九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)圖形相似5相似三角形判斷定理證明新版北師大版

九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)圖形相似5相似三角形判斷定理證明新版北師大版第1頁(yè)/共19頁(yè)

如圖所示,為了估算河的寬度,我們可以在河對(duì)岸選定一個(gè)目標(biāo)作為點(diǎn)A,再在河的這一邊選定點(diǎn)B和C,使AB⊥BC,然后選點(diǎn)E,使EC⊥BC,用視線確定BC和AE的交點(diǎn)D.此時(shí)如果測(cè)得BD=140m,DC=70m,EC=60m,就得出了兩岸間的大致距離AB,即河的寬度是120m.你知道他們這樣做的道理嗎?

△ABD和△ECD之間存在什么關(guān)系?如何求AB的值?問(wèn)題思考第2頁(yè)/共19頁(yè)如圖所示,∠1=∠2,添加一個(gè)條件:

,使得△ADE∽△ACB.

第3頁(yè)/共19頁(yè)學(xué)習(xí)新知

已知:在△ABC和△A'B'C'中,∠A=∠A',∠B=∠B'.求證:△ABC∽△A'B'C'.定理：兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似【思路提示】

在△ABC的邊AB上截取AD=A'B',過(guò)點(diǎn)D作BC的平行線,交AC于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)D作AC的平行線,交BC于點(diǎn)F,證明四邊形DFCE是平行四邊形,再得到三組成比例線段,最后由定義得出兩個(gè)三角形相似的結(jié)論.第4頁(yè)/共19頁(yè)檢測(cè)反饋?zhàn)C明:在△ABC的邊AB(或它的延長(zhǎng)線)上截取AD=A'B',過(guò)點(diǎn)D作BC的平行線,交AC于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)D作AC的平行線,交BC于點(diǎn)F,則∠ADE=∠B,∠AED=∠C,∵DE∥BC,DF∥AC,∴四邊形DFCE是平行四邊形.∴DE=CF.第5頁(yè)/共19頁(yè)∴△ADE≌△A'B'C'.∴△ABC∽△A'B'C'.而∠ADE=∠B,∠DAE=∠BAC,∠AED=∠C,∴△ADE∽△ABC.∵∠A=∠A',∠ADE=∠B=∠B',AD=A'B',第6頁(yè)/共19頁(yè)

當(dāng)給出的已知條件以角為主時(shí),?？紤]使用“兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似”的判定方法判定兩個(gè)三角形相似.知識(shí)拓展

如圖所示,若∠A=∠D,∠B=∠E,則△ABC∽△DEF.

使用這個(gè)條件時(shí),“兩角對(duì)應(yīng)相等”中的“對(duì)應(yīng)”二字是可以去掉的,只要一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角分別相等,那么這兩個(gè)三角形就一定相似.第7頁(yè)/共19頁(yè)定理：兩邊成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形

相似已知:在△ABC和△A'B'C'中,∠A=∠A',求證:△ABC∽△A'B'C'.第8頁(yè)/共19頁(yè)∵∠A=∠A',∴△ADE≌△A'B'C'.證明:在△ABC的邊AB上截取AD=A'B',在AC上截取AE=A'C',連接DE.∴DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∴△ABC∽△A'B'C'.第9頁(yè)/共19頁(yè)定理：三邊成比例的兩個(gè)三角形相似

已知:在△ABC和△A'B'C'中,求證:△ABC∽△A'B'C'.證明:在△ABC的邊AB,AC(或它們的延長(zhǎng)線)上分別截取AD=A'B',AE=A'C',連接DE.第10頁(yè)/共19頁(yè)而∠BAC=∠DAE,∴△ABC∽△ADE(兩邊成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似).∴DE=B'C'.∴△ADE≌△A'B'C'.∴△ABC∽△A'B'C'.第11頁(yè)/共19頁(yè)知識(shí)小結(jié)第12頁(yè)/共19頁(yè)檢測(cè)反饋1.下列各組圖形有可能不相似的是

(

)A.有一個(gè)角等于50°的兩個(gè)直角三角形相似B.有一個(gè)角等于60°的兩個(gè)等腰三角形相似C.有一個(gè)角等于50°的兩個(gè)等腰三角形相似D.有一個(gè)角等于120°的兩個(gè)等腰三角形相似解析:有一個(gè)角等于50°的兩個(gè)直角三角形相似,符合判定定理1,故選項(xiàng)A正確;有一個(gè)角等于60°的兩個(gè)等腰三角形相似,符合判定定理1,故選項(xiàng)B正確;有一個(gè)角等于50°的等腰三角形,可能頂角是50°,也可能底角是50°,故不一定相似,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤;有一個(gè)角等于120°的兩個(gè)等腰三角形相似,符合判定定理1,故選項(xiàng)D正確.故選C.C第13頁(yè)/共19頁(yè)2.如圖所示,D是△ABC的邊AB上一點(diǎn)(D不與A,B重合),在條件：(1)∠ACD=∠B,(2)AC2=AD·AB,(3)AB邊上與點(diǎn)C距離相等的點(diǎn)D有兩個(gè),(4)∠B=∠ACB中,一定使△ABC∽△ACD的個(gè)數(shù)是

(

)A.1 B.2 C.3 D.4B第14頁(yè)/共19頁(yè)(1)∵∠ACD=∠B,∠CAD=∠BAC,∴△ABC∽△ACD;解析：又∵∠CAD=∠BAC,∴△ABC∽△ACD;(3)∵AB邊上與點(diǎn)C距離相等的點(diǎn)D有兩個(gè),∴CD長(zhǎng)不確定,那么符合條件的點(diǎn)有很多,不固定,那么△ACD的形狀也無(wú)法確定,也就無(wú)法證明△ACD∽△ABC;(4)∵∠B=∠ACB,∴△ABC是等腰三角形,而△ACD不一定是等腰三角形,故兩三角形不一定相似.故選B.第15頁(yè)/共19頁(yè)3.從下面這些三角形中,選出相似的三角形.①⑤⑥相似,②⑦相似,③④⑧相似.第16頁(yè)/共19頁(yè)4.如圖所示,已知△ABD∽△ACE,求證△ABC∽△ADE.解析:由于△ABD∽△ACE,因此∠BAD=∠CAE,因此∠BAC=∠DAE,第17頁(yè)/共19頁(yè)又∵∠BAC=∠BAD+∠DAC,∠