第四講矩陣的運算與逆矩陣

第四講矩陣的運算與逆矩陣1第一頁，共三十一頁，2022年，8月28日第四講矩陣的運算與逆矩陣本次課講：

1.教材第二章第二節(jié)：矩陣的基本運算和關系運算2.教材第二章第三節(jié)：逆矩陣的概念與性質3.下次上課時交作業(yè)：P9－P12下次課講：

1.教材第二章第三節(jié)（續(xù)）：逆矩陣的運算與證明2.教材第二章第四節(jié)：矩陣的分塊法3.教材第三章第一節(jié)：初等變換的基本概念2第二頁，共三十一頁，2022年，8月28日第四講矩陣的運算與逆矩陣學完本次課達到如下要求

1.會用符號語言表述加減數(shù)乘冪、轉置對稱伴隨等運算。2.加減數(shù)乘冪運算掌握運算律，即了解什么是不可以的，如乘法不交換不消去不化零。3.轉置、對稱、行列式和伴隨運算要熟記關系運算公式，請記住伴隨行列式?jīng)]有加法公式，伴隨運算也沒有乘法運算。3第三頁，共三十一頁，2022年，8月28日

3.矩陣與矩陣相乘（重點是乘的過程與表達式）設有兩個線性變換:求出從到的線性變換.一、矩陣的四則運算（1）乘法的歷史第四講矩陣的運算與逆矩陣4第四頁，共三十一頁，2022年，8月28日2×22×33×2（2）乘法的定義與運算規(guī)律定義4其中并把此乘積記作：設是一個m×s

矩陣,是一個s×n

矩陣,那么規(guī)定矩陣A與矩陣B

的乘積是一個m×n矩陣

矩陣形式如下：第四講矩陣的運算與逆矩陣5第五頁，共三十一頁，2022年，8月28日第四講矩陣的運算與逆矩陣6第六頁，共三十一頁，2022年，8月28日如:是一個數(shù).注意：只有當左矩陣的列數(shù)等于右矩陣的行數(shù)時，兩個矩陣才可以相乘(與順序有關).（3）矩陣運算的性質（與實數(shù)運算的對比）通過以上對矩陣運算的了解，尤其是對矩陣乘法運算的分析，我們可以對比一下矩陣的代數(shù)運算與我們所熟悉的實數(shù)的代數(shù)運算，并找出它們之間的本質區(qū)別：第四講矩陣的運算與逆矩陣7第七頁，共三十一頁，2022年，8月28日例1求矩陣與的乘積AB.1）乘法一般不滿足交換律:解但無法相乘.2×3再如：若A是m×n矩陣，而B是n×m矩陣，則AB與BA都有意義但AB≠BA.若階方陣A,B滿足AB=BA稱A與B可交換第四講矩陣的運算與逆矩陣8第八頁，共三十一頁，2022年，8月28日2）實數(shù)運算存在化0因子，即若ab=0,則a,b至少有一個數(shù)是0。但矩陣運算不存在化0因子，即若AB=0,A與B可能都不為0，如下例3）實數(shù)滿足消去律，但矩陣乘法消去律不再成立。就是說，若矩陣A、B、C滿足AB=AC，并且A不為0，則不能推出B＝C，例如例2求矩陣與的乘積AB與BA.解4)可相乘的單位矩陣與任意矩陣可交換或簡寫成EA=AE=A.第四講矩陣的運算與逆矩陣9第九頁，共三十一頁，2022年，8月28日6）用矩陣的乘法表示線性變換和線性方程組系數(shù)矩陣由矩陣乘法知：設給定一個線性變換5)矩陣的乘法雖然一般不能滿足交換律，但結合律卻總是成立的，因此，涉及多矩陣連乘時，在不改變左右順序及相鄰矩陣可相乘的前提下可任意添加或刪去括號。(i)(ii)(iii)（其中λ為數(shù)）；第四講矩陣的運算與逆矩陣10第十頁，共三十一頁，2022年，8月28日（方）矩陣的冪設A是n階方陣，定義注：1.只有方陣，它的冪才有意義。2.3.對于兩個n階矩陣，一般如4.第四講矩陣的運算與逆矩陣11第十一頁，共三十一頁，2022年，8月28日例3：第四講矩陣的運算與逆矩陣二、矩陣的關系運算12第十二頁，共三十一頁，2022年，8月28日定義51.矩陣的轉置叫做矩陣A的轉置矩陣，記作.把矩陣A的行換成同序數(shù)的列得到一個新矩陣，若則矩陣的轉置也是一種運算，它滿足下述運算規(guī)律(i)(ii)(iii)(iv)（A為方陣）第四講矩陣的運算與逆矩陣13第十三頁，共三十一頁，2022年，8月28日證明(iv)設所以第四講矩陣的運算與逆矩陣14第十四頁，共三十一頁，2022年，8月28日例4：已知求解注：行矩陣的轉置矩陣是列矩陣，列矩陣的轉置矩陣是行矩陣。第四講矩陣的運算與逆矩陣15第十五頁，共三十一頁，2022年，8月28日第四講矩陣的運算與逆矩陣例5（2000.2）16第十六頁，共三十一頁，2022年，8月28日那么A稱為對稱矩陣.設A為n階方陣，若滿足即用轉置定義對稱矩陣例6：設A為對稱矩陣,為多項式，試證仍為對稱矩陣。證明：設2.對稱矩陣第四講矩陣的運算與逆矩陣17第十七頁，共三十一頁，2022年，8月28日3.方陣的行列式定義6由n

階方陣A的元素所構成的行列式（各元素的位置不變）,稱為方陣A

的行列式，記作注：n階方陣是一個數(shù)表，n階行列式是一個數(shù).或由A確定的這個運算滿足下述運算規(guī)律（設A,B為n階方陣，λ為實數(shù)）：(i)(ii)(iii)

第四講矩陣的運算與逆矩陣18第十八頁，共三十一頁，2022年，8月28日設矩陣A為A的伴隨矩陣.試證證設記則注意A*的排列順序4.伴隨矩陣性質：第四講矩陣的運算與逆矩陣19第十九頁，共三十一頁，2022年，8月28日故OO類似有例8：設解：5.共軛矩陣（自己看書，知道定義就可以了。略）第四講矩陣的運算與逆矩陣20第二十頁，共三十一頁，2022年，8月28日三、逆矩陣設給定一個線性變換（1）它的系數(shù)矩陣是一個n階矩陣A,若記則線性變換（1）可記作（2）是否存在從Y到X的現(xiàn)行變換，若存在這樣的變換，即意味著存在矩陣B，使得(3)（3）表示一個從Y到X的線性變換,稱為線性變換(2)的逆變換.第四講矩陣的運算與逆矩陣21第二十一頁，共三十一頁，2022年，8月28日顯然，為恒等變換所對應的矩陣，所以所以于是定義7對于

n階矩陣A

,若有一個

n階矩陣

B

,使得則說矩陣A

是可逆的，并稱矩陣B是矩陣A的逆矩陣.A的逆矩陣記作即若則由（2）、（3）兩式得1.逆矩陣的定義第四講矩陣的運算與逆矩陣22第二十二頁，共三十一頁，2022年，8月28日2.逆矩陣的性質設B、C都是A的逆矩陣，則有證：1）唯一性：若矩陣A是可逆的，那么A的逆矩陣一定是唯一的.2）非奇異性（1）奇異概念當時，稱為奇異矩陣，否則稱為非奇異矩陣。是可逆矩陣的充分必要條件是（2）定理：證：必要性：若A可逆即有使得所以即第四講矩陣的運算與逆矩陣23第二十三頁，共三十一頁，2022年，8月28日充分性：若設為矩陣的伴隨矩陣.又因為所以有按逆矩陣的定義有3）可交換性：若（或），則證所以因而存在，于是證畢說明：該性質不僅說明了可逆的非奇異性，還詮釋了一種用伴隨矩陣求逆矩陣的方法第四講矩陣的運算與逆矩陣24第二十四頁，共三十一頁，2022年，8月28日方陣的逆矩陣滿足下述運算規(guī)律（i）若可逆，則也可逆，且（ii）若可逆，數(shù)λ≠0，則可逆，且本定義說明，若AB=E，則AB=BA=E，即在逆矩陣定義中，只要滿足AB=E或BA=E的一個，即滿足定義。即A、B可交換，且交換乘積結果一致。3.逆矩陣的運算規(guī)律：（iii）若為同階矩陣且均可逆，則亦可逆，且證即結論成立第四講矩陣的運算與逆矩陣25第二十五頁，共三十一頁，2022年，8月28日（iv）若可逆，則亦可逆，且證所以有注（1）：方陣的冪的拓展當時，還可定義其中k為正整數(shù)。這樣，當，λ，μ均為整數(shù)時，有存在，（2）若第四講矩陣的運算與逆矩陣26第二十六頁，共三十一頁，2022年，8月28日例1求方陣逆矩陣.解則存在.所以教材例11根據(jù)求逆矩陣的定理，由此可見，求逆矩陣的運算量是很大的。這在后面還有更好的辦法可以解決。三、逆矩陣的計算舉例第四講