第一課時直線與平面垂直課件人教必修

1.2.3空間中的垂直關(guān)系1.2點、線、面之間的位置關(guān)系理解教材新知把握熱點考向第一章立體幾何初步考點一考點二應(yīng)用創(chuàng)新演練考點三第一課時直線與平面垂直海底油氣開采是一項技術(shù)難度很大的工程，首先要在海平面以上搭建作業(yè)平臺并聳立鉆塔．由于海洋環(huán)境復(fù)雜，常發(fā)生漏油事故．僅在2011年，中海油就發(fā)生了三次漏油污染事故．問題1：圖中鉆塔所在直線與作業(yè)平臺所在平面有何關(guān)系？提示：相交且垂直．問題2：鉆塔所在直線垂直于作業(yè)平臺所在平面的所有線嗎？

提示：垂直．問題3：直線垂直于平面的條件是什么？

提示：必須垂直于平面內(nèi)所有的直線．1．直線與直線垂直如果兩條直線相交于一點或

相交于一點，并且交角為

，則稱這兩條直線互相垂直．經(jīng)過平移后直角2．直線與平面垂直的定義及性質(zhì)定義及符號表示圖形語言及畫法有關(guān)名稱重要結(jié)論如果一條直線(AB)和一個平面(α)相交于點O，并且和這個平面內(nèi)過交點(O)的

．我們就說這條直線和這個平面互相垂直，記作把直線AB畫成和表示平面的平行四邊形的一邊直線AB：平面α的

；平面α：直線AB的

；點O：

；線段AO：點A到平面α的

；線段AO的長：點A到平面α的如果一條直線垂直于一個平面，那么它就和平面內(nèi)的

直線垂直任何直線都垂直AB⊥α

垂直垂線垂面垂足垂線段距離任一條3．直線與平面垂直的判定定理定理：如果一條直線與平面內(nèi)的

直線垂直，則這條直線與這個平面垂直．推論1：如果在兩條

中，有一條垂直于平面，那么另一條直線也垂直于這個平面．推論2：如果兩條直線

，那么這兩條直線平行．兩條相交平行直線垂直于同一個平面1．判定定理的條件中，“平面內(nèi)兩條相交直線”是關(guān)鍵性詞語，此處強(qiáng)調(diào)相交.若兩條直線不相交(即平行)，即使直線垂直于平面內(nèi)無數(shù)條直線也不能判斷直線與平面垂直．2．要判斷一條已知直線和一個平面是否垂直，只需要在該平面內(nèi)找出兩條相交直線與已知直線垂直即可．至于這兩條直線是否與已知直線有交點，這是無關(guān)緊要的．[例1]有下列四個命題，正確的命題的序號是________．①過空間一點有且只有一條直線與已知平面垂直；②已知兩條不重合的直線m，n和平面α，若m⊥n，m⊥α，則n∥α；③a，b，l表示三條不同的直線，α表示平面，若a?α，b?α，l⊥a，l⊥b，則l⊥α；④若直線a不平行于平面α，則直線a垂直于平面α.[思路點撥]結(jié)合定理，通過舉例逐一檢驗各個命題是否正確，可舉反例．[精解詳析]①正確；對于②，若直線n?α，也可滿足m⊥n，m⊥α，此時n∥α不正確；對于③，注意a，b需相交；④顯然錯誤，因為不平行即相交，而垂直只是相交的一種特殊情況．故只有①正確．[答案]①[一點通]1．對于線面垂直的定義，要注意“直線垂直于平面內(nèi)的所有直線”與“直線垂直于平面內(nèi)無數(shù)條直線”不是一回事，后者說法是不正確的，它可以使直線與平面斜交．2．判定定理中要注意必須是平面內(nèi)兩相交直線．1．下列說法中，正確的是(

)A．若直線l與平面α內(nèi)無數(shù)條直線垂直，則l⊥αB．若直線l垂直于平面α，則l與平面α內(nèi)的直線可能相交，可能異面，也可能平行C．若a∥b，a?α，l⊥α，則l⊥bD．若a⊥b，b⊥α，則a∥α解析：當(dāng)l與α內(nèi)的任何一條直線都垂直時，l⊥α，故A錯；當(dāng)l⊥α?xí)r，l與α內(nèi)的直線相交或異面，但不會平行，故B錯；C顯然是正確的；而D中，a可能在α內(nèi)，所以D錯誤．答案：C2．直線l與平面α內(nèi)的兩條直線都垂直，則直線l與平面α的位置關(guān)系是 (

)A．平行 B．垂直C．在平面α內(nèi) D．無法確定解析：當(dāng)平面α內(nèi)的兩條直線相交時，直線l⊥平面α，即l與α相交；當(dāng)面α內(nèi)的兩直線平行時，l?α或l∥α或l與α斜交．答案：D[例2]如圖所示，已知PA垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上任意一點，過點A作AE⊥PC于點E，求證：AE⊥平面PBC.[思路點撥]只要證AE垂直于平面PBC內(nèi)兩相交直線即可.已知AE⊥PC，再證AE⊥BC，即轉(zhuǎn)證BC垂直于平面PAC即可．[精解詳析]∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.又∵AB是⊙O的直徑，∴BC⊥AC.而PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.又∵AE?平面PAC，∴BC⊥AE.∵PC⊥AE，且PC∩BC＝C，∴AE⊥平面PBC.3．如圖，旗桿PO若測量PO＝4，PA＝PB＝5，OA＝OB＝3，則旗桿和地面α的關(guān)系是________．解析：△POA中，PO2＋OA2＝PA2.∴AO⊥OP.△POB中，PO2＋OB2＝PB2，∴OB⊥OP，∴OP⊥面α內(nèi)兩相交直線OA，OB，∴OP⊥α.答案：垂直4.如圖所示，在斜邊為AB的Rt△ABC中，過點A作PA⊥平面ABC，AM⊥PB于M，AN⊥PC于N.(1)求證：BC⊥平面PAC；(2)求證：PB⊥平面AMN.證明：(1)∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴PA⊥BC.又BC⊥AC，PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.(2)∵BC⊥平面PAC，AN?平面PAC，∴BC⊥AN.又AN⊥PC，BC∩PC＝C，∴AN⊥平面PBC，∴AN⊥PB.又AM⊥PB，AN∩AM＝A，∴PB⊥平面AMN.[例3]

(12分)如圖所示，正方體A1B1C1D1—ABCD中，EF與異面直線AC，A1D都垂直相交．求證：EF∥BD1.[思路點撥]轉(zhuǎn)化為證明EF⊥平面AB1C，BD1⊥平面AB1C.[精解詳析]連接AB1，B1C，BD，B1D1，如圖所示． (1分)∵DD1⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴DD1⊥AC. (3分)又AC⊥BD，∴AC⊥平面BDD1B1.∴AC⊥BD1. (5分)同理BD1⊥B1C，∴BD1⊥平面AB1C. (7分)∵EF⊥A1D，且A1D∥B1C，∴EF⊥B1C. (9分)又∵EF⊥AC，∴EF⊥平面AB1C. (11分)∴EF∥BD1. (12分)[一點通]1．解決本題的關(guān)鍵是找到同時與EF和BD1垂直的平面，這要借助于豐富的空間想象能力和對正方體的全面準(zhǔn)確理解．2．若已知一條直線和某個平面垂直，證明這條直線和另一條直線平行，可考慮利用推論2，證明另一條直線和這個平面垂直，證明時注意利用正方形、平行四邊形及三角形中位線的有關(guān)性質(zhì)．5．△ABC所在的平面為α，直線l⊥AB，l⊥AC，直線m⊥BC，m⊥AC，則直線l，m的位置關(guān)系是(

)A．相交 B．異面C．平行 D．不確定答案：C6.如圖，△ABC是正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE＝AB＝2a，CD＝a，F(xiàn)是BE的中點，求證：(1)DF∥平面ABC；(2)AF⊥BD.∵FG⊥平面ABC，∴四邊形CDFG是矩形，DF∥CG.又∵CG?平面ABC，DF?平面ABC，∴DF∥平面ABC.(2)Rt△ABE中，AE＝2a，AB＝2a，F(xiàn)為BE中點，∴AF⊥BE.∵△ABC是正三角形，∴CG⊥AB，∴DF⊥AB.又∵DF⊥FG，F(xiàn)G∩AB＝G，∴DF⊥平面ABE.又∵AF?平面ABE，∴DF⊥AF.∵BE∩DF＝F，∴AF⊥平面BDF.又∵BD?平面BDF，∴