高考考點知識點專題總結復習一元二次方程

高考考點知識點專題總結復習一元二次方程高考考點知識點專題總結復習一元二次方程高考考點知識點專題總結復習一元二次方程一元二次方程基礎知識1、一元二次方程方程中只含有一個未知數，而且未知數的最高次數是2的方程，一般地，這樣的方程都整理成為形如的一般形式，我們把這樣的方程叫一元二次方程。其中分別叫做一元二次方程的二次項、一次項和常數項，a、b分別是二次項和一次項的系數。如：知足一般形式，分別是二次項、一次項和常數項，2，－4分別是二次項和一次項系數。注：若是方程中含有字母系數在討論是否是一元二次方程時，則需要討論字母的取值范圍。2.一元二次方程求根方法（1）直接開平方法形如的方程都能夠用開平方的方法寫成，求出它的

解，這種解法稱為直接開平方法。（2）配方法經過配方將原方程轉變?yōu)榈姆匠?，再用直接開平方法求解。配方：組成完好平方式的變形過程叫做配方。配方應注意：當二次項系數為1時，原式兩邊要加前一次項系數一半的平方，若

二次項系數不為1，只要方程兩邊同時除以二次項系數，使之成為1。（3）公式法求根公式：方程的求根公式步驟：1）把方程整理為一般形式：，確定a、b、c。2）計算式子的值。3）當時，把a、b和的值代入求根公式計算，就能夠求出方程的解。（4）因式分解法把一元二次方程整理為一般形式后，方程一邊為零，另一邊是對于未知數的二次三項式，若是這個二次三項式能夠作因式分解，就能夠把這樣的一元二次方程轉變?yōu)閮蓚€一元一次方程來求解，這種解方程的方法叫因式分解法。3、一元二次方程根的鑒別式的定義運用配方法解一元二次方程過程中獲得，顯然只有當時，才能直接開平方得：．也就是說，一元二次方程只有當系數、、知足條件時才有實數根．這里叫做一元二次方程根的鑒別式．4、鑒別式與根的關系在實數范圍內，一元二次方程的根由其系數、、確定，它的根的情況（可否有實數根）由確定．設一元二次方程為，其根的鑒別式為：則①方程有兩個不相等的實數根．②方程有兩個相等的實數根．③方程沒有實數根．若，，為有理數，且為完好平方式，則方程的解為有理根；若為完好平方式，同時是的整數倍，則方程的根為整數根．說明：⑴用鑒別式去判斷方程的根時，要先求出鑒別式的值：上述判斷方法也能夠反過來使用，當方程有兩個不相等的實數根時，；有兩個相等的實數根時，；沒有實數根時，．⑵在解一元二次方程時，一般情況下，第一要運用根的鑒別式判斷方程的根的情況（有兩個不相等的實數根，有兩個相等的實數根，無實數根）．當時，方程有兩個相等的實數根（二重根），不能夠說方程只有一個根．①當時拋物線張口向上極點為其最低點；②當時拋物線張口向下極點為其最高點．5、一元二次方程的根的鑒別式的應用一元二次方程的根的鑒別式在以下方面有著寬泛的應用：⑴運用鑒別式，判斷方程實數根的個數；⑵利用鑒別式成立等式、不等式，求方程中參數值或取值范圍；⑶經過鑒別式，證明與方程有關的代數問題；（4）借助鑒別式，運用一元二次方程必然有解的代數模型，解幾何存在性問題，最值問題．6、韋達定理若是的兩根是，，則，．（隱含的條件：）特別地，當一元二次方程的二次項系數為1時，設，是方程的兩個根，則，．7、韋達定理的逆定理以兩個數，為根的一元二次方程（二次項系數為1）是．一般地，若是有兩個數，知足，，那么，必然是的兩個根．8、韋達定理與根的符號關系在的條件下，我們有以下結論：⑴當時，方程的兩根必一正一負．若，則此方程的正根不小于負根的絕對值；若，則此方程的正根小于負根的絕對值．⑵當時，方程的兩根同正或同負．若，則此方程的兩根均為正根；若，則此方程的兩根均為負根．更一般的結論是：若，是的兩根（其中），且為實數，當時，一般地：①，②且，③且，特別地：當時，上述就轉變?yōu)橛袃僧惛烧?、兩負根的條件．其他適用結論：⑴若有理系數一元二次方程有一根，則必有一根（，為有理數）．⑵若，則方程必有實數根．⑶若，方程不用然有實數根．⑷若，則必有一根．⑸若，則必有一根．9、韋達定理的應用⑴已知方程的一個根，求另一個根以及確定方程參數的值；⑵已知方程，求對于方程的兩根的代數式的值；⑶已知方程的兩根，求作方程；⑷聯合根的鑒別式，討論根的符號特點；⑸逆用結構一元二次方程協助解題：當已知等式擁有同樣的結構時，就能夠把某兩個變元看作某個一元二次方程的兩根，以便利用韋達定理；⑹利用韋達定理求出一元二次方程中待定系數后，必然要考證方程的．一些考試中，經常利用這一點設置騙局10、整數根問題對于一元二次方程的實根情況，能夠用鑒別式來判別，可是對于一個含參數的一元二次方程來說，要判斷它可否有整數根或有理根，那么就沒有一致的方法了，只能詳細問題詳細剖析求解，自然，經常要用到一些整除性的性質．方程有整數根的條件：若是一元二次方程有整數根，那么必然同時知足以下條件：⑴為完好平方數；⑵或，其中為整數．以上兩個條件必定同時知足，缺一不能．其他，若是只知足鑒別式為完好平方數，則只能保證方程有有理根(其中、、均為有理數)11、一元二次方程的應用1．求代數式的值；可化為一元二次方程的分式方程。步驟：1）去分母，化分式方程為整式方程（一元二次方程）。2）解一元二次方程。3）查驗列方程解應用題步驟：審、設、列、解、驗、答●夯實基礎例1把以下方程先化成一元二次方程的一般形式，再寫出它的二次項系數，一次項系數和常數項。（1）（2）（3）（4）（5）例2已知對于的方程是一元二次方程，求的取值范圍．例3若一元二次方程的常數項為零，則的值為_________●能力提升例4對于x的方程是什么方程？它的各項系數分別是什么？例5已知方程是對于的一元二次方程，求、的值．例6若方程（m-1）x2+x=1是對于x的一元二次方程，則m的取值范圍是（）A．≠1．≥0．≥且≠1．m為任何實數●培優(yōu)訓練例7為何值時，對于的方程是一元二次方程．例8已知方程是對于的一元二次方程，求、的值．例9對于x的方程（m+3）xm2-7+（m-3）x+2=0是一元二次方程，則m的值為解：m2-7=2，解得m=±；當m=-3時m+3=0，則方程的二次項系數是0，不符合題意；因此m=3．例10（2000?蘭州）對于x的方程（m2-m-2）x2+mx+1=0是一元二次方程的條件是（）A．-1B．≠2C．-1或≠2D．-1且≠2●課后練習1、為何值時，對于的方程是一元二次方程．2、已知對于的方程是一元二次方程，求的取值范圍．3、已知對于的方程是一元二次方程，求的取值范圍．4、若是對于的一元二次方程，求、的值．5、若一元二次方程的常數項為零，則的值為________●夯實基礎例1、（2012?鄂爾多斯）若a是方程2x2-x-3=0的一個解，則6a2-3a的值為（）A．3B．-3C．9D．-9解：若a是方程2x2-x-3=0的一個根，則有2a2-a-3=0，變形得，2a2-a=3，故6a2-3a=3×3=應選C．例2（2011?哈爾濱）若x=2是對于x的一元二次方程x2-mx+8=0的一個解．則m的值是（）A．6B．5C．2D．-6解：把x=2代入方程得：4-2m+8=0，解得m=6．應選A例3用直接開平方法解以下方程（1）（2）（3）(4)(5)(6)例4先配方，再開平方解以下方程（1）（2）（3）(4)(5)(6)例5用公式法解以下方程（1）（2）（3）(4)(5)(6)例6用因式分解法解以下方程（1）（2）（3）(4)．(5)(6)●能力提升例7（2011?烏魯木齊）對于x的一元二次方程（a-1）x2+x+|a|-1=0的一個

根是0，則實數a的值為（A）A．-1B．0C．1D．-1或1例8對于x的一元二次方程（a-1）x2+ax+a2-1=0的一個根是0，則a值為

（C）A．1B．0C．-1D．±1例9方程x2+ax+b=0與x2+cx+d=0（≠）有同樣的根則α=______________例10已知a、x2-2x-4=0的兩個實數根，則a3+8β6值為（D）A．-1B．2C．22D．30例11對于x的一元二次方程（m-2）xm^-2+2mx-1=0的根是_______________例12解方程：例13解方程●培優(yōu)訓練例14（新思想）閱讀下面的例題：解方程：解：（1）當時，原方程化為，解得（不合題意，舍去），（2）當時，原方程化為．解得（不合題意，舍去），．請參照，則方程的根是_____________例15解方程：例16（新思想）設x1、x2是方程的兩個實數根，求代數式的值．例17（新思想）先請閱讀資料：為解方程，我們能夠將視為一個整體，爾后設，則，原方程化為，解得，．當時，，得；當時，，得；故原方程的解為，，，．在解方程的過程中，我們將用y代替，先解出對于y的方程，達到了降低方程次數的目的，這種方法叫做請你依照以上的閱讀，解以下方程：（1）；（2）．例18已知對于x的方程的一個解與方程的解同樣．（1）求k的值；（2）求方程的另一個解．例19（新思想）若x、y是實數，且確定m的最小值．例20（新思想）已知x、y、z為實數，且知足，則的最小值為______________課后練習一、填空：一元二次方程的一般形式是______________________一元二次方程的一般形式是_________________________________a=___________對于x的方程是一元二次方程，則m的取值范圍是___________4.對于x的方程是一元二次方程時，m的取值范圍

是__________一元一次方程時，m的取值范圍是___________2、以下方程中，是一元二次方程的為（）A．x2+3x=0B．2x+y=3CD．x（x2+2）=0三、用兩種方法解以下方程：1.2.3.5.6.8.10.4、解對于的方程：．五、解對于的方程：六、（新思想）△ABC中，三邊試判定△ABC的形狀7、（新思想）設x、y為實數，求代數式的最小值．●夯實基礎例1不解方程，判斷以下方程可否有實根，若有，指出相等仍是不等。（1）（2）（3）（x是未知數）例2若是對于的一元二次方程有兩個不相等的實數根，那么的取值范圍是（）A．B．C．D．例3已知，，為正數，若二次方程有兩個實數根，那么方程的根的情況是（）A．有兩個不相等的正實數根B．有兩個異號的實數根C．有兩個不相等的負實數根D．不用然有實數根例4若對于x的方程有兩個不相等的實數根，求k的取值范圍。例5求證：當a和c的符號相反時，一元二次方程必然有兩個不等實根。例6已知、、是的三邊的長，且方程有兩個相等的實數根，試判斷這個三角形的形狀．●能力提升例7對于的方程有實數根，則整數的最大值是．例8為給定的有理數，為何值時，方程的根為有理數？例9為何值時，方程有實數根．例10已知對于x的方程在以下情況下，分別求m的非負整數值。（1）方程只有一個實數根（2）方程有兩個相等的實數根（3）方程有兩個不相等的實數根例11（新思想）已知一元二次方程有兩個不相等的實數

根．則k的最大整數值為___例12（新思想）若是素來角三角形的三邊長分別為a、b、c，∠B=90么，對于x的方程的根的情況是（）．A．有兩個相等的實數根B．有兩個不相等的實數根C．沒有實數根D．無法確定●培優(yōu)訓練例13（新思想）已知對于x的方程（1）求證：不論k取任何實數值，方程總有實數根；（2）若等腰三角形ABC的一邊長a=1，另兩邊長b、c恰巧是這個方程的兩個根，求△ABC的周長．例14（新思想）已知函數（1）若這兩個函數的圖象都經過點（1，a），求a和k的值；（2）當k取何值時，這兩個函數的圖象總有公共點？例15（新思想）若x0是一元二次方程的根，則鑒別式與平方式的大小關系是（）．A．B．C．D．不能夠確定解：把x0代入方程ax2+bx+c=0中得ax02+bx0=-c，2ax0+b）2=4a2x02+4abx0+b2，2ax0+b）2=4a（ax02+bx0）+b2=-4ac+b2△，M=△．應選B例16（新思想）對于x的方程僅有兩個不同樣的實根，則實數a的取值范圍是（）．A．B．C．D．●課后練習1、一元二次方程的根的情況為（）Ａ．有兩個相等的實數根Ｂ．有兩個不相等的實數根Ｃ．只有一個實數根Ｄ．沒有實數根2、若對于z的一元二次方程沒有實數根，則實數m的取值范圍是（）A．m<lB．m>-1C．m>lD．m<-13、對于x的方程的兩根同為負數，則（）A．且B．且C．且D．且4、不解方程，判斷以下各方程根的情況（1）.（2）.（3）.5、k為何值時，方程的兩個根相等？6、k為何值時，方程有兩個不相等的實根？7、已知，，判斷對于的方程的根的情況，并給出必要的說明．8、已知對于的方程有兩個不相等的實數根，化簡：9、已知對于的方程有兩個不相等的實數根．⑴求的取值范圍；⑵若為整數，且，是上述方程的一個根，求代數式的值．10、在等腰中，、、的對邊分別為、、，已知，和是對于的方程的兩個實數根，求的周長．11、若是對于的方程（其中，，均為正數）有兩個相等的實數根．證明：以，，為長的線段能夠組成一個三角形，并指出三角形的特點．12、k為何值時，方程沒有實根？●夯實基礎例1解方程例2一個車間加工300個部件，加工完80個此后，改良了操作方法，每日能多

加工15個，一共用了6天達成了任務，求改良操作方法后每日加工的部件的個數。例3某商場運進120臺空調準備銷售，由于張開了促銷活動，每日比原計劃多

售出4臺，結果提早5天達成銷售任務，原計劃每日銷售多少臺？例4甲、乙兩隊學生綠化校園，若是兩隊合作，6天能夠達成，若是獨自工

作，甲隊比乙隊少用5天，問兩隊獨自工作各需多少天達成？例5如圖，在長為10cm，寬為8cm的矩形的四個角上截去四個全等的小正方形，使得留下的圖形(圖中陰影部分)面積是原矩形面積的80％，求所截去小正方形的邊長．例6某汽車銷售企業(yè)2005年盈利1500萬元，到2007年盈利2160萬元，且從2005年到2007年，每年盈利的年增添率同樣．(1)該企業(yè)2006年盈利多少萬元?(2)若該企業(yè)盈利的年增添率連續(xù)保持不變，預計2008年盈利多少萬元?例7某村計劃建筑以以下列圖的矩形蔬菜溫室，要求長與寬的比為21．在溫室內，沿前側內墻保存3m寬的空地，其他三側內墻各保存1m寬的通道．當矩形溫

室的長與寬各為多少米時，蔬菜栽種地區(qū)的面積是288m2?●能力提升例8（新思想）如圖，在寬為20m，長為32m的矩形地面上修建同樣寬的道路（圖中陰影部分），余下的部分種上草坪．要使草坪的面積為540m2，求道路的

寬（部分參照數據：322=1024，522=2704，482=2304）．例9（新思想）某水果批發(fā)商場經銷一種高檔水果，若是每千克盈利10元，每日可售出500千克．經市場檢查發(fā)現，在進貨價不變的情況下，若每千克漲價1

元，日銷售量將減少20千克．現該商場要保證每日盈利6000元，同時又要使顧客獲得優(yōu)惠，那么每千克應漲價多少元？例10（新思想）如圖，某田戶打算建筑一個花園，栽種兩種不同樣的花卉供給城鎮(zhèn)市場，這時需要用長為24米的籬笆，靠著一面墻（墻的最大可用長度a是10米），圍成中間隔有一道籬笆的長方形花園．設花園的寬AB為xm，面積為Sm2．（1）求x與S的函數關系式；（2）若要圍成面積為45m2的花園，AB的長是多少米？（3）花園的面積能達到48m2嗎？若是能，懇求出此時AB的長；若是不能夠，請說明原因．例11某博物館每周都吸引大量中外游客前來參觀，若是游客過多，對館中的可貴文物會產生不利影響，但同時考慮到文物的修葺和保存花銷問題，還要保證必然的門票收入．因此，博物館采用了漲浮門票價錢的方法來控制參觀人數．在該方法實施過程中發(fā)現：每周參觀人數與票價之間存在著以以下列圖的一次函數關系．在這樣的情況下，若是保證每周4萬元的門票收入，那么每周應限制參觀人數是多少？門票價值應是多少元？●培優(yōu)訓練二、列方程解應用題從一塊長為80cm，寬為60cm的鐵片中間截去一個長方形，使剩下的長方形四周的寬度同樣，而且小長方形的面積是原來鐵片面積的一半，求這個寬度？某車間一月份生產部件7000個，三月份生產部件8470個，該車間這兩個月生產部件平均每個月增添的百分率是多少？●夯實基礎例1若方程的一個根為，則方程的另一根為_______c=______例2已知方程的兩根為x1、x2，則_________例3若是是一元二次方程的兩根，那么，，．這就是出名的韋達定理．現在我們利用韋達定理解決問題：已知m與n是方程的兩根。（1）填空：（2）計算的值．例4（2011?廈門）已知對于x的方程有兩個不相等的實數根．（1）求n的取值范圍；（2）若n＜5，且方程的兩個實數根都是整數，求n的值．例5（2011?孝感）已知對于x的方程有兩個實數根．（1）求k的取值范圍；（2）若，求k的值．例6（2011?十堰）請閱讀以下資料：問題：已知方程，求一個一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的2倍．解：設所求方程的根為y，則y=2x因此．把代入已知方程，得化簡，得故所求方程為．這種利用方程根的代換求新方程的方法，我們稱為請用閱讀村料供給的（1）已知方程，求一個一元二次方程，使它的根分別為己知方程根的相反數，則所求方程為：。（2）己知對于x的一元二次方程有兩個不等于零的實數根，求一個一元二次方程，使它的根分別是己知方程根的倒數．例7（2011?南充）對于的一元二次方程的實數解是和．（1）求k的取值范圍；（2）若是且k為整數，求k的值．例8（2010?淄博）已知對于x的方程．（1）若這個方程有實數根，求k的取值范圍；（2）若這個方程有一個根為1，求k的值；（3）若以方程的兩個根為橫坐標、縱坐標的點恰在反比率函數的圖象上，求知足條件的m的最小值．●能力提升例1已知：對于x的一元二次方程kx2+（2k－3)x+k－3=0有兩個不相等實數根（k<0）．（）用含k的式子表示方程的兩實數根；（）設方程的兩實數根分別是，（其中），若一次函數y=(3k－1)x+b與反比率函數y=的圖像都經過點（x1，kx2），求一次函數與反比率函數的剖析式．例2（昌平）已知：對于的一元二次方程．（1）若原方程有實數根，求的取值范圍；（2）設原方程的兩個實數根分別為，．y4321-4-3-2O-1-1-2-31234K-4①當取哪些整數時，，均為整數；②利用圖象，估計對于的方程的解．例3（順義）已知：對于的一元二次方程．（1）求證：不論取何值，方程總有兩個不相等的實數根；（2）若方程的兩個實數根知足，求的值．例4海淀09一模）．已知:對于x的一元一次方程kx=x+2二次函數y=ax2-bx+kc（c≠）的圖象與x軸一個交點的橫坐標為1.（1）若方程①的根為正整數，求整數k的值；（2）求代數式的值；（3）求證:對于x的一元二次方程ax2-bx+c=0.例5知對于x的一元二次方程，.（1）若方程有實數根，試確定a，b之間的大小關系；（2）若ab=2∶，且，求a，b的值；解：(1)∵對于x的一元二次方程有實數根,∴Δ=有a2-b2≥,a+b）（a-b）≥0.∵,∴a+b＞0,≥0.∴.2（2）∵ab=2∶，∴設.解對于x的一元二次方程，得.當時，由得.當時，由得（不合題意，舍去）.∴.????????5●培優(yōu)訓練例1設對于x的二次方程的兩根都是整數，求知足條件的所有實數k的值。例2、已知對于x的方程a2x2-(3a2-8a)x＋2a2-13a＋15=0(其中a是非負

整數)最罕有一個整數根，求a的值．例3、設m是不為零的整數，對于x的二次方程mx2-(m-1)x＋1＝0有有理根，求m的值例4、對于x的方程ax2+2(a-3)x+(a-2)=0最罕有一個整數解，且a是整數，求a的值．例5、已知對于x的方程x2＋(a-6)x＋a=0的兩根都是整數，求a的值．例6、求所有有理數r，使得方程rx2+(r+1)x＋(r-1)=0的所有根是整數．例7、已知對于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0．（1）求證：不論m取何值，原方程總有兩個不相等的實數根；（2）當m為何整數時，原方程的根也是整數．解：(1)證明：====．∵≥，∴＞0．∴不論m取何實數時，原方程總有兩個不相等的實數根.2（2）解對于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0，得.3要使原方程的根是整數，必定使得是完好平方數.設，則.∵+和的奇偶性同樣，可得或解得或.5將m=－1代入，得符合題意.6∴當m=－1時，原方程的根是整數.7例8知對于x的方程．（1）若方程有兩個不相等的實數根，求k的取值范圍；（2）當方程有兩個相等的實數根時，求對于y的方程的整數根（為正整數）．解：（1）△===?????????????????????1∴即∴的取值范圍是且．?????????????3（2）當方程有兩個相等的實數根時，△==．∴．?????????????????????y的方程為．∴．由a為正整數，當是完好平方數時，方程才有可能有整數根．設（其中m為整數），（、均為整數），∴．即．不如設兩式相加，得．∵與的奇偶性同樣，32可分解為，，，，∴或或或．∴或或（不合題意，舍去）或．當時，方程的兩根為，即，．??分當時，方程的兩根為，即，．??分當時，方程的兩根為，即，．????7例9（011西城二模）閱讀以下資料：若對于x的一元二次方