A=B

通常，矩陣除法可以理解為當(dāng)A和B行數(shù)相等時(shí)即可進(jìn)行左除當(dāng)A和B列數(shù)相等時(shí)即可進(jìn)行右除第十一頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日矩陣的乘方

A是方陣，p是正整數(shù)A^p

表示A

的p

次冪，即p

個(gè)A

相乘。

若A是方陣，p不是正整數(shù)

A^p

的計(jì)算涉及到A的特征值分解，即若

A=V*D*V-1

則

A^p=V*(D.^p)/V第十二頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日矩陣的乘方若a是標(biāo)量，A是方陣，且[V,D]=eig(A)，則

a^A＝V*(a^D)/V若A,P均是矩陣，則A^P

無(wú)定義若a是標(biāo)量，則第十三頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日矩陣的Kronecker乘積矩陣Kronecker乘積的定義設(shè)A是n×m矩陣，B是p×q矩陣，則A與B的kronecker乘積為：Kronecker乘積的性質(zhì)是np×mq矩陣；通常任何兩個(gè)矩陣都有Kronecker乘積

Matlab中實(shí)現(xiàn)兩個(gè)矩陣Kronecker相乘的函數(shù)為kron(A,B)Kronecker乘積有時(shí)也稱張量積第十四頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日矩陣的數(shù)組運(yùn)算數(shù)組運(yùn)算：對(duì)應(yīng)元素進(jìn)行運(yùn)算點(diǎn)與算術(shù)運(yùn)算符之間不能有空格！

數(shù)組運(yùn)算包括：點(diǎn)乘、點(diǎn)除、點(diǎn)冪

相應(yīng)的數(shù)組運(yùn)算符為：“.*”，“./”，“.\”和“

.^”例：>>

A=[123;456];B=[321;654];>>

C=A.*B;D=A./B;E=A.\B;F=A.^B;兩矩陣進(jìn)行點(diǎn)運(yùn)算是指它們的對(duì)應(yīng)元素進(jìn)行相關(guān)運(yùn)算，要求兩矩陣的維參數(shù)相同。第十五頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日函數(shù)取值設(shè)x是變量，f是一個(gè)函數(shù)

當(dāng)x=a是標(biāo)量時(shí)，f(x)=f(a)也是一個(gè)標(biāo)量當(dāng)x=[a,b,…,c]是向量時(shí)，f(x)=[f(a),f(b),…,f(c)]函數(shù)作用在矩陣上的取值若A是矩陣，則f(A)是一個(gè)與A同形狀的矩陣f

作用在x的每個(gè)分量上第十六頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日函數(shù)取值例：>>

x=[0:pi/4:pi];A=[123;456];>>

y1=sin(x);y2=exp(A);y3=sqrt(A);例：第十七頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日矩陣的超越函數(shù)

Matlab提供了三種矩陣函數(shù)：expm、sqrtm、logm詳情參見(jiàn)聯(lián)機(jī)幫助（helpexpm/sqrtm/logm）

更一般的矩陣函數(shù)：funm

funm(A,@fun)參數(shù)fun

的可以是exp,，log，cos，sin，cosh，sinh

第十八頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)與數(shù)組的點(diǎn)冪x.^y

=[1^4,2^5,3^6]=[1,32,729]

x.^2

=[1^2,2^2,3^2]=[1,4,9]

2.^x

=

?.^前面留個(gè)空格例：x=[123];y=[456];2.^[x;y]=

?Matlab中的所有標(biāo)點(diǎn)符號(hào)必須在英文狀態(tài)下輸入第十九頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日Matlab中常見(jiàn)數(shù)學(xué)函數(shù):helpelfunMatlab中常見(jiàn)矩陣操作命令函數(shù):helpelmatMatlab中常見(jiàn)程序語(yǔ)言的結(jié)構(gòu):helplang第二十頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日邏輯運(yùn)算

MATLAB提供了3種邏輯運(yùn)算符：&(與)、|(或)和～(非)。邏輯運(yùn)算的運(yùn)算法則為：

(1)在邏輯運(yùn)算中，確認(rèn)非零元素為真，用1表示，零元素為假，用0表示。(2)設(shè)參與邏輯運(yùn)算的是兩個(gè)標(biāo)量a和b，那么，

a&ba,b全為非零時(shí)，運(yùn)算結(jié)果為1，否則為0。

a|ba,b中只要有一個(gè)非零，運(yùn)算結(jié)果為1。

～a當(dāng)a是零時(shí)，運(yùn)算結(jié)果為1；當(dāng)a非零時(shí)，運(yùn)算結(jié)果為0。第二十一頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日(3)若參與邏輯運(yùn)算的是兩個(gè)同維矩陣，那么運(yùn)算將對(duì)矩陣相同位置上的元素按標(biāo)量規(guī)則逐個(gè)進(jìn)行。最終運(yùn)算結(jié)果是一個(gè)與原矩陣同維的矩陣，其元素由1或0組成。(4)若參與邏輯運(yùn)算的一個(gè)是標(biāo)量，一個(gè)是矩陣，那么運(yùn)算將在標(biāo)量與矩陣中的每個(gè)元素之間按標(biāo)量規(guī)則逐個(gè)進(jìn)行。最終運(yùn)算結(jié)果是一個(gè)與矩陣同維的矩陣，其元素由1或0組成。(5)邏輯非是單目運(yùn)算符，也服從矩陣運(yùn)算規(guī)則。(6)在算術(shù)、關(guān)系、邏輯運(yùn)算中，算術(shù)運(yùn)算優(yōu)先級(jí)最高，邏輯運(yùn)算優(yōu)先級(jí)最低。第二十二頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日A=[1:5;6:10]

find(A>=4)[m,n]=find(A>=4);[m,n]all(A>=4)any(A>=4)第二十三頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日上機(jī)作業(yè)試分別生成5階的單位陣、