重點高中數(shù)學圓錐曲線與方程測試題

圓錐曲線與方程一、選擇題1．雙曲線3x2－y2＝9的實軸長是()A．2eq\r(3)B．2eq\r(2)C．4eq\r(3)D．4eq\r(2)2．以eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝－1的焦點為頂點，頂點為焦點的橢圓方程為()A.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1B.eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,16)＝1C.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1D.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,16)＝13．對拋物線y＝4x2，下列描述正確的是()A．開口向上，焦點為(0,1)B．開口向上，焦點為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,16)))C．開口向右，焦點為(1,0)D．開口向右，焦點為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,16)))4．若k∈R，則k>3是方程eq\f(x2,k－3)－eq\f(y2,k＋3)＝1表示雙曲線的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分又不必要條件5．若雙曲線eq\f(x2,3)－eq\f(16y2,p2)＝1的左焦點在拋物線y2＝2px(p>0)的準線上，則p的值為()A．2B．3C．4D．4eq\r(6．設雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,9)＝1(a>0)的漸近線方程為3x±2y＝0，則a的值為()A．4B．37．已知F1、F2是橢圓的兩個焦點，滿足eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→))＝0的點M總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率的取值范圍是()A．(0,1)B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))8．已知點P在拋物線y2＝4x上，那么點P到點Q(2，－1)的距離與點P到拋物線焦點距離之和取得最小值時，點P的坐標為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，－1))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，1))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－1))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))9．已知直線l與拋物線y2＝8x交于A、B兩點，且l經(jīng)過拋物線的焦點F，A點的坐標為(8,8)，則線段AB的中點到準線的距離是()A.eq\f(25,4)B.eq\f(25,2)C.eq\f(25,8)D．2510．設雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的一條漸近線與拋物線y＝x2＋1只有一個公共點，則雙曲線的離心率為()A.eq\f(5,4)B．5C.eq\f(\r(5),2)D.eq\r(5)11．若雙曲線eq\f(x2,9)－eq\f(y2,4)＝1的漸近線上的點A與雙曲線的右焦點F的距離最小，拋物線y2＝2px(p>0)通過點A，則p的值為()A.eq\f(9,2)B．2C.eq\f(2\r(13),13)D.eq\f(\r(13),13)12．已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左，右焦點分別為F1，F(xiàn)2，若在雙曲線的右支上存在一點P，使得|PF1|＝3|PF2|，則雙曲線的離心率e的取值范圍為()A．[2，＋∞)B．[eq\r(2)，＋∞)C．(1,2]D．(1，eq\r(2)]二、填空題13．已知長方形ABCD，AB＝4，BC＝3，則以A、B為焦點，且過C、D兩點的橢圓的離心率為______．14．橢圓eq\f(x2,4)＋y2＝1的兩個焦點F1，F(xiàn)2，過點F1作垂直于x軸的直線與橢圓相交，其中一個交點為P，則|PF2|＝______.15．已知拋物線y2＝4x，過點P(4,0)的直線與拋物線相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，則yeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,2)的最小值是________．16．F1，F(xiàn)2分別是橢圓eq\f(x2,2)＋y2＝1的左，右兩個焦點，過F2作傾斜角為eq\f(π,4)的弦AB，則△F1AB的面積為________．三、解答題17．已知雙曲線eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1的左、右焦點分別為F1、F2，若雙曲線上一點P使得∠F1PF2＝90°，求△F1PF2的面積．18.如圖，直線l：y＝x＋b與拋物線C：x2＝4y相切于點A.(1)求實數(shù)b的值；(2)求以點A為圓心，且與拋物線C的準線相切的圓的方程．19．已知雙曲線的方程為x2－eq\f(y2,2)＝1，試問：是否存在被點B(1,1)平分的弦？如果存在，求出弦所在的直線方程；如果不存在，請說明理由．20．設圓C與兩圓(x＋eq\r(5))2＋y2＝4，(x－eq\r(5))2＋y2＝4中的一個內(nèi)切，另一個外切．(1)求圓C的圓心軌跡L的方程；(2)已知點M(eq\f(3\r(5),5)，eq\f(4\r(5),5))，F(xiàn)(eq\r(5)，0)，且P為L上的動點，求||MP|－|FP||的最大值及此時點P的坐標．21．過拋物線y2＝4x的焦點F作直線l與拋物線交于A、B兩點．求證：△AOB不是直角三角形．22．已知橢圓G：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為eq\f(\r(6),3)，右焦點為(2eq\r(2)，0)，斜率為1的直線l與橢圓G交于A、B兩點，以AB為底邊作等腰三角形，頂點為P(－3,2)．(1)求橢圓G的方程；(2)求△PAB的面積．圓錐曲線與方程測試題答案1．A2.D3.B4.A5.C6.C7．C8.A9.A10.D11.C12.C13.eq\f(1,2)14.eq\f(7,2)15.3216.eq\f(4,3)17.1618．(1)－1(2)(x－2)2＋(y－1)2＝419．解如圖所示，設被B(1,1)平分的弦所在的直線方程為y＝k(x－1)＋1，代入雙曲線方程x2－eq\f(y2,2)＝1，得(k2－2)x2－2k(k－1)x＋k2－2k＋3＝0，∴Δ＝[－2k(k－1)]2－4(k2－2)(k2－2k＋3)>0.解得k<eq\f(3,2)，且k≠±eq\r(2)，∴x1＋x2＝eq\f(2k(k－1),k2－2).∵B(1,1)是弦的中點，∴eq\f(k(k－1),k2－2)＝1.∴k＝2>eq\f(3,2).故不存在被點B(1,1)所平分的弦．20．解(1)設圓C的圓心坐標為(x，y)，半徑為r.圓(x＋eq\r(5))2＋y2＝4的圓心為F1(－eq\r(5)，0)，半徑為2，圓(x－eq\r(5))2＋y2＝4的圓心為F(eq\r(5)，0)，半徑為2.由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|CF1|＝r＋2，,|CF|＝r－2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|CF1|＝r－2，,|CF|＝r＋2，))∴||CF1|－|CF||＝4.∵|F1F|＝2eq\r(5)>4.∴圓C的圓心軌跡是以F1(－eq\r(5)，0)，F(xiàn)(eq\r(5)，0)為焦點的雙曲線，其方程為eq\f(x2,4)－y2＝1.(2)由圖知，||MP|－|FP||≤|MF|，∴當M，P，F(xiàn)三點共線，且點P在MF延長線上時，|MP|－|FP|取得最大值|MF|，且|MF|＝eq\r((\f(3\r(5),5)－\r(5))2＋(\f(4\r(5),5)－0)2)＝2.直線MF的方程為y＝－2x＋2eq\r(5)，與雙曲線方程聯(lián)立得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－2x＋2\r(5)，,\f(x2,4)－y2＝1，))整理得15x2－32eq\r(5)x＋84＝0.解得x1＝eq\f(14\r(5),15)(舍去)，x2＝eq\f(6\r(5),5).此時y＝－eq\f(2\r(5),5).∴當||MP|－|FP||取得最大值2時，點P的坐標為(eq\f(6\r(5),5)，－eq\f(2\r(5),5))．21．證明∵焦點F為(1,0)，過點F且與拋物線交于點A、B的直線可設為ky＝x－1，代入拋物線y2＝4x，得y2－4ky－4＝0，則有yAyB＝－4，則xAxB＝eq\f(y\o\al(2,A),4)·eq\f(y\o\al(2,B),4)＝1.又|OA|·|OB|cos∠AOB＝·＝xAxB＋yAyB＝1－4＝－3<0，得∠AOB為鈍角，故△AOB不是直角三角形．22．解(1)由已知得c＝2eq\r(2)，eq\f(c,a)＝eq\f(\r(6),3).解得a＝2eq\r(3)，又b2＝a2－c2＝4.所以橢圓G的方程為eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,4)＝1.(2)設直線l的方程為y＝x＋m.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋m,\f(x2,12)＋\f(y2,4)＝1))，得4x2＋6mx＋3m2－12＝設A、B的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)(x1<x2)，AB中點為E(x0，y0)，則x0＝eq\f(x1＋x2,2)＝－eq\f(3m,4)，y0＝x0＋m＝eq\f(m,4)；因為AB是等腰△PAB的底邊，