現(xiàn)控與古典控制總結(jié)

關(guān)于現(xiàn)代控制與古典控制理論的總結(jié)古典控制理論與現(xiàn)代控制理論從以下五個(gè)方面的比較：描述方法的不同古典控制理論主要采用常微分方程，傳遞函數(shù)來進(jìn)行系統(tǒng)的描述（局限有兩點(diǎn)：i.只能描述線性定常系統(tǒng)SISOoii.只能反映系統(tǒng)的輸入-輸出關(guān)系，反映系統(tǒng)的外部特性）?，F(xiàn)代控制理論以狀態(tài)空間法分析系統(tǒng)。（改進(jìn)了兩處：i.可描述時(shí)變的系統(tǒng)，非線性系統(tǒng)，隨機(jī)系統(tǒng)°ii.可確定系統(tǒng)的全部運(yùn)動(dòng)狀態(tài)）。分析方法的不同古典控制理論以時(shí)域法（因調(diào)整參數(shù)而重新計(jì)算時(shí)，限制了時(shí)域分析法在三階以上系統(tǒng)中的應(yīng)用），頻域法，根軌跡法（只能近似的分析系統(tǒng)）?，F(xiàn)代控制理論利用矩陣論，狀態(tài)空間法等數(shù)學(xué)工具，著重實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)最優(yōu)控制的研究（使系統(tǒng)某種性能指標(biāo)達(dá)到最佳），最優(yōu)控制往往要求系統(tǒng)的狀態(tài)反饋控制，從而引入了能控性和能觀性兩個(gè)重要概念。系統(tǒng)穩(wěn)定性判別方法的不同古典控制理論主要依據(jù)勞斯判據(jù)和奈氏穩(wěn)定判據(jù)來分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性（只適用于線性定常系統(tǒng)，而且計(jì)算量大）?，F(xiàn)代控制理論主要是采用李雅譜諾夫第二法對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行分析判斷，給出的判定信息不是近似的（但李雅譜諾夫函數(shù)的選取是困難的）?？刂葡到y(tǒng)的設(shè)計(jì)方法不同古典控制理論主要引入一些附加的校正裝置，長期以來，PID（比例-積分-微分）調(diào)節(jié)器得到了廣泛的應(yīng)用。利用系統(tǒng)的輸出進(jìn)行反饋，構(gòu)成輸出負(fù)反饋系統(tǒng)，可以得到較滿意的系統(tǒng)性能?，F(xiàn)代控制理論主要是關(guān)于狀態(tài)反饋控制器和觀測(cè)器的設(shè)計(jì)。狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計(jì)，實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)極點(diǎn)零點(diǎn)的重新配置，以期獲得所期望的性能，但實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋的前提是狀態(tài)變量必須能用傳感器測(cè)量得到；狀態(tài)觀測(cè)器的設(shè)計(jì)，解決了在確定條件下受控系統(tǒng)的狀態(tài)重構(gòu)問題，實(shí)現(xiàn)了閉環(huán)極點(diǎn)的任意配置。發(fā)展結(jié)果的不同古典控制理論發(fā)展大致經(jīng)歷了三個(gè)階段：一是奈奎斯特揭示了反饋系統(tǒng)中產(chǎn)生條件不穩(wěn)定的原因，并給出了奈奎斯特判據(jù)；二是波特引入了對(duì)數(shù)頻率的對(duì)數(shù)復(fù)頻和相頻特性圖（波特圖）；三是W.R.Evans提出的根軌跡法，為控制系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)開辟了新的方法?，F(xiàn)代控制理論發(fā)展的重要標(biāo)志性成果是卡爾曼提出的狀態(tài)空間的描述，引入了能控性和能觀性理論，使線性系統(tǒng)的分析與綜合在方法上發(fā)生了重大的變化。關(guān)于控制系統(tǒng)的能控性和能觀性分析能控性是分析輸入對(duì)狀態(tài)變量的控制能力(系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)是否可由輸入影響的問題)，能觀性是分析輸出對(duì)狀態(tài)的反映能力(系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)是否可由輸出反映的問題)。定義:①能控性：對(duì)于任意初始狀態(tài)x(t)能夠找到相應(yīng)的輸入u(t)，能在0有限時(shí)間區(qū)域［t0,t］內(nèi)，轉(zhuǎn)移到任意指定的狀態(tài)x(t)。②能觀性：對(duì)于任意的輸入，使得根據(jù)在有限時(shí)間區(qū)域［t0,tf］期間的輸出y(t)能唯一的確定系統(tǒng)初始狀態(tài)x(t)。0問題的引入一一為何設(shè)計(jì)觀測(cè)器？在現(xiàn)代控制理論中，其反饋信息是由系統(tǒng)的狀態(tài)變量組合而成，但并非所有的狀態(tài)變量都能測(cè)取到，于是提出能否通過對(duì)輸出的測(cè)量而獲得狀態(tài)變量的信息，這便是系統(tǒng)的能觀性問題。為了實(shí)現(xiàn)極點(diǎn)的任意配置，離不開全狀態(tài)反饋，由于系統(tǒng)的狀態(tài)變量不是易于直接能檢測(cè)到的，這樣就提出狀態(tài)觀測(cè)器的設(shè)計(jì)或者狀態(tài)重構(gòu)的問題。狀態(tài)觀測(cè)器存在的充要條件：Z0的不能觀子系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定。(才能使lim(x-x)=0)，而狀態(tài)逼近的速度將取決于G的選擇和(A-GC)特征值的配置。tT3判別方法的小結(jié)：⑴能控性判據(jù)(三種方法)：①系統(tǒng)矩陣A特征值互異時(shí)，系統(tǒng)能控性的充要條件是控制矩陣T-18的各行元素沒有全為零的；特征值有重根時(shí)，控制矩陣T-1B與約旦塊最后一行相對(duì)應(yīng)的一行元素沒有全為零的②根據(jù)能控性矩陣M=［bAbA2b...A〃-b］的秩判別。③狀態(tài)完全能控的充分條件是傳遞函數(shù)中沒有零極點(diǎn)重合的現(xiàn)象。⑵能觀性判據(jù)(三種方法)①系統(tǒng)矩陣A為對(duì)角型時(shí)，系統(tǒng)能觀的充要條件是輸出矩陣C中沒有全為零的列；系統(tǒng)矩陣A為約旦標(biāo)準(zhǔn)型時(shí)，系統(tǒng)能觀的充要條件是輸出矩陣C中對(duì)應(yīng)每個(gè)約旦塊開頭的一列元素不全為零②根據(jù)能觀性矩陣N=［CCACA2CAn-i］t的秩判別。③狀態(tài)完全能控的充分條件是傳遞函數(shù)中沒有零極點(diǎn)重合的現(xiàn)象。關(guān)于現(xiàn)代控制中控制器的設(shè)計(jì)小結(jié)(一)狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計(jì)：目標(biāo)：實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)極點(diǎn)的任意配置，以期獲得所期望的性能。設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋控制器的步驟：方法一(適合高階系統(tǒng))首先判斷是否完全能控，是，則存在狀態(tài)反饋控制器。通過線性變換x=T1x化為能控標(biāo)準(zhǔn)I型，得到瓦b,c。加入狀態(tài)反饋增°益陣K=[%,￡,???,k1],求出對(duì)應(yīng)的閉環(huán)特征多項(xiàng)式f(人)=1XI-(A+bK)1。 "由給定的期望極點(diǎn)，求出期望的閉環(huán)特征多項(xiàng)式f*(x)=n(x-x*)，將f(X)與if*(X)比較，即可得到K=k，",k1]o求對(duì)應(yīng)于狀態(tài)x下的k=kt-i。。C1方法二(適合于系統(tǒng)階次較低)可直接由系統(tǒng)的A,b矩陣求狀態(tài)反饋增益矩陣K，不通過非奇異變換。首先判斷是否完全能控，是，則存在狀態(tài)反饋控制器。加入狀態(tài)反饋增益矩陣K=[k°,k1,…,k1],得到對(duì)應(yīng)的閉環(huán)特征多項(xiàng)式。f(X)=|XI-(A+bK)1由給定的期望極點(diǎn)，求出期望的閉環(huán)特征多項(xiàng)式f*(X)=nn-x*)。將f(X)與if*(X)比較，即可得到K=[k°,k1,…,k1]。注意：如果一般給定的是傳遞函數(shù)，"令」應(yīng)寫出狀態(tài)空間描述，然后進(jìn)行設(shè)計(jì)。注意事項(xiàng)選擇期望的極點(diǎn)，是比較困難的。一般要考慮以下兩點(diǎn)：對(duì)一個(gè)n維系統(tǒng)，必須指定n個(gè)實(shí)極點(diǎn)或共軛復(fù)極點(diǎn).極點(diǎn)位置的確定，要充分考慮對(duì)系統(tǒng)性能的影響,和零極點(diǎn)分布狀況的關(guān)系.對(duì)于SI系統(tǒng),只要系統(tǒng)能控，肯定能通過狀態(tài)反饋實(shí)現(xiàn)極點(diǎn)的任意配置.對(duì)于MI系統(tǒng)有三點(diǎn)困難：將綜合指標(biāo)化為期望的極點(diǎn)不容易.氣化為能控標(biāo)準(zhǔn)型亦相當(dāng)麻煩.狀態(tài)反饋陣K的解也非唯一.(二)狀態(tài)觀測(cè)器的設(shè)計(jì)： 一― 人 ....定義：設(shè)線性定常系統(tǒng)Z0的狀態(tài)矢量X不能直接檢測(cè)，如果Z以Z0的輸一 一…一 - - 一 、 , 一一 . 人入u和輸出y作為其輸入量，產(chǎn)生一組輸出量X漸近x，即mX)X0=，則稱ztT3為Z0的一個(gè)狀態(tài)觀測(cè)器。狀態(tài)觀測(cè)器的構(gòu)造原則：? ... 人? 觀測(cè)器z應(yīng)以z的輸入和輸出作為其輸入量0原系統(tǒng)必須完全能觀，或其不能觀子系統(tǒng)漸近穩(wěn)定-... .. z的輸出X應(yīng)以足夠快的速度趨近X(利用輸出信息對(duì)狀態(tài)誤差進(jìn)行校正)3.狀態(tài)觀測(cè)器的實(shí)現(xiàn)：(漸近觀測(cè)器)狀態(tài)觀測(cè)器的方程：￡=Ax+Bu+G3-J)G為狀態(tài)觀測(cè)器的輸出誤差反饋矩陣。G矩陣的設(shè)計(jì)方法一(適合高階系統(tǒng))：首先判斷系統(tǒng)是否能觀，是，則存在輸出反饋6。通過線性變換x=Tx化為能觀標(biāo)準(zhǔn)II型。o2引入輸出反饋增益矩陣G=[g0,g1,…,離1]T，得到A+Gc，求出對(duì)應(yīng)的閉環(huán)特征多項(xiàng)式f(人)=1人I-(A+Gc)1。 "由給定的期望極點(diǎn)，求出期望的閉環(huán)特征多項(xiàng)式f*Q)=nn-人*)。i將fn)與f@)比較，即可得到g=頃。,g1，…,g〃/。在x下求得G，變換到x狀態(tài)下求G=QT2G。"-方法二(適合系統(tǒng)階次較低)可直接由反映系統(tǒng)的A,c矩陣求狀態(tài)反饋增益矩陣G=[g,g，…,g]，不通過非奇異變換。01 n-1首先判斷是否完全能觀，是，則存在輸出反饋G。加入從輸出到x的反饋增益矩陣G=[g,g，…,g]，得到A+Gc，求出對(duì)應(yīng)01 n-1的閉環(huán)特征多項(xiàng)式f(X)=|人I-(A+Gc)I。由給定的期望極點(diǎn)，求出期望的閉環(huán)特征多項(xiàng)式f*(X)=n(X-x*)。i將f(X)與f*(X)比較，即可得到G=[g0,g「...,g〃1]。關(guān)于古典控制理論中校正裝置的小結(jié)。1 n-1k基本的控制規(guī)律：常見的PID控制器傳遞函數(shù)G(s)=k+k^+i比例控制規(guī)律P

作用：增大*，就是增大系統(tǒng)的開環(huán)放大系數(shù)，減小系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，提高系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度。成比例地反映控制系統(tǒng)的偏差信號(hào)。。），偏差一旦產(chǎn)生，控制器立即產(chǎn)生控制作用，以減小偏差。比例微分控制規(guī)律PD（超前校正）被控對(duì)象被控對(duì)象作用：產(chǎn)生早期修正信號(hào)，以增加系統(tǒng)的阻尼程度，從而改善系統(tǒng)的穩(wěn)定性，增加一個(gè)匕的開環(huán)零點(diǎn)，使系統(tǒng)的相角裕度提高，有助于動(dòng)態(tài)性能的改善。kD3.比例積分控制規(guī)律D3.比例積分控制規(guī)律PI（滯后校正）被控對(duì)象作用：在系統(tǒng)中增加一個(gè)位于原點(diǎn)的開環(huán)極點(diǎn)，同時(shí)也增加了一個(gè)位于S左半平面的開環(huán)零點(diǎn)，在實(shí)踐中PI控制器主要用于改善系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能。主要用于消除靜差，提高系統(tǒng)的無差度。積分作用的強(qiáng)弱取決于積分時(shí)間常數(shù)T,T越大，積分作用越弱，反之則越強(qiáng)。比例積分微分控制規(guī)律PID（滯后超前校正）作用：應(yīng)使I發(fā)生在系統(tǒng)頻率特性的低頻段，提高系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能：使D部分發(fā)生在系統(tǒng)頻率特性的中頻段，改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。

李雅普諾夫穩(wěn)定性理論的分析問題的引入一一李雅普諾夫下系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題系統(tǒng)的穩(wěn)定性定義：系統(tǒng)受到小的外界干擾后，系統(tǒng)的偏差量的過渡過程的收斂性。它是系統(tǒng)的一個(gè)動(dòng)態(tài)屬性，數(shù)學(xué)表達(dá)式是lim|Ax(r)|<e3為任意小t—3的規(guī)定量)。李雅普諾夫從能量的觀點(diǎn)指出，若系統(tǒng)有一個(gè)平衡點(diǎn)，則當(dāng)t—3時(shí)，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)到平衡點(diǎn)時(shí)，則系統(tǒng)積蓄的能量必達(dá)到一個(gè)極小值。對(duì)于線性定常系統(tǒng)，用勞斯判據(jù)或奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行判斷；對(duì)于非線性系統(tǒng)和時(shí)變系統(tǒng)，一般用基于李雅普諾夫第二法而得到四個(gè)穩(wěn)定性判據(jù)。李雅普諾夫系統(tǒng)穩(wěn)定性問題的兩種方法李雅普第一法：通過求解系統(tǒng)的微分方程，根據(jù)解的性質(zhì)來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性(線性化的微分方程的根全部是復(fù)實(shí)根，或是負(fù)實(shí)數(shù)部分的復(fù)根)，系統(tǒng)在工作點(diǎn)附近是穩(wěn)定的。李雅普第二法：直接對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行分析判斷，而且給出的穩(wěn)定信息不是近似的。(關(guān)鍵在于能否找到一個(gè)合適的李雅普諾夫函數(shù))李雅普諾夫方法的概述1.第一法：系統(tǒng)微分方程的解與系統(tǒng)穩(wěn)定性的關(guān)系(以二階系統(tǒng)為例)一寸人士一d2xt/dx、dx./dx、八一階系統(tǒng)表?。汉?A(x,d~)d+A(x,云)=0將(1)式表示為：dxi=P(x,x) dX2=Q(x,x) (2)dt12dt12能使(2)式等于零的點(diǎn)就是微分方程的奇點(diǎn)，因此系統(tǒng)的微分方程的奇點(diǎn)代表的就是系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)過程中的平衡點(diǎn)。在坐標(biāo)原點(diǎn)附近將dx—1=在坐標(biāo)原點(diǎn)附近將dx—1=ax+bxdt11 12dx 7—2=ax+bxdt21 22」(2)式展開為級(jí)數(shù)并忽略高次項(xiàng)得：取拉氏變換并消去變量x2得：x(s)= (s-b2x](C+bf2(0)1 s2-(a+b)s+(ab-ab)1 2 12 21(3)令a=-(a+b)，b=ab-ab貝U特征多項(xiàng)式為：人2+a人+b=01 2 12 21\=-""；"七2在復(fù)平面的位置決定了奇點(diǎn)的類型，二階系統(tǒng)的奇點(diǎn)有以下下六種情況：

八不穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)xx?八不穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)xx?第二法：李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性(對(duì)于一個(gè)球域5(6)，若存在一個(gè)球①漸近穩(wěn)定的②大范圍內(nèi)的漸近穩(wěn)定對(duì)于所有的狀態(tài)，如果由這些狀態(tài)出發(fā)的軌跡都收斂于平衡狀態(tài)Xe。域5(5)，當(dāng)tF時(shí)，從5(5)出發(fā)的軌跡離不開5(6)，則稱系統(tǒng)的平衡狀態(tài)％是李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定) ①漸近穩(wěn)定的②大范圍內(nèi)的漸近穩(wěn)定對(duì)于所有的狀態(tài)，如果由這些狀態(tài)出發(fā)的軌跡都收斂于平衡狀態(tài)Xe。當(dāng)t—8時(shí)，不僅不能超出其球域5(6)而且最后收斂于平衡狀態(tài)X。說明以下三點(diǎn)：線性系統(tǒng)只有一個(gè)平衡點(diǎn)，只要是漸近穩(wěn)定的，系統(tǒng)就一定是大范圍內(nèi)的漸近穩(wěn)定。確定系統(tǒng)穩(wěn)定的范圍很重要，因?yàn)橹懒似浞秶?，才能明確系統(tǒng)的抗干擾程度，漸近穩(wěn)定是一個(gè)局部概念(大范圍內(nèi)非漸近穩(wěn)定的系統(tǒng)，它可能是局部漸近穩(wěn)定的)。按李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性定義，當(dāng)系統(tǒng)作等幅振蕩運(yùn)動(dòng)時(shí)，只要不超過S(6)，則認(rèn)為是穩(wěn)定的，如線性系統(tǒng)的無阻尼自由振蕩和非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定極限環(huán)，這同古典控制理論中的穩(wěn)定性定義是有差異的。經(jīng)典控制理論的穩(wěn)定是李雅普諾夫意義下的一致漸近穩(wěn)定。李雅普諾夫穩(wěn)定性定理(所述條件都是充分條件)設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為x=/(x,t)，其平衡狀態(tài)滿足/(0,t)=0，把狀態(tài)空間原點(diǎn)作為平衡狀態(tài)，在原點(diǎn)鄰域存在V(x,t)對(duì)x的連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)。定理1若①V(x,t)正定，②V(x,t)負(fù)定；則原點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的。定理2若①V(x,t)正定；②V(x,t)負(fù)半定，且在非零狀態(tài)不恒為零；則原點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的。指系統(tǒng)將繼續(xù)運(yùn)行至原點(diǎn)，狀態(tài)軌跡僅是經(jīng)歷能量不變的狀態(tài)，而不會(huì)維持在該狀態(tài)。定理3若①V3,t)正定；②V3,t)負(fù)半定，且在非零狀態(tài)恒為零；則原點(diǎn)是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的，但非漸近穩(wěn)定。定理4若①V3,t)正定；②V3,t)正定；則原點(diǎn)是不穩(wěn)定的。李雅普諾夫函數(shù)的選取方法的小結(jié)大多數(shù)系統(tǒng)，可先嘗試用二次型函數(shù)沖〃少作為李雅普諾夫函