四面體外接球的球心、半徑求法2218

創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十日四面體外接球的球心、半徑求法之吉白夕凡創(chuàng)作創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十日在立體幾何中,幾何體外接球是一個?？嫉闹R點,對學生來說這是一個難點情況下無從下手題.,一方面圖形不會畫,另一方面在畫出圖形的,不知道球心在什么位置,半徑是幾多而無法解本文章在給出圖形的情況下解決球心位置、半徑年夜小的問題.呈現(xiàn)“墻角”結構利用補形知識,聯(lián)系長方體.一、【原理】：長方體中從一個極點動身的三條棱長分別為a,b,c,則體對角線長為la2bc2,幾何體的外接球直徑2R為體對角線2a2b2c2長l即R2【例題】：在四面體中,共極點的三條棱兩兩垂直,其長度ABCD分別為1，6,3,若該四面體的四個極點在一個球面上,求這個球的概況積.解：D因為：長方體外接球的直徑為長方體的體對角線長所以：四面體外接球的直徑為AE的長E即：4R2AB2AC2AD2AC4R21232616所以R22B球的概況積為S4R216二、呈現(xiàn)兩個垂直關系,利用直角三角形結論.創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十日創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十日【原理】：直角三角形斜邊中線即是斜邊一半.球心為直角三角形斜邊中點.【例題】：已知三棱錐的四個極點都在球的球面上,ABBCO且,,,,求球的體積.PA7PB5PC51AC10O解：且,ABBC,,,PA7PB5PC51AC10因為所以知PCPA2275110222AC2所以所以可得圖形為：PAPCP在RtABC中斜邊為AC在中斜邊為ACRtPACB取斜邊的中點O,在中RtABCOAOBOCACO在中RtPACOPOBOC所以在幾何體中OPOBOCOA,即為該四面體的外接球的球O心4所以該外接球的體積為500VR333【總結】斜邊一般為四面體中除直角極點以外的兩個點連線.呈現(xiàn)多個垂直關系時建立空間直角坐標系,利用向量知識求三、解【例題】：已知在三棱錐ABCD中,,,AD面ABCBAC120zABADAC2,求該棱錐的外接球半徑.D解：由已知建立空間直角坐標系由平面知識得ACy創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十日xBAOBOCODOyzxy(z2)222222223解得x1yz13R1（3）212213所以半徑為23【結論】：空間兩點間距離公式：PQ(xx)2(yy)2(zz)2121212四面體是正四面體四、處置球的“內切”“外接”問題與球有關的組合體問題,一種是內切,一種是外接.作為這種特殊的位置關系在高考中也是考查的重點,但同學們又因缺乏較強的空間想象能力而感到模糊.解決這類題目時要認真分析圖形,明確切點和接點的位置及球心的位置,畫好截面圖是關鍵,可使這類問題迎刃而解.一、棱錐的內切、外接球問題例1.正四面體的和內切球的半徑是幾多？運用正四面體的二心合一性質,作出截面圖,關系解之.解：如圖1所示,設點是外接球分析：通過點、線、面內切球的球心,正四面O體棱長為a．由圖形的對稱性知,點O也是外接球的球心．設內切球半徑為r,外接球半徑為R．圖13．S4a23a2表4133a2正四面體的體積VABCDa342AE12ABBE2223123a3133VABCD6a,rSrV表12ABCDSa2表236R4在RtBEO中,BO2BE2EO,即,得a,得2R2ar23R3r【點評】由于正四面體自己的對稱性可知,內切球和外接球的兩個球心是重合的,為正四面體高的四等分點,即內切球的半徑為h(h為正四面體的高),且外接球的半徑3h,從而可以通過44截面圖中建立棱長與半徑之間的關系.RtOBE例2．設棱錐MABCD的底面是正方形,且MAMD,MAAB,如果的面積為1,試求能夠放入這個棱錐的最年夜球的半徑.AMD解：ABAD,ABMA,AB平面MAD,由此,面面.記是的中點,MADACEAD從而MEAD.ME平面AC,MEEF設球是與平面、平面、平面都相切AC圖2OMADMBC的球.如圖2,得截面圖及內切圓OMEF無妨設平面,于是是的內心.OMEFOMEF2SMEF設球的半徑為,則Or,設rEFEMMFADEFa,S1.AMDEM2,MFa2r22a2221222,aa2a222aa2當且僅當,即時,等號成立.aa2a∴那時,滿足條件的球最年夜半徑為21.ADME2練習：一個正四面體內切球的概況積為3,求正四面體的棱長.（謎底為：2）【點評】根據(jù)棱錐的對稱性確定內切球與各面的切點位置,作出截面圖是解題的關鍵.二、球與棱柱的組合體問題1．正方體的內切球：圖3圖4圖5球與正方體的每個面都相切,切點為每個面的中心,顯然球心為正方體的中心.設正方體的棱長為a,球半徑為R.如圖3,截面圖為正方形EFGH的內切圓,得Ra；2與正方體各棱相切的球：球與正方體的各棱相切,切2．點為各棱的中點,如圖4作截面圖,圓O為正方形EFGH的外接圓,2易得Ra.23．正方體的外接球：正方體的八個極點都在球面上,如圖5,以對角面作截面圖得,圓為矩形的外接圓,易O3得a.1RAO2例3.在球面上有四個點P、A、B、C.如果PA、PB、PC兩兩互相垂直,且PAPBPCa解：由已知可得PA、PB、PC實際上,那么這個球的概況積是______.就是球內接正方體中交于一點的三條棱,正方體的對角線長就是球的直徑,連結過點的C一條對角線CD,則CD過球心O,對角線23CD3aS4a3a22球表面積練習：一棱長為的2a框架型正方體,內放一能充氣吹脹的氣球,求當球與正方體棱適好接觸但又不至于變形時的球的體積.3（謎底為6a32）V2a344．構造直三角形,巧解正正棱柱的外接球,其球心定在上下底面中心連線的中點處,由球心、底面中心及底面一極點構成的直角三角形即可得球半徑.棱柱與球的組合問題的六個極點在球上O1,又知球與此正三棱柱的5O2ABCABC111個面都相切,求球與球的體積之比與概況積之比.OO12分析：先畫出過球心的截面圖,求探半徑之間的關系.解：如圖6,由題意得兩球心O、O是重合的,過正三棱柱的12一條側棱AA和它們的球心作截面,設1圖6創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十日3正三棱柱底面邊長為a,則a,正三棱柱的高為2R63,由中,得RtADO11h2R2a332aR323a5a2,R122a62331225aS:SR2:R25:1V:V55:1,R112121212練習：正四棱柱的各極點都在半徑為的球面RABCDABCD1111上,求正四棱柱的正面積的最年夜值.