北師大版九年級第一章《特殊平行四邊形》單元測試卷(含答案解析)

第一章《特殊平行四邊形》單元測試卷班級：___________姓名：___________得分：___________一.選擇題：（每小題3分，共36分）1．菱形具有而矩形不一定具有的性質(zhì)是（）A．對角線互相垂直B．對角線相等C．對角線互相平分D．對角互補(bǔ)2．矩形具有而菱形不一定具有的性質(zhì)是（）A．內(nèi)角和等于3600B．對角互補(bǔ)C．對邊平行且相等D．對角線互相平分3．已知四邊形ABCD是平行四邊形，下列結(jié)論不正確的是（）A．當(dāng)AC=BD時(shí)，它是菱形B．當(dāng)AC⊥BD時(shí)，它是菱形C．當(dāng)∠ABC=90°時(shí)，它是矩形D．當(dāng)AB=BC時(shí)，它是菱形4．如圖所示，四邊形ABCD的對角線互相平分，要使四邊形ABCD成為矩形，需要添加的條件是（）A．AB＝CDB．AD＝BDC．AB＝BCD．AC＝BD(第4題)(第5題)(第6題)5．如圖，矩形ABCD的對角線AC=8cm，∠AOD=120°，則AB的長為（）A．cmB．2cmC．2cmD．4cm6．如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，下列說法不正確的是（）A．當(dāng)AC=BD時(shí)，四邊形ABCD是矩形;B．當(dāng)AB=BC時(shí)，四邊形ABCD是菱形;C．當(dāng)AC⊥BD時(shí)，四邊形ABCD是菱形;D．當(dāng)∠DAB=90°時(shí)，四邊形ABCD是正方形7．正方形具有而菱形不具有的性質(zhì)是（）A．對角線平分一組對角B．對角線相等C．對角線互相垂直平分D．四條邊相等8．如圖，菱形ABCD的兩條對角線分別長6和8，點(diǎn)P是對角線AC上的一個(gè)動點(diǎn)，點(diǎn)M、N分別是邊AB、BC的中點(diǎn)，則PM+PN的最小值是（）A．5B．10C．14D．不確定(第8題)(第9題)(第10題)9．如圖所示，在菱形ABCD中，AC、BD相交于點(diǎn)O，E為AB的中點(diǎn)，若OE=4，則菱形ABCD的周長是（）A．8B．16C．24D．3210．如圖，AC、BD是矩形ABCD的對角線，過點(diǎn)D作DE∥AC，交BC的延長線于E，則圖中與△ABC全等的三角形共有（）A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)11．如圖，在菱形ABCD中，∠BAD=82°，AB的垂直平分線交對角線AC于點(diǎn)F，垂足為E，連接DF，則∠CDF等于（）A.67°B.57°C.60°D.87°(第11題)(第12題)12．如圖，將n個(gè)邊長都為1cm的正方形按如圖所示擺放，點(diǎn)A1、A2、…、An分別是正方形的中心，則n個(gè)這樣的正方形重疊部分的面積和為（）A．cm2B．cm2C．cm2D．cm2二.填空題：（每小題3分，共12分13．如圖，四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H分別為邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，請你添加一個(gè)條件，使四邊形EFGH為矩形。(第13題)(第14題)(第15題)14．如圖，l∥m，矩形ABCD的頂點(diǎn)B在直線m上，則∠α=度．15．如圖，E是邊長為1的正方形ABCD對角線BD上一點(diǎn)，且BE=BC，P為CE上任意一點(diǎn)，PQ⊥BC于點(diǎn)Q，PR⊥BD于點(diǎn)R，則PQ+PR的值為。16．如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜邊AB為邊向外作正方形ABDE，且正方形的對角線交于點(diǎn)O，連結(jié)OC．已知AC＝5，OC＝6eq\r(2)，則另一直角邊BC的長為．三.解答題：（共52分17．（6分）在矩形ABCD中，點(diǎn)E是BC上一點(diǎn)，AE=AD，DF⊥AE，垂足為F；求證：DF=DC．18．（6分）如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，CD邊上，連接CE、AF，∠DCE=∠BAF．試判斷四邊形AECF的形狀并加以證明．19．（8分）如圖，在菱形ABCD中，AB=2，,點(diǎn)E是AD邊的中點(diǎn)，點(diǎn)M是AB邊上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），延長ME交射線CD于點(diǎn)N，連接MD，AN.（1）求證：四邊形AMDN是平行四邊形；（2）填空：①當(dāng)AM的值為時(shí)，四邊形AMDN是矩形；②當(dāng)AM的值為時(shí)，四邊形AMDN是菱形。20．（8分）在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60cm，∠A=60°，點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)沿CA方向以4cm/秒的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動，同時(shí)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向以2cm/秒的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動．設(shè)點(diǎn)D、E運(yùn)動的時(shí)間是t秒（0＜t≤15）．過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，連接DE，EF．（備注：在直角三角形中30度角所對的邊是斜邊的一半）（1）求證：AE=DF；（2）四邊形AEFD能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應(yīng)的t值，如果不能，說明理由；（3）當(dāng)t為何值時(shí)，△DEF為直角三角形？請說明理由．21．（8分）已知：如圖，在□ABCD中，AE是BC邊上的高，將沿方向平移，使點(diǎn)E與點(diǎn)C重合，得．（1）求證：；（2）若，當(dāng)AB與BC滿足什么數(shù)量關(guān)系時(shí)，四邊形是菱形？并說明理由.注：（直角三角形中30°角所對直角邊等于斜邊的一半）．22．（8分）菱形ABCD的邊長為2，∠BAD＝60°，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，動點(diǎn)P在線段AC上從點(diǎn)A向點(diǎn)C運(yùn)動，過P作PE∥AD，交AB于點(diǎn)E，過P作PF∥AB，交AD于點(diǎn)F，四邊形QHCK與四邊形PEAF關(guān)于直線BD對稱.設(shè)菱形ABCD被這兩個(gè)四邊形蓋住部分的面積為S1，AP＝x：（1）對角線AC的長為；S菱形ABCD＝；（2）用含x的代數(shù)式表示S1；（3）設(shè)點(diǎn)P在移動過程中所得兩個(gè)四邊形PEAF與QHCK的重疊部分面積為S2，當(dāng)S2＝S菱形ABCD時(shí)，求x的值．23．（8分）如圖1，在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，F(xiàn)是AD延長線上一點(diǎn)，且DF=BE．（1）求證：CE=CF；（2）在圖1中，若G在AD上，且∠GCE=45°，則GE=BE+GD成立嗎？為什么？（3）運(yùn)用（1）（2）解答中所積累的經(jīng)驗(yàn)和知識，完成下題：如圖2，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B=90°，AB=BC=24，E是AB上一點(diǎn)，且∠DCE=45°，BE=8，求DE的長．參考答案一.選擇題：（每小題3分，共36分）1．菱形具有而矩形不一定具有的性質(zhì)是（）A．對角線互相垂直B．對角線相等C．對角線互相平分D．對角互補(bǔ)【答案】A【解析】試題分析：菱形的對角線互相垂直平分，矩形的對角線互相平分.2．矩形具有而菱形不一定具有的性質(zhì)是（）A．內(nèi)角和等于3600B．對角互補(bǔ)C．對邊平行且相等D．對角線互相平分【答案】B．【解析】試題解析：∵菱形與矩形都是平行四邊形，A，C，D是平行四邊形的性質(zhì)，∴二者都具有，故此三個(gè)選項(xiàng)都不正確，由于菱形的對角相等不一定互補(bǔ)，而矩形的對角互補(bǔ)，故選B．3．已知四邊形ABCD是平行四邊形，下列結(jié)論不正確的是（）A．當(dāng)AC=BD時(shí)，它是菱形B．當(dāng)AC⊥BD時(shí)，它是菱形C．當(dāng)∠ABC=90°時(shí)，它是矩形D．當(dāng)AB=BC時(shí)，它是菱形【答案】A．【解析】試題解析：A、當(dāng)AC=BD時(shí)，它是菱形，說法錯(cuò)誤；B、當(dāng)AC⊥BD時(shí)，它是菱形，說法正確；C、當(dāng)∠ABC=90°時(shí)，它是矩形，說法正確；D、當(dāng)AB=BC時(shí)，它是菱形，說法正確，故選A．4．如圖所示，四邊形ABCD的對角線互相平分，要使四邊形ABCD成為矩形，需要添加的條件是（）A．AB＝CDB．AD＝BDC．AB＝BCD．AC＝BD【答案】D【解析】試題分析：本題根據(jù)對角線互相平分且相等的四邊形是矩形得出答案.5．如圖，矩形ABCD的對角線AC=8cm，∠AOD=120°，則AB的長為（）A．cmB．2cmC．2cmD．4cm【答案】D【解析】試題分析：根據(jù)矩形的對角線相等且互相平分可得AO=BO=AC，再根據(jù)鄰角互補(bǔ)求出∠AOB的度數(shù)，然后得到△AOB是等邊三角形，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可得解．解：在矩形ABCD中，AO=BO=AC=4cm，∵∠AOD=120°，∴∠AOB=180°﹣120°=60°，∴△AOB是等邊三角形，∴AB=AO=4cm．故選D．6．如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，下列說法不正確的是（）A．當(dāng)AC=BD時(shí)，四邊形ABCD是矩形B．當(dāng)AB=BC時(shí)，四邊形ABCD是菱形C．當(dāng)AC⊥BD時(shí)，四邊形ABCD是菱形D．當(dāng)∠DAB=90°時(shí)，四邊形ABCD是正方形【答案】D【解析】試題分析：根據(jù)對角線相等的平行四邊形是矩形，對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形，有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形判斷即可．解：A、∵四邊形ABCD是平行四邊形，AC=BD，∴四邊形ABCD是矩形，正確，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、∵四邊形ABCD是平行四邊形，AB=BC，∴四邊形ABCD是菱形，正確，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、四邊形ABCD是平行四邊形，AC⊥BD，∴四邊形ABCD是菱形，正確，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、四邊形ABCD是平行四邊形，∠DAB=90°，∴四邊形ABCD是矩形，錯(cuò)誤，故本選項(xiàng)正確；故選D．7．正方形具有而菱形不具有的性質(zhì)是（）A．對角線平分一組對角B．對角線相等C．對角線互相垂直平分D．四條邊相等【答案】B【解析】試題分析：根據(jù)正方形的性質(zhì)以及菱形的性質(zhì)，即可判斷．解：正方形的邊：四邊都相等，菱形的邊四邊都相等；正方形的角：四角都相等，都是直角，菱形的角：對角相等；正方形的對角線：相等，互相平分，且互相垂直，菱形的對角線：互相平分，互相垂直．則：正方形具有而菱形不具有的性質(zhì)是：對角線相等．故應(yīng)選B．8．如圖，菱形ABCD的兩條對角線分別長6和8，點(diǎn)P是對角線AC上的一個(gè)動點(diǎn)，點(diǎn)M、N分別是邊AB、BC的中點(diǎn)，則PM+PN的最小值是（）A．5B．10C．14D．不確定【答案】A.【解析】試題分析：如圖：作交AD于E，連接EN，則EN就是的最小值.M，N分別是AB，BC的中點(diǎn)，四邊形ABNE是平行四邊形，由題意可知，可得故的最小值為5.故選A.9．如圖所示，在菱形ABCD中，AC、BD相交于點(diǎn)O，E為AB的中點(diǎn)，若OE=4，則菱形ABCD的周長是（）A．8B．16C．24D．32【答案】D.【解析】試題分析：在菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，為AB的中點(diǎn)，且菱形ABCD的周長是：故選D.10．如圖，AC、BD是矩形ABCD的對角線，過點(diǎn)D作DE∥AC，交BC的延長線于E，則圖中與△ABC全等的三角形共有（）A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)【答案】D【解析】試題分析：根據(jù)全等三角形的判定定理可得：△ABD、△ADC、△BCD、△DCE都與△ABC全等.11．如圖，在菱形ABCD中，∠BAD=82°，AB的垂直平分線交對角線AC于點(diǎn)F，垂足為E，連接DF，則∠CDF等于（）A.67°B.57°C.60°D.87°【答案】B．【解析】試題解析：連接BD，BF，∵∠BAD=82°，∴∠ADC=98°，又∵EF垂直平分AB，AC垂直平分BD，∴AF=BF，BF=DF，∴AF=DF，∴∠FAD=∠FDA=41°，∴∠CDF=98°-41°=57°．故選B．12．如圖，將n個(gè)邊長都為1cm的正方形按如圖所示擺放，點(diǎn)A1、A2、…、An分別是正方形的中心，則n個(gè)這樣的正方形重疊部分的面積和為（）A．cm2B．cm2C．cm2D．cm2【答案】C．【解析】試題解析：連接正方形的中心和其余兩個(gè)頂點(diǎn)可證得含45°的兩個(gè)三角形全等，進(jìn)而求得陰影部分面積等于正方形面積的，即是．5個(gè)這樣的正方形重疊部分（陰影部分）的面積和為×4，n個(gè)這樣的正方形重疊部分（陰影部分）的面積和為×（n-1）=cm2．故選C．二.填空題：（每小題3分，共12分13．如圖，四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H分別為邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，請你添加一個(gè)條件，使四邊形EFGH為矩形。【答案】AC⊥BD【解析】試題解析：如圖，∵E，F(xiàn)分別是邊AB，BC的中點(diǎn)，∴EF∥AC，EF=AC，同理HG∥AC，HG=AC，∴EF∥HG，EF=HG，∴四邊形EFGH是平行四邊形；要使四邊形EFGH是矩形，則需EF⊥FG，即AC⊥BD14．如圖，l∥m，矩形ABCD的頂點(diǎn)B在直線m上，則∠α=度．【答案】20°【解析】試題分析：過點(diǎn)C作CE∥l，則CE∥m，則∠α=90°－70°=20°.15．如圖，E是邊長為1的正方形ABCD對角線BD上一點(diǎn)，且BE=BC，P為CE上任意一點(diǎn)，PQ⊥BC于點(diǎn)Q，PR⊥BD于點(diǎn)R，則PQ+PR的值為?！敬鸢浮?【解析】試題分析：如圖，連接BP，過C作為BD的中點(diǎn)，為直角三角形，即的值為.16．如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜邊AB為邊向外作正方形ABDE，且正方形的對角線交于點(diǎn)O，連結(jié)OC．已知AC＝5，OC＝6eq\r(2)，則另一直角邊BC的長為．【答案】4【解析】試題分析：根據(jù)正方形的性質(zhì)以及直角三角形的勾股定理可得AB=，則BC=4.三.解答題：（共52分）17．（6分）在矩形ABCD中，點(diǎn)E是BC上一點(diǎn)，AE=AD，DF⊥AE，垂足為F；求證：DF=DC．【答案】證明見解析.【解析】試題分析：根據(jù)矩形的性質(zhì)和DF⊥AE于F，可以得到∠DEC=∠AED，∠DFE=∠C=90，進(jìn)而依據(jù)AAS可以證明△DFE≌△DCE．然后利用全等三角形的性質(zhì)解決問題．試題解析：連接DE．∵AD=AE，∴∠AED=∠ADE．∵有矩形ABCD，∴AD∥BC，∠C=90°．∴∠ADE=∠DEC，∴∠DEC=∠AED．又∵DF⊥AE，∴∠DFE=∠C=90°．∵DE=DE，∴△DFE≌△DCE．∴DF=DC．18．（6分）如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，CD邊上，連接CE、AF，∠DCE=∠BAF．試判斷四邊形AECF的形狀并加以證明．【答案】證明見解析．【解析】試題分析：證得FA∥CE后利用兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形進(jìn)行判斷即可．試題解析：四邊形AECF是平行四邊形．證明：∵矩形ABCD中，AB∥DC，∴∠DCE=∠CEB，∵∠DCE=∠BAF，∴∠CEB=∠BAF，∴FA∥CE，又矩形ABCD中，F(xiàn)C∥AE，∴四邊形AECF是平行四邊形．19．（8分）如圖，在菱形ABCD中，AB=2，,點(diǎn)E是AD邊的中點(diǎn)，點(diǎn)M是AB邊上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），延長ME交射線CD于點(diǎn)N，連接MD，AN.（1）求證：四邊形AMDN是平行四邊形；（2）填空：①當(dāng)AM的值為時(shí)，四邊形AMDN是矩形；②當(dāng)AM的值為時(shí)，四邊形AMDN是菱形?！敬鸢浮浚?）見解析；（2）①1；②2【解析】試題分析：（1）因?yàn)辄c(diǎn)E是AD邊的中點(diǎn)，所以要證四邊形AMDN是平行四邊形，只需證明得出ND=MA，即可；（2）當(dāng)∠AMD=時(shí)平行四邊形AMDN是矩形,因?yàn)锳B=2，,所以可得AM=1；當(dāng)AM=DM即是等邊三角形時(shí)平行四邊形AMDN是菱形,所以AM=AD=2.試題解析：（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴ND∥AM∴又∵點(diǎn)E是AD中點(diǎn)，∴DE=AE∴，∴ND=MA,∴四邊形AMDN是平行四邊形（2）①1；②220．（8分）在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60cm，∠A=60°，點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)沿CA方向以4cm/秒的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動，同時(shí)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向以2cm/秒的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動．設(shè)點(diǎn)D、E運(yùn)動的時(shí)間是t秒（0＜t≤15）．過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，連接DE，EF．（備注：在直角三角形中30度角所對的邊是斜邊的一半）（1）求證：AE=DF；（2）四邊形AEFD能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應(yīng)的t值，如果不能，說明理由；（3）當(dāng)t為何值時(shí)，△DEF為直角三角形？請說明理由．【答案】（1）、證明過程見解析；（2）、t=10；（3）、t=或12，理由見解析【解析】試題分析：（1）、根據(jù)Rt△ABC的性質(zhì)得出AB=30cm，根據(jù)CD=4t，AE=2t以及Rt△CDF的性質(zhì)得出答案；（2）、根據(jù)DF∥AB，DF=AE，得出四邊形AEFD是平行四邊形，根據(jù)菱形的性質(zhì)得出t的值；（3）、本題需要分兩種情況分別進(jìn)行計(jì)算.當(dāng)∠EDF=90°時(shí)，AD=2AE，從而求出t的值；當(dāng)∠DEF=90°時(shí)，AE=2AD，從而求出t的值.試題解析：（1）、∵在Rt△ABC中，∠C=90°﹣∠A=30°，∴AB=AC=×60=30cm∵CD=4t，AE=2t，又∵在Rt△CDF中，∠C=30°，∴DF=CD=2t∴DF=AE（2）、能?！逥F∥AB，DF=AE，∴四邊形AEFD是平行四邊形當(dāng)AD=AE時(shí)，四邊形AEFD是菱形，即60﹣4t=2t，解得：t=10∴當(dāng)t=10時(shí)，AEFD是菱形（3）、若△DEF為直角三角形，有兩種情況：①如圖1，∠EDF=90°，DE∥BC，則AD=2AE，即60﹣4t=2×2t，解得：t=。②如圖2，∠DEF=90°，DE⊥AC，則AE=2AD，即2t=2（60-4t），解得：t=12。綜上所述，當(dāng)t=或12時(shí)，△DEF為直角三角形21．（8分）已知：如圖，在□ABCD中，AE是BC邊上的高，將沿方向平移，使點(diǎn)E與點(diǎn)C重合，得．（1）求證：；（2）若，當(dāng)AB與BC滿足什么數(shù)量關(guān)系時(shí)，四邊形是菱形？并說明理由.注：（直角三角形中30°角所對直角邊等于斜邊的一半）．【答案】（1）證明見解析；（2）當(dāng)BC=AB時(shí)，四邊形ABFG是菱形．【解析】試題分析：（1）根據(jù)平移的性質(zhì)，可得：BE=FC，再證明Rt△ABE≌Rt△CDG可得：DG=FC；即可得到BE=DG；（2）要使四邊形ABFG是菱形，須使AB=BF；根據(jù)條件找到滿足AB=BF的AB與BC滿足的數(shù)量關(guān)系即可．試題解析：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD．∵AE是BC邊上的高，且CG是由AE沿BC方向平移而成．∴CG⊥AD．∴∠AEB=∠CGD=90°．∵AE=CG，AB=CD，∴Rt△ABE≌Rt△CDG．∴BE=DG；（2）當(dāng)BC=AB時(shí)，四邊形ABFG是菱形．證明：∵AB∥GF，AG∥BF，∴四邊形ABFG是平行四邊形．∵Rt△ABE中，∠B=60°，∴∠BAE=30°，∴BE=AB．（直角三角形中30°所對直角邊等于斜邊的一半）∵BE=CF，BC=AB，∴EF=AB．∴AB=BF．∴四邊形ABFG是菱形．22．（8分）菱形ABCD的邊長為2，∠BAD＝60°，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，動點(diǎn)P在線段AC上從點(diǎn)A向點(diǎn)C運(yùn)動，過P作PE∥AD，交AB于點(diǎn)E，過P作PF∥AB，交AD于點(diǎn)F，四邊形QHCK與四邊形PEAF關(guān)于直線BD對稱.設(shè)菱形ABCD被這兩個(gè)四邊形蓋住部分的面積為S1，AP＝x：（1）對角線AC的長為；S菱形ABCD＝；（2）用含x的代數(shù)式表示S1；（3）設(shè)點(diǎn)P在移動過程中所得兩個(gè)四邊形PEAF與QHCK的重疊部分面積為S2，當(dāng)S2＝S菱形ABCD時(shí)，求x的值．【答案】（1）、2；2；（2）、S=或S=；（3）、x=【解析】試題分析：（1）、根據(jù)菱形的性質(zhì)得出AC和菱形的面積；（2）、本題分0≤x≤和＜x≤2兩種情況分別進(jìn)行計(jì)算，得出函數(shù)關(guān)系式；（3）、首先根據(jù)題意得出有重疊是x的取值范圍，然后得出OP的長度，然后計(jì)算出重疊部分的面積與x的函數(shù)關(guān)系式，然后求出x的值.試題解析：（1）、AC＝2；S菱形ABCD＝2（2）、根據(jù)題設(shè)可知四邊形PEAF是菱形，有一個(gè)角是60°，菱形的較短對角線與邊長相等，①當(dāng)0≤x≤時(shí)