福建省寧德市六校2023年數學高一下期末經典試題含解析

2022-2023學年高一下數學期末模擬試卷注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知點是拋物線：的焦點，點為拋物線的對稱軸與其準線的交點，過作拋物線的切線，切點為，若點恰好在以，為焦點的雙曲線上，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．2．已知某區(qū)中小學學生人數如圖所示，為了解學生參加社會實踐活動的意向，擬采用分層抽樣的方法來進行調查。若高中需抽取20名學生，則小學與初中共需抽取的人數為（）A．30 B．40 C．70 D．903．已知，則的值域為A． B． C． D．4．已知隨機事件中，與互斥，與對立，且，則（）A．0.3 B．0.6 C．0.7 D．0.95．無窮數列1,3,6,10，…的通項公式為（）A． B．C． D．6．已知直線，平面，給出下列命題：①若，且，則②若，且，則③若，且，則④若，且，則其中正確的命題是（）A．①③ B．②④ C．③④ D．①②7．設的內角，，所對的邊分別為，，,且，，面積的最大值為（）A．6 B．8 C．7 D．98．已知平面平面，直線，直線，則直線，的位置關系為（）A．平行或相交 B．相交或異面 C．平行或異面 D．平行?相交或異面9．等比數列的各項均為正數，且，則（）A．3 B．6 C．9 D．8110．已知數列是等差數列，數列滿足，的前項和用表示，若滿足，則當取得最大值時，的值為（）A．16 B．15 C．14 D．13二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知三個頂點的坐標分別為，若⊥，則的值是______．12．已知等差數列{an}的公差為d，且d≠0，其前n項和為Sn，若滿足a1，a2，a5成等比數列，且S3＝9，則d＝_____，Sn＝_____.13．若點關于直線的對稱點在函數的圖像上，則稱點、直線及函數組成系統(tǒng)，已知函數的反函數圖像過點，且第一象限內的點、直線及函數組成系統(tǒng)，則代數式的最小值為________.14．在中，，過直角頂點作射線交線段于點，則的概率為______．15．觀察下列等式：（1）；（2）；（3）；（4），……請你根據給定等式的共同特征，并接著寫出一個具有這個共同特征的等式（要求與已知等式不重復），這個等式可以是__________________.（答案不唯一）16．某射手的一次射擊中，射中10環(huán)、9環(huán)、8環(huán)的概率分別為0.2、0.3、0.1，則此射手在一次射擊中不超過8環(huán)的概率為_________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，，，，平面底面ABCD，E和F分別是CD和PC的中點.求證：（1）平面BEF；（2）平面平面PCD．18．在銳角中，角，，的對邊分別為，，，若.（1)求角；（2）若，則周長的取值范圍.19．已知點，，均在圓上.（1）求圓的方程；（2）若直線與圓相交于,兩點，求的長；（3）設過點的直線與圓相交于、兩點，試問：是否存在直線，使得恰好平分的外接圓？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由.20．已知袋子中放有大小和形狀相同的小球若干，其中標號為0的小球1個，標號為1的小球1個，標號為2的小球n個．若從袋子中隨機抽取1個小球，取到標號為2的小球的概率是．（1）求n的值；（2）從袋子中不放回地隨機抽取2個小球，記第一次取出的小球標號為a，第二次取出的小球標號為b．①記“”為事件A，求事件A的概率；②在區(qū)間內任取2個實數，求事件“恒成立”的概率．21．設數列的前項和為，對于，，其中是常數.（1）試討論：數列在什么條件下為等比數列，請說明理由；（2）設，且對任意的，有意義，數列的前項和為.若，求的最大值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】由題意，得，設過的拋物線的切線方程為，聯立，，令，解得，即，不妨設，由雙曲線的定義得，，則該雙曲線的離心率為.故選C.2、C【解析】

根據高中抽取的人數和高中總人數計算可得抽樣比；利用小學和初中總人數乘以抽樣比即可得到結果.【詳解】由題意可得，抽樣比為：則小學和初中共抽?。喝吮绢}正確選項：【點睛】本題考查分層抽樣中樣本數量的求解，關鍵是能夠明確分層抽樣原則，準確求解出抽樣比，屬于基礎題.3、C【解析】

利用求函數的周期為，計算即可得到函數的值域.【詳解】因為，，，因為函數的周期，所以函數的值域為，故選C.【點睛】本題考查函數的周期運算，及利用函數的周期性求函數的值域.4、C【解析】

由對立事件概率關系得到B發(fā)生的概率，再由互斥事件的概率計算公式求P(A+B).【詳解】因為，事件B與C對立，所以，又，A與B互斥，所以，故選C.【點睛】本題考查互斥事件的概率，能利用對立事件概率之和為1進行計算，屬于基本題.5、C【解析】試題分析：由累加法得:,分別相加得,,故選C.考點：數列的通項公式.6、A【解析】

根據面面垂直，面面平行的判定定理判斷即可得出答案?！驹斀狻竣偃?，則在平面內必有一條直線使，又即，則，故正確。②若，且，與可平行可相交，故錯誤③若，即又，則，故正確④若，且，與可平行可相交，故錯誤所以①③正確，②④錯誤故選A【點睛】本題考查面面垂直，面面平行的判定，屬于基礎題。7、D【解析】

由已知利用基本不等式求得的最大值，根據三角形的面積公式，即可求解，得到答案.【詳解】由題意，利用基本不等式可得，即，解得，當且僅當時等號成立，又因為，所以，當且僅當時等號成立，故三角形的面積的最大值為，故選D.【點睛】本題主要考查了基本不等式的應用，以及三角形的面積公式的應用，著重考查了轉化思想，以及推理與運算能力，屬于基礎題.8、C【解析】

根據直線與直線的位置關系，結合題意，進行選擇.【詳解】因為平面平面，直線，直線，所以直線沒有公共點，所以兩條直線平行或異面.故選：C.【點睛】本題考查直線與直線的位置關系，屬基礎題.9、A【解析】

利用等比數列性質可求得，將所求式子利用對數運算法則和等比數列性質可化為，代入求得結果.【詳解】且本題正確選項：【點睛】本題考查等比數列性質的應用，關鍵是靈活利用等比中項的性質，屬于基礎題.10、A【解析】

設等差數列的公差為，根據得到，推出，判斷出當時，；時，；再根據，判斷出對取正負的影響，進而可得出結果.【詳解】設等差數列的公差為，因為數列是等差數列，，所以，因此，所以，所以，，因此，當時，；時，，因為，所以當時，，當時，，當時，，當時，因為，所以；因為所以，當時，取得最大值.故選：A【點睛】本題主要考查等差數列的應用，熟記等差數列的性質，及其函數特征即可，屬于?？碱}型.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

求出，再利用，求得.【詳解】，因為⊥，所以，解得：.【點睛】本題考查向量的坐標表示、數量積運算，要注意向量坐標與點坐標的區(qū)別.12、2n2.【解析】

由已知列關于首項與公差的方程組，求解可得首項與公差，再由等差數列的前項和求解.【詳解】由題意，有，即，解得，所以.故答案為：，.【點睛】本題考查等差數列的通項公式與前項和，考查等比數列的性質，屬于基礎題.13、【解析】

根據函數的反函數圖像過點可求出,由、直線及函數組成系統(tǒng)可知在的圖象上，且，代入化簡為，換元則，利用單調性求解.【詳解】因為函數的反函數圖像過點，所以，即，由、直線及函數組成系統(tǒng)知在上，所以，代入化簡得，令由知，故則在上單調遞減，所以當即時，，故填.【點睛】本題主要考查了對稱問題，反函數概念，根據條件求最值，函數的單調性，換元法，綜合性大，難度大，屬于難題.14、【解析】

設，求出的長，由幾何概型概率公式計算．【詳解】設，由題意得，，∴的概率是．故答案為：．【點睛】本題考查幾何概型，考查長度型幾何概型．掌握幾何概型概率公式是解題關鍵．15、【解析】

觀察式子特點可知，分子上兩余弦的角的和是，分母上兩個正弦的角的和是，據此規(guī)律即可寫出式子【詳解】觀察式子規(guī)律可總結出一般規(guī)律：，可賦值，得故答案為：【點睛】本題考查歸納推理能力，能找出余角關系和補角關系是解題的關鍵，屬于基礎題16、0.5【解析】

由互斥事件的概率加法求出射手在一次射擊中超過8環(huán)的概率，再利用對立事件的概率求出不超過8環(huán)的概率即可.【詳解】由題意，射中10環(huán)、9環(huán)、8環(huán)的概率分別為0.2、0.3、0.1，所以射手的一次射擊中超過8環(huán)的概率為：0.2+0.3=0.5故射手的一次射擊中不超過8環(huán)的概率為：1-0.5=0.5故答案為0.5【點睛】本題主要考查了對立事件的概率，屬于基礎題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（2）證明見解析（2）證明見解析【解析】

（1）連接，交于，結合平行四邊形的性質可得，再由線面平行的判定定理，即可得證（2）運用面面垂直的性質定理可得平面，推得，，，再由線面垂直的判定定理和嗎垂直的判定定理，即可得證．【詳解】證明：（1）連接，交于，可得四邊形為平行四邊形，且為的中點，可得為的中位線，可得，平面，面，可得面；（2）平面底面，，可得平面，即有，，可得，由，，可得四邊形為矩形，即有，又，，可得，且所以有平面，而平面，則平面平面．【點睛】本題考查線面平行和面面垂直的判定，注意運用線線平行和線面垂直的判定定理，考查推理能力，屬于中檔題．18、（1）（2）【解析】

（1）利用切化成弦和余弦定理對等式進行化簡，得角的正弦值；（2）利用成正弦定理把邊化成角，從而實現的周長用角B的三角函數進行表示，即周長，再根據銳角三角形中角，求得函數值域.【詳解】（1）由，得到，又，所以.（2），，設周長為，由正弦定理知，由合分比定理知，即，，即.又因為為銳角三角形，所以.，周長.【點睛】對運動變化問題，首先要明確變化的量是什么？或者選定什么量為變量？然后，利用函數與方程思想，把所求的目標表示成關于變量的函數，再研究函數性質進行問題求解.19、（1）；（2）；（3）存在，和.【解析】

（1）根據圓心在，的中垂線上，設圓心的坐標為，根據求出的值，從而可得結果；（2）利用點到直線的距離公式以及勾股定理可得結果；（3）首先驗證直線的斜率不存在時符合題意，然后斜率存在時，設出直線方程，與圓的方程聯立，利用韋達定理，根據列方程求解即可.【詳解】解：（1）由題意可得：圓心在直線上，設圓心的坐標為，則，解得，即圓心，所以半徑，所以圓的方程為；（2）圓心到直線的距離為：，；（3）設，由題意可得：，且的斜率均存在，即，當直線的斜率不存在時，，則，滿足，故直線滿足題意，當直線的斜率存在時，設直線的方程為，由，消去得，則，由得,即，即，解得：，所以直線的方程為，綜上所述，存在滿足條件的直線和.【點睛】本題考查直線和圓的位置關系，注意對于直線要研究其斜率是否存在，另外利用韋達定理可以達到設而不求的目的，本題是中檔題.20、（1）；（2）P＝．【解析】

試題分析：（1）依題意共有小球n＋2個，標號為2的小球有n個，從袋子中隨機抽取1個小球，取到標號為2的小球的概率為，解得n＝2；（2）①從袋子中不放回地隨機抽取2個小球共有12種結果，而滿足2≤a＋b≤3的結果有8種，故；②由①知，，故，（x，y）可以看成平面中的點的坐標，則全部結果所構成的區(qū)域為，由集合概型得概率為．考點：考查了古