高二數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用檢測(cè)試題

由蓮山課件提由蓮山課件提供/由蓮山課件由蓮山課件提供/高考要數(shù)學(xué)歸納法是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容之一類比與猜想是應(yīng)用數(shù)學(xué)的一種主要思想方法重難(1)數(shù)學(xué)歸納法的基本形設(shè)P(n)是關(guān)于自然數(shù)n題，1°P(n0)成立(奠基2°假設(shè)P(k)成立(k≥n0)，可以推出P(k+1)成立(歸納)，則P(n)對(duì)一切大于等于n0的自然數(shù)n都成立(2)數(shù)學(xué)歸納法的計(jì)算問(wèn)題，數(shù)列的通項(xiàng)與和等典型題例示范講例1試證明不論正數(shù)a、b、c是等差數(shù)列還是等比數(shù)1,n∈N*且a、b、c互不相等時(shí)，均有 知識(shí)依托一般步驟錯(cuò)解分析只證明一種情況技巧與方法本題中使用到結(jié)論(ak－ck)(a－c)＞0恒成立(a、b、為正數(shù))，從而證明(1)a、b、c為等比數(shù)列，ab,c=bq(q＞0q =bn

1(2)設(shè)a、b、c為等差數(shù)列2b=a+c猜想ancn＞ac)n(n≥2 下面用數(shù)學(xué)歸納法證①當(dāng)n=2時(shí)，由2(a2+c2)＞(a+c)2a2c22

(ac2②設(shè)n=k時(shí)成立，即ak2

(ac)k,則當(dāng)n=k+1時(shí)ak1ck1

>1(ak+1+ck+1+ak·c+ck·a)=1 ＞(ac)k·(ac)=(ac 也就是說(shuō)，等式對(duì)n=k+1由①②知 ＞2bn對(duì)一切自然數(shù)n均成2在數(shù)列{an}中，a1=1，當(dāng)n≥2時(shí)，an,Sn,Sn1成等比數(shù)2知識(shí)依托等比數(shù)列的性質(zhì)及數(shù)學(xué)歸納法的一般步驟采用的方法是歸納、猜想、證錯(cuò)解分析(2)

2k

應(yīng)舍去，這一點(diǎn)往往容易被忽技巧與方法求通項(xiàng)可證明

1}是以{

}為首項(xiàng)，1為公差的等2數(shù)列，進(jìn)而求得通項(xiàng)解∵an,Sn,Sn1成等比數(shù)2∴S2=a·(S－1 由a1=1,S2=a1+a2=1+a2,代入(*)式得:a2=－3a1=1，a2=2,S31+a3代入(*)式得a3=

(n同理可得

2,由此可推出an=

(2n3)(2n

(n①當(dāng)n=1,2,3,4時(shí)，由(*)知猜想成②假設(shè)n=k(k≥2)

成(2k3)(2k

(2k3)(2k

·(Sk－12

2k

,

2k

(舍Sk+12=ak+1·(Sk+11),得(Sk+ak+1)2=ak+1(ak+1+Sk1

22ak1k

k

kk

k 由①②知，an=

(n

對(duì)一切n∈N成(2n3)(2n由(2)得數(shù)列前n項(xiàng)和

2n

,∴S=lim3是否存在a、b、c使得等式1·22+2·32+…+n(n+1)2n(n解假設(shè)存在a、b、c使題設(shè)的等式成41(ab66 a這時(shí)令n=1,2,3,有221(4a2bc)2 2 c 于是，對(duì)n=1,2,3下面等式成1·22+2·32+…+n(n+1)2=n(n1)(3n211nn=k時(shí)上式成立，即Skk(k

那么Sk+1=Sk+(k+1)(k+2)2k(k1)2=(k1)(k

=(k1)(k2)也就是說(shuō)，等式對(duì)n=k+1綜上所述，當(dāng)a=3,b=11,c=10時(shí)，題設(shè)對(duì)一切自然數(shù)n均成立已知f(n)=(2n+7)·3n+9,存在自然數(shù)m,使得對(duì)任意n∈N,都能使m整除f(n)，則最大的m的值為( 用數(shù)學(xué)歸納法證明3k≥n3(n≥3,n∈N)第一步應(yīng)驗(yàn)證( Cn=3 觀察下列式子113,1115

…則可歸 已知a112

an

,則a2,a3,a4,a5的值分

，由猜想 用數(shù)學(xué)歸納法證明42n1+3n+2能被13整除，其中n為大于1的自然數(shù)，求

1n

n

(1)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)bn;(2)設(shè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)

1)(其中a＞0a≠1)Sn是列{an}的前n項(xiàng)和，試比較Sn1logabn+1的大小，并證明你的3設(shè)實(shí)數(shù)q滿足|q|＜1,數(shù)列{an}滿足a1=2,a2≠0,an·an+1=－qn,an表達(dá)式，又如果limS2n＜3,求q的取值范參考答1解析∴f(1),f(2),f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除證明n=1,2時(shí)，由上得證，設(shè)n=k(k≥2)時(shí)，f(k)=(2k+7)·3k+9能被36整除，則n=k+1時(shí)， f(k+1)能被36整∵f(1)不能被大于36的數(shù)整除，∴所求最大的m值等于答案解析由題意知n≥3，∴應(yīng)驗(yàn)證答案解析1

3即1

1

21111

3

(2答案

1 1

(n1

2n1n2n1

(n

n4.解析a3a11 a 1123a3

3

,a2

3答案:3、3、3、 n5證明(1)n=1時(shí)，42×1+1+31+2=91能被13整(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，42k+1+3k+2能被13整除，則當(dāng)n=k+1時(shí) ∵42k+1·13能被13整除，42k+1+3k+213整∴當(dāng)n=k+1時(shí)也成由①②知，當(dāng)n∈N*時(shí)，42n+1+3n+2能被13整6證明(1)n=2時(shí)1

(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)成立，

1k

k

則 7(1)解設(shè)數(shù)列{bn}的公差為 b由題意得

10(101)d145

d

(2)證明由bn=3n－2Sn=loga(1+1)+loga(1+14

3n=loga［(1+1)(1+14

3n而13

,于是，比較Sn與1 的大33n33n33n比較(1+1)(1+14

)3n

的大3333113333311332n=2，有(1+1)(1+1)4推測(cè)(1+1)(1+1

3333333n

3n①當(dāng)n=1時(shí)，已驗(yàn)證(*)式成②假設(shè)n=k(k≥1)時(shí)(*)式成立，即(1+1)(1+14

13k

)＞33k則當(dāng)n=k+1時(shí)

43k233k3k

k(3k233k1)3(33k4)33k(3k2)3(3k4)(3k1)2(3k

9k(3k33k33(k33k33k33(k3k從而(11)(114

3k即當(dāng)n=k+1時(shí)，(*)式成由①②知，(*)式對(duì)任意正整數(shù)n都成立于是，當(dāng)a＞1時(shí)，Sn＞1logabn+1 30＜a＜1時(shí)，Sn138解∴q≠0,a2=－92兩式相

1,q于是，a1=2,a3=2·q,a5=2·qn…猜想a2n+1=122qk1綜合①②，猜想通項(xiàng)為an1

n2k1時(shí)(kNn2k時(shí)(kN下證(1)當(dāng)n=1,2時(shí)猜想 (2)設(shè)n=2k－1時(shí) =2·qk－1則n=2k+1 ∴a2k+1=2·qkn=2k－1成立可推知n=2k+1也成立設(shè)n=2k時(shí)，a2k=－1qk,則n=2k+2時(shí)，由于 2所以a2k+2=1qk+1,這說(shuō)明n=2k成立，可推知n=2k+2也成2綜上所述，對(duì)一切自然數(shù)n,猜想都2qk1這樣所求通項(xiàng)為an1