第九章拉普斯變換

第九章拉普拉斯變換（TheLaplacetransformation）第一講授課題目：§9.1拉普拉斯變換的概念§9.2拉普拉斯變換的性質(zhì)教學(xué)內(nèi)容：1、拉普拉斯變換的定義2、拉普拉斯變換存在條件3、拉普拉斯變換的性質(zhì)學(xué)時(shí)安排：2學(xué)時(shí)教學(xué)目標(biāo)：1、正確理解拉普拉斯變換的定義2、了解拉普拉斯變換存在條件3、掌握拉普拉斯變換的性質(zhì)教學(xué)重點(diǎn)：1、拉普拉斯變換的定義2、卷積和卷積定理教學(xué)難點(diǎn)：拉普拉斯變換的性質(zhì)教學(xué)方式：講授法、圖形類比法、演繹法作業(yè)布置：習(xí)題九1-5板書設(shè)計(jì)：一、拉普拉斯變換的定義二、拉普拉斯變換存在條件三、拉普拉斯變換的性質(zhì)主要參考資料：1、《積分變換》，南京工學(xué)院數(shù)學(xué)教研室，高等教育出版社，1987.2、《復(fù)變函數(shù)與積分變換學(xué)習(xí)輔導(dǎo)與習(xí)題全解》，高等教育出版2003.3、《復(fù)變函數(shù)與積分變換》，賀才興編著，遼寧大學(xué)出版社，2000.課后記：1、理解了拉普拉斯積分變換的定義2、拉普拉斯積分變換存在條件，不能正確掌握3、掌握了拉普拉斯積分變換的性質(zhì)教學(xué)過程§9.1拉普拉斯變換的概念(TheconceptionandpropertyoftheLaplacetransformation)傅氏變換具有廣泛的應(yīng)用，特別是在信號(hào)處理領(lǐng)域，直到今天它仍然是最基本的分析和處理工具，甚至可以說信號(hào)分析本質(zhì)就是傅里葉積分變換.但任何東西都有局限性，傅里葉變換也一樣，人們對(duì)傅里葉積分變換的局限性做了各種各樣的改進(jìn).一方面提高它對(duì)問題的刻畫能力，如窗口傅里葉變換、小波變換等；另一方面，擴(kuò)大它本身的使用范圍，比如本章要介紹的拉普拉斯變換就是.我們知道傅里葉變換對(duì)函數(shù)有一定的要求，即滿足狄利克雷條件，還要求在上絕對(duì)可積，才有古典意義下的傅里葉積分變換，而絕對(duì)可積是一個(gè)很強(qiáng)的條件，即使一些簡(jiǎn)單函數(shù)，有時(shí)也不能滿足這個(gè)條件，引入狄拉克函數(shù)后，傅里葉積分變換應(yīng)用廣泛了很多，但對(duì)于指數(shù)增長(zhǎng)的函數(shù)仍然不能使用，另外傅里葉積分變換必須在整個(gè)實(shí)數(shù)軸上定義，但在工程實(shí)際問題中，許多以時(shí)間為自變量的函數(shù)，就不能在整個(gè)實(shí)數(shù)上定義，因此傅里葉積分變換在處理這樣的問題時(shí)，有一定的局限性.19世紀(jì)末英國(guó)工程師赫維賽德發(fā)明了一種算子法，最后發(fā)展成了今天的拉普拉斯積分變換，而其數(shù)學(xué)上的根源還是來自拉普拉斯，所以稱其為拉普拉斯積分變換.一、拉普拉斯變換的定義（DefinitionwhichRupprathvaries）定義（Definition）設(shè)函數(shù)是定義在上的實(shí)值函數(shù)，如果對(duì)于復(fù)參數(shù)，積分在復(fù)平面的某一域內(nèi)收斂，則稱為的拉普拉斯變換，記為，稱為的拉普拉斯逆變換，記為，稱為像函數(shù)，稱為原像函數(shù).事實(shí)上，我們從下面可以看出傅里葉積分變換和拉普拉斯積分變換的關(guān)系:令，則=.由此可以知道，的拉普拉斯積分變換就是的傅里葉積分變換，首先通過單位階躍函數(shù)使函數(shù)在的部分為0，其次對(duì)函數(shù)在的部分乘一個(gè)衰減的指數(shù)函數(shù)以降低其增長(zhǎng)速度，這樣就有希望使函數(shù)滿足傅里葉積分變換的條件，從而對(duì)它進(jìn)行傅里葉積分變換.例9.1分別求出單位階躍函數(shù)，符號(hào)函數(shù)，的拉普拉斯積分變換.解：，，，例9.2求指數(shù)函數(shù)的拉氏變換(k為實(shí)數(shù)).解：所以二、拉普拉斯積分變換存在條件（Laplasseintegralexistconditions）拉氏變換的存在定理（Laplassetheexistenceoftransformationtheorems）：若函數(shù)滿足:

(1)在t30的任一有限區(qū)間上分段連續(xù);

(2)當(dāng)時(shí),的增長(zhǎng)速度不超過某一指數(shù)函數(shù),即存在常數(shù)M>0及c30,使得

則的拉氏變換在半平面上一定存在,并且在的半平面內(nèi),為解析函數(shù).證明設(shè)，則，所以由，可以知道右端積分在上半平面上收斂.關(guān)于解析性的證明省略.注1:大部分常用函數(shù)的拉普拉斯變換都存在(常義下);注2：存在定理的條件是充分但非必要條件.對(duì)于任意函數(shù)來說，其拉普拉斯變換有三種情況，或者不存在，或者在整個(gè)復(fù)平面上存在，或者在一個(gè)半平面內(nèi)存在.§9.2拉普拉斯變換的性質(zhì)（Changethenatureofthelaplasse）一、拉普拉斯變換的性質(zhì)（Changethenatureofthelaplasse）1、線性性質(zhì)（Linearnature）；2、相似性質(zhì)（Similarnature）設(shè)，則對(duì)任意常數(shù)，有.證明：令，則例9.3求的拉普拉斯積分變換.解：例9.4已知，求.解3、微分性質(zhì)（Differentialnature）（1）設(shè)，則有，一般地有證明利用分部積分方法和拉普拉斯積分變換的定義.用數(shù)學(xué)歸納法可以得到此性質(zhì)可以使我們有可能將的微分方程轉(zhuǎn)化為的代數(shù)方程（2）設(shè)，則有；一般地有.證明：，用數(shù)學(xué)歸納法可以得到.可以用來求的拉普拉斯積分變換.例9.5求解微分方程.解對(duì)方程的兩邊做拉普拉斯積分變換，可以得到得到，例9.6求的拉普拉斯積分變換.解設(shè)，則，且故.例9.7求函數(shù)的拉普拉斯積分變換.解例9.8求函數(shù)的拉普拉斯積分變換.解4、積分性質(zhì)（Integralnature）（1）設(shè)，則有，一般地有.證明設(shè)，則，且，利用微分性質(zhì)可以得到，所以.用數(shù)學(xué)歸納法可以得到（2）設(shè)，則有，一般地有.可以用來求的拉普拉斯積分變換.證明反復(fù)利用上面可以得到.例9.9求函數(shù)的拉普拉斯積分變換.解由于，則令，有.由此可以知道利用拉普拉斯積分變換，可以計(jì)算一些反常積分.例9.10計(jì)算下列積分（1）（2）解（1），（2）令，則5、延遲性質(zhì)（Delaynature）設(shè)，當(dāng)時(shí)，則對(duì)任一非負(fù)實(shí)數(shù)有.證明令，則6、位移性質(zhì)（Displacementnature）設(shè)，則有，為常數(shù).證明.例9.11設(shè)，求.解例9.12求.解因?yàn)樗远?、卷積和卷積定理（Rollsandrollsatheorem）1、卷積的定義（Rolleduptothedefinition）:,結(jié)合率、交換律和分配率仍然成立.2、卷積定理（Rolledatheorem）：設(shè)，則有證明由定義然后交換二重積分的次序，令例9.14求函數(shù)與的卷積.解例9.15已知，求.解由于，所以拉氏變換在線性系統(tǒng)分析中的應(yīng)用，要涉及到響應(yīng)、傳遞函數(shù)等專業(yè)術(shù)語，這在后面專業(yè)課中會(huì)詳細(xì)討論.在運(yùn)用拉普拉斯積分變換解決具體問題時(shí)，在求的像函數(shù)后，常常需要進(jìn)一步求得原像函數(shù).從前面我們知道可以利用拉普拉斯積分變換的性質(zhì)并根據(jù)一些已知的變換來求像函數(shù)的原像，其中對(duì)像函數(shù)進(jìn)行分解和分離非常關(guān)鍵，對(duì)于已知的變換可以從拉普拉斯積分變換表中查得.這是一種很常用的方法，但使用范圍有限，下面介紹一般的求拉普拉斯逆變換的方法.三、周期函數(shù)的像函數(shù)（Cyclefunctionasafunction）設(shè)是內(nèi)以為周期的函數(shù)，且在一個(gè)周期內(nèi)逐段光滑，則.證明：由定義有，對(duì)第二個(gè)積分令由于是內(nèi)以為周期的函數(shù)，則故.例9.13求全波整流后的正弦波的像函數(shù).解的周期是，故21§9.3拉普拉斯逆變換§9.4拉普拉斯逆變換的應(yīng)用及綜合舉例1、反演積分公式2、利用留數(shù)計(jì)算反演積分3、求解微分方程組4、綜合舉例1、正確理解反演積分公式2、了解拉普拉斯積分變換應(yīng)用3、掌握利用留數(shù)計(jì)算反演積分拉普拉斯逆變換的應(yīng)用及綜合舉例拉普拉斯逆變換講授法、圖形類比法、演繹法習(xí)題九5-7一、反演積分公式二、利用留數(shù)計(jì)算反演積分三、求解微分方程組四、綜合舉例[1]《積分變換》，南京工學(xué)院數(shù)學(xué)教研室，高等教育出版社，1987.[2]《復(fù)變函數(shù)與積分變換學(xué)習(xí)輔導(dǎo)與習(xí)題全解》，高等教育出版2003.[3]《復(fù)變函數(shù)與積分變換》，賀才興編著，遼寧大學(xué)出版社，2000.不能靈活運(yùn)用拉普拉斯逆變換解決實(shí)際問題第二講授課題目：§9.3拉普拉斯逆變換§9.4拉普拉斯逆變換的應(yīng)用及綜合舉例主要內(nèi)容：1、反演積分公式2、利用留數(shù)計(jì)算反演積分3、求解微分方程組4、綜合舉例學(xué)時(shí)安排：2學(xué)時(shí)教學(xué)目標(biāo)：1、正確理解反演積分公式2、了解拉普拉斯積分變換應(yīng)用3、掌握利用留數(shù)計(jì)算反演積分教學(xué)重點(diǎn)：拉普拉斯逆變換的應(yīng)用及綜合舉例教學(xué)難點(diǎn)：拉普拉斯逆變換教學(xué)方式：講授法、圖形類比法、演繹法作業(yè)布置：習(xí)題9.5、9.6、9.7板書設(shè)計(jì)：一、反演積分公式二、利用留數(shù)計(jì)算反演積分三、求解微分方程組四、綜合舉例主要參考資料：1、《積分變換》，南京工學(xué)院數(shù)學(xué)教研室，高等教育出版社，1987.2、《復(fù)變函數(shù)與積分變換學(xué)習(xí)輔導(dǎo)與習(xí)題全解》，高等教育出版2003.3、《復(fù)變函數(shù)與積分變換》，賀才興編著，遼寧大學(xué)出版社，2000.課后記：不能靈活運(yùn)用拉普拉斯逆變換解決實(shí)際問題教學(xué)過程：§9.3拉普拉斯逆變換（Revisitinginversetransform）一、反演積分公式（Againsttheintegralequations）我們知道拉普拉斯積分變換和傅里葉積分變換有密切的關(guān)系，的拉普拉斯積分變換其實(shí)就是的傅里葉積分變換，，這樣我們可以得到兩邊同乘以，并且令，則因此這就是求像函數(shù)的原像的一般方法，我們成為反演積分公式，其中右端的部分稱為反演積分.積分路徑是一條直線，在此直線的右邊沒有奇點(diǎn).我們可以考慮用孤立奇點(diǎn)留數(shù)理論來研究拉普拉斯逆變換.二、利用留數(shù)計(jì)算反演積分（Ofstaywouldbecountedasoneagainst）定理（Theorem）9.2設(shè)除在半平面內(nèi)有限個(gè)孤立奇點(diǎn)外是解析的，且當(dāng)時(shí)，，則有即.證明令曲線，在半平面內(nèi)，是半徑為的半圓狐，當(dāng)充分大，可以使都在內(nèi).由于除孤立奇點(diǎn)外是解析的，故由留數(shù)定理有即根據(jù)約當(dāng)定理，可以知道因此有.例9.16已知，求.解由于是像函數(shù)的簡(jiǎn)單極點(diǎn)和二階極點(diǎn)，所以另外還可以用部分分式和卷積的方法解答.§9.4拉普拉斯逆變換的應(yīng)用及綜合舉例（Revisitinginversetransformtheapplicationandillustrate）一、利用拉普拉斯積分變換求微分方程（Useofthelaplasseintegraltothedifferentialequation）許多工程實(shí)際問題可以用微分方程來描述，下面舉例說明它在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用：用拉氏變換求解微分（常微分，偏微分）方程、積分方程.而拉普拉斯變換對(duì)于求解微分方程非常有效，首先通過拉普拉斯變換將微分方程化為像函數(shù)的代數(shù)方程，由代數(shù)方程求出像函數(shù)，然后再用拉普拉斯逆變換，就得到微分方程的解.例9.17求解微分方程.解令，方程的兩邊取拉普拉斯積分變換，并利用初始條件，得解此方程得求拉普拉斯逆變換，可以得到例9.18求解微分方程組解令，，對(duì)方程的兩邊取拉普拉斯積分變換，并利用初始條件，可以得到求解方程組可以得到因此.例9.19設(shè)質(zhì)量為的物體靜止在原點(diǎn)，在時(shí)受到軸方向的沖擊力，求物體的運(yùn)動(dòng)方程.解運(yùn)動(dòng)的微分方程初值問題為令，在方程兩邊取拉普拉斯積分變換，可以得到，即故物體的運(yùn)動(dòng)方程為.二、綜合舉例（Comprehensiveexample）例9.20求函數(shù)的像函數(shù).解將函數(shù)寫為則例9.21已知，求.解由于是像函數(shù)的簡(jiǎn)單極點(diǎn)和三階極點(diǎn)，所以例9.22求解微分方程組解令，，對(duì)方程的兩邊取拉普拉斯積分變換，并利用初始條件，可以得到解得所以，取拉普拉斯變換的逆變換，可以得到例9.23求解積分方程.解由于，所以原方程可以化為令，因而，，對(duì)原方程的兩邊取拉普拉斯積分變換，可以得到故