中考重難點攻關(guān)-二次函數(shù)綜合題型解析

中考重難點攻關(guān)——二次函數(shù)綜合題型解析二次函數(shù)是初中代數(shù)綜合性最強的知識，在不同地區(qū)、不同版本的中考試題中經(jīng)常做為壓軸題出現(xiàn)，足見其重要性。函數(shù)思想和解題方法原理不僅僅局限于初中學(xué)習(xí)，在高中、大學(xué)及以后的生活、工作中都有廣泛的用途。在中考前的復(fù)習(xí)中掌握好二次函數(shù)的綜合題解題方法，將大大提高中考成績?，F(xiàn)舉一例：【四川省內(nèi)江市2019中考試題加試卷壓軸題】已知拋物線C1：與C2：的頂點相同.(1)求拋物線C2的解析式；(2)點A是拋物線C2在第四象限內(nèi)的一動點，過點A作AP⊥x軸，P為垂足，求AP+OP的最大值；Q1B1’Q2B2’B?COxyAPG1G2(3)Q1B1’Q2B2’B?COxyAPG1G2難度：★★★★考點：函數(shù)綜合應(yīng)用解析：(1)∵拋物線C1：的頂點為(1，-4)，又拋物線C1與C2：的頂點相同，∴，解得m=2，進而解得n=-3，∴拋物線C2的解析式是.(2)拋物線C2：與x軸交于點(-1，0)和(3，0)設(shè)點A的坐標(biāo)為(a，a2-2a-3)(0＜a＜3)，則點P坐標(biāo)為(a，0)，∴AP+OP=|a2-2a-3|+a=-a2+3a+3=∴當(dāng)時，AP+OP取得最大值，為.(3)連結(jié)BC.拋物線C2的對稱軸為直線l：x=1∵點B的坐標(biāo)為(-1，-4)，點C的坐標(biāo)為(1，-4)，∴BC=2，BC⊥直線l.假設(shè)在拋物線C2上存在滿足條件的點B’，過點B’作B’G⊥直線l于點G，則有△BCQ≌△QGB’，進而有BC=QG=2，CQ=GB’.設(shè)點Q的坐標(biāo)為(1，q)，點B’的坐標(biāo)為(x，x2-2x-3)，則QG=x2-2x-3-q=2，CQ=|-4-q|，GB’=|x-1|聯(lián)立，整理得q2+7q+10=0，解得q=-2或-5∴滿足要求的點Q的坐標(biāo)為(1，-2)或(1，-5).題型一：二次函數(shù)中的最值問題例1：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A(-2,-4)，O(0,0)，B(2,0)三點．(1)求拋物線y=ax2+bx+c的解析式；(2)若點M是該拋物線對稱軸上的一點，求AM+OM的最小值．解：(1)把A(-2,-4)，O(0,0)，B(2,0)三點的坐標(biāo)代入y=ax2+bx+c中，得解這個方程組，得a=，b=1，c=0M所以解析式為．M(2)由，可得拋物線的對稱軸為x=1，并且對稱軸垂直平分線段OB∴OM=BM∴OM+AM=BM+AM連接AB，交直線x=1于M點，則此時OM+AM最小，過點A作AN⊥x軸于點N，在Rt△ABN中，AB，因此OM+AM最小值為.方法提煉：已知一條直線上一動點M和直線同側(cè)兩個固定點A、B，求AM+BM最小值的問題，只需做出點A關(guān)于這條直線的對稱點A’，將點B與A’連接起來交直線與點M，那么A’B就是AM+BM的最小值。同理，也可以做出點B關(guān)于這條直線的對稱點B’，將點A與B’連接起來交直線與點M，那么AB’就是AM+BM的最小值。應(yīng)用的原理是：兩點之間線段最短。例2：已知拋物線C1的函數(shù)解析式為，若拋物線C1經(jīng)過點，方程的兩根為，，且。(1)求拋物線C1的頂點坐標(biāo).(2)已知實數(shù)，請證明：≥，并說明為何值時才會有.(3)若拋物線先向上平移4個單位，再向左平移1個單位后得到拋物線C2，設(shè)，是C2上的兩個不同點，且滿足：∠AOB=90°，m＞0，n＜0，.請你用含有的表達式表示出△的面積，并求出的最小值及取最小值時一次函數(shù)的函數(shù)解析式。解：(1)∵拋物線過點，∴-3a＝-3∴a＝1∴y=x2+bx-3∵x2+bx-3=0的兩根為x1，x2且＝4∴且b＜0∴b＝-2∴y=x2-2x-3=(x-1)2-4∴拋物線C1的頂點坐標(biāo)為(1，-4)(2)∵x＞0，∴≥0∴≥0，顯然當(dāng)x＝1時，才有(3)方法一：由平移知識易得C2的解析式為：y＝x2∴A(m，m２)，B（n，n２）∵△AOB為直角三角形，∴OA２+OB２=AB２∴m２＋m４＋n２＋n４＝(m－n)２＋(m２－n２)２化簡得：mn＝-1∵又∵mn＝-1∴＝∴S△AOB的最小值為1，此時m＝1,A(1，1)∴直線OA的一次函數(shù)解析式為y＝x方法提煉：①已知一元二次方程兩個根x1，x2求。因為=②例3：如圖，已知拋物線經(jīng)過點A(-1，0)、B(3，0)、C(0，3)三點．(1)求拋物線的解析式．(2)點M是線段BC上的點（不與B，C重合），過M作MN∥y軸交拋物線于N，若點M的橫坐標(biāo)為m，請用m的代數(shù)式表示MN的長．(3)在(2)的條件下，連接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面積最大？若存在，求m的值；若不存在，說明理由．解：(1)設(shè)拋物線的解析式為：y=a(x+1)(x-3)，則：a(0+1)(0-3)=3，a=-1；∴拋物線的解析式：y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3．(2)設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+b，則有：，解得；故直線BC的解析式：y=-x+3．∵點M的橫坐標(biāo)為m，∴M(m，-m+3)、N(m，-m2+2m+3)；∴故MN=-m2+2m+3-(-m+3)=-m2+3m(0＜m＜3)．(3)如圖.∵S△BNC=S△MNC+S△MNB=，∴S△BNC=（0＜m＜3）；∴當(dāng)m=時，△BNC的面積最大，最大值為．方法提煉：因為△BNC的面積不好直接求，將△BNC的面積分解為△MNC和△MNB的面積和。然后將△BNC的面積表示出來，得到一個關(guān)于m的二次函數(shù)。此題利用的就是二次函數(shù)求最值的思想，當(dāng)二次函數(shù)的開口向下時，在頂點處取得最大值；當(dāng)二次函數(shù)的開口向上時，在頂點處取得最小值。題型二：二次函數(shù)與三角形的綜合問題例4：如圖，已知：直線交x軸于點A，交y軸于點B，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A、B、C(1，0)三點.(1)求拋物線的解析式;(2)若點D的坐標(biāo)為(-1，0)，在直線上有一點P，使△ABO與△ADP相似，求出點P的坐標(biāo)；(3)在(2)的條件下，在x軸下方的拋物線上，是否存在點E，使△ADE的面積等于四邊形APCE的面積？如果存在，請求出點E的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．解：(1)由題意得，A(3，0)，B(0，3)∵拋物線經(jīng)過A、B、C三點，∴把A(3，0)，B(0，3)，C(1，0)三點分別代入得方程組解得：∴拋物線的解析式為(2)由題意可得：△ABO為等腰三角形,如圖所示，若△ABO∽△AP1D，則∴DP1=AD=4，∴P1(-1，4)若△ABO∽△ADP2，過點P2作P2M⊥x軸于M，AD=4,∵△ABO為等腰三角形,∴△ADP2是等腰三角形,由三線合一可得：DM=AM=2=P2M，即點M與點C重合∴P2(1，2)(3)如圖設(shè)點E(x，y)，則①當(dāng)P1(-1，4)時，=∴，∴∵點E在x軸下方，∴y=-4代入得：x2-4x+3=-4，即x2-4x+7=0∵△=(-4)2-4×7=-12＜0∴此方程無解.②當(dāng)P2(1，2)時，=∴∴∵點E在x軸下方∴y=-2代入得：x2-4x+3=-2，即x2-4x+5=0∵△=(-4)2-4×5=-4＜0∴此方程無解.綜上所述，在x軸下方的拋物線上不存在這樣的點E。方法提煉：①求一點使兩個三角形相似的問題，我們可以先找出可能相似的三角形，一般是有幾種情況，需要分類討論，然后根據(jù)兩個三角形相似的邊長相似比來求點的坐標(biāo)。②要求一個動點使兩個圖形面積相等，我們一般是設(shè)出這個動點的坐標(biāo)，然后根據(jù)兩個圖形面積相等來求這個動點的坐標(biāo)。如果圖形面積直接求不好求的時候，我們要考慮將圖形面積分割成幾個容易求解的圖形。例5：如圖，點A在x軸上，OA=4，將線段OA繞點O順時針旋轉(zhuǎn)120°至OB的位置．(1)求點B的坐標(biāo)；(2)求經(jīng)過點A、O、B的拋物線的解析式；(3)在此拋物線的對稱軸上，是否存在點P，使得以點P、O、B為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求點P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．解：(1)如圖，過B點作BC⊥x軸，垂足為C，則∠BCO=90°，∵∠AOB=120°，∴∠BOC=60°，又∵OA=OB=4，∴OC=OB=×4=2，BC=OB?sin60°=4×=，∴點B的坐標(biāo)為(-2，-)；(2)∵拋物線過原點O和點A、B，∴可設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx，將A(4，0)，B(-2，-)代入，得DP，解得，∴此拋物線的解析式為DP(3)存在，如圖，拋物線的對稱軸是x=2，直線x=2與x軸的交點為D，設(shè)點P的坐標(biāo)為(2，y)，C①若OB=OP，則22+|y|2=42，解得y=±，C當(dāng)y=時，在Rt△POD中，∠PDO=90°，sin∠POD=，∴∠POD=60°，∴∠POB=∠POD+∠AOB=60°+120°=180°，即P、O、B三點在同一直線上，∴y=不符合題意，舍去，∴點P的坐標(biāo)為(2，-)②若OB=PB，則42+|y+|2=42，解得y=-，故點P的坐標(biāo)為(2，-)，③若OP=BP，則22+|y|2=42+|y+|2，解得y=-，故點P的坐標(biāo)為(2，-)，綜上所述，符合條件的點P只有一個，其坐標(biāo)為(2，-).方法提煉：求一動點使三角形成為等腰三角形成立的條件，這種題型要用分類討論的思想。因為要使一個三角形成為等腰三角形，只要三角形的任意兩個邊相等就可以，所以應(yīng)該分三種情況來討論。題型三：二次函數(shù)與四邊形的綜合問題例6：綜合與實踐：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=﹣x2+2x+3與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，點D是該拋物線的頂點．(1)求直線AC的解析式及B，D兩點的坐標(biāo)；(2)點P是x軸上一個動點，過P作直線l∥AC交拋物線于點Q，試探究：隨著P點的運動，在拋物線上是否存在點Q，使以點A、P、Q、C為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出符合條件的點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．(3)請在直線AC上找一點M，使△BDM的周長最小，求出M點的坐標(biāo)．解：(1)當(dāng)y=0時，﹣x2+2x+3=0，解得x1=-1，x2=3．∵點A在點B的左側(cè)，∴A、B的坐標(biāo)分別為(-1，0)，(3，0)．當(dāng)x=0時，y=3．∴C點的坐標(biāo)為(0，3).設(shè)直線AC的解析式為y=k1x+b1(k1≠0)，則，解得，∴直線AC的解析式為y=3x+3．∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4，∴頂點D的坐標(biāo)為(1，4)．(2)拋物線上有三個這樣的點Q，①當(dāng)點Q在Q1位置時，Q1的縱坐標(biāo)為3，代入拋物線可得點Q1的坐標(biāo)為(2，3)；②當(dāng)點Q在點Q2位置時，點Q2的縱坐標(biāo)為-3，代入拋物線可得點Q2坐標(biāo)為(1+，-3)；③當(dāng)點Q在Q3位置時，點Q3的縱坐標(biāo)為-3，代入拋物線解析式可得，點Q3的坐標(biāo)為(1-，-3)；綜上可得滿足題意的點Q有三個，分別為：Q1(2，3)，Q2(1+，-3)，Q3(1-，-3)．(3)點B作BB′⊥AC于點F，使B′F=BF，則B′為點B關(guān)于直線AC的對稱點．連接B′D交直線AC與點M，則點M為所求，過點B′作B′E⊥x軸于點E．∵∠1和∠2都是∠3的余角，∴∠1=∠2．∴Rt△AOC～Rt△AFB，∴，由A(-1，0)、B(3，0)C(0，3)得OA=1，OB=3，OC=3，∴AC=，AB=4．∴，∴BF=，∴BB′=2BF=，由∠1=∠2可得Rt△AOC∽Rt△B′EB，∴，∴．∴B′E=，BE=，∴OE=BE-OB=-3=．∴B′點的坐標(biāo)為(-，)．設(shè)直線B′D的解析式為y=k2x+b2(k2≠0)．∴，解得，∴直線B'D的解析式為：，聯(lián)立B'D與AC的直線解析式可得：，解得，∴M點的坐標(biāo)為．方法提煉：求一動點使四邊形成為平行四邊形成立的條件，這種題型要用分類討論的思想，一般需要分三種情況來討論。題型四：二次函數(shù)與圓的綜合問題例7：如圖，半徑為2的⊙C與x軸的正半軸交于點A，與y軸的正半軸交于點B，點C的坐標(biāo)為（1，0）．若拋物線過A、B兩點．（1）求拋物線的解析式；（2）在拋物線上是否存在點P，使得∠PBO=∠POB？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在說明理由；（3）若點M是拋物線（在第一象限內(nèi)的部分）上一點，△MAB的面積為S，求S的最大（?。┲担猓海?）如答圖1，連接OB．∵BC=2，OC=1∴OB=∴B（0，）將A(3，0)，B(0，)代入二次函數(shù)的表達式得，解得，∴．（2）存在．如答圖2，作線段OB的垂直平分線l，與拋物線的交點即為點P．∵B（0，），O（0，0），∴直線l的表達式為．代入拋物線的表達式，得；解得，∴P（）．（3）如答圖3，作MH⊥x軸于點H．設(shè)M（），則S△MAB=S梯形MBOH+S△MHA﹣S△OAB=(MH+OB)·OH+HA·MH﹣OA·OB==∵，∴=xyBAPHCOD∴當(dāng)時，xyBAPHCOD題型五：二次函數(shù)中的證明問題例8：如圖，已知二次函數(shù)的圖像過點A(-4，3），B(4，4).（1）求二次函數(shù)的解析式：（2）求證：△ACB是直角三角形；（3）若點P在第二象限，且是拋物線上的一動點，過點P作PH垂直x軸于點H，是否存在以P、H、D為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。解：（1）將A(-4，3），B(4，4)代入中，整理得：解得∴二次函數(shù)的解析式為：，整理得：（2）由整理得∴C(-2，0)，D(，0)從而有：AC2=4+9，BC2=36+16，AC2+BC2=13+52=65，AB2=64+1=65∴AC2+BC2=AB2，故△ACB是直角三角形.（3）設(shè)(x＜0)PH=，HD=，AC=，BC=.①當(dāng)△PHD∽△ACB時有：即：整理∴，（舍去）.此時，∴.②當(dāng)△DHP∽△ACB時有：即：整理，得∴，（舍去）此時，∴.綜上所述，滿足條件的點有兩個即，.例9：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點P是拋物線：y=x2上的動點(點在第一象限內(nèi)).連接OP，過點O作OP的垂線交拋物線于另一點Q．連接PQ，交y軸于點M．作PA丄x軸于點A，QB丄x軸于點B．設(shè)點P的橫坐標(biāo)為m．（1）如圖1，當(dāng)m=時，①求線段OP的長和tan∠POM的值；②在y軸上找一點C，使△OCQ是以O(shè)Q為腰的等腰三角形，求點C的坐標(biāo)；（2）如圖2，連接AM、BM，分別與OP、OQ相交于點D、E．①用含m的代數(shù)式表示點Q的坐標(biāo)；②求證：四邊形ODME是矩形．解：（1）①把x=代入y=x2，得y=2，∴P（，2），∴OP=.∵PA丄x軸，∴PA∥MO．∴tan∠POM=tan∠OPA==．②設(shè)Q（n，n2），∵tan∠QOB=tan∠POM，∴．∴n=.∴Q（，），∴OQ=．當(dāng)OQ=OC時，則C1（0，），C2（0，）；當(dāng)OQ=CQ時，則C3（0，1）．（2）①∵P（m，m2），設(shè)Q（n，n2），∵△APO∽△BOQ，∴∴，得，∴Q．②設(shè)直線PO的解析式為y=kx+b，把P（m，m2）、Q代入，得：解得b=1，∴M（0，1）∵，∠QBO=∠MOA=90°，∴△QBO∽△MOA∴∠MAO=∠QOB，∴QO∥MA同理可證：EM∥OD又∵∠EOD=90°，∴四邊形ODME是矩形．題型六：自變量取值范圍問題 例10：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，四邊形ABCD是菱形，頂點A、C、D均在坐標(biāo)軸上，且AB=5，sinB=．（1）求過A、C、D三點的拋物線的解析式；（2）記直線AB的解析式為y1=mx+n，（1）中拋物線的解析式為y2=ax2+bx+c，求當(dāng)y1＜y2時，自變量x的取值范圍；（3）設(shè)直線AB與（1）中拋物線的另一個交點為E，P點為拋物線上A、E兩點之間的一個動點，當(dāng)P點在何處時，△PAE的面積最大？并求出面積的最大值．解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=AD=CD=BC=5，sinB=sinD=；Rt△OCD中，OC=CD·sinD=4，OD=3；OA=AD﹣OD=2，即：A(﹣2，0)、B(﹣5，4)、C(0，4)、D(3，0)；設(shè)拋物線的解析式為：y=a(x+2)(x﹣3)，得：2×(﹣3)a=4，a=﹣；∴拋物線：．（2）由A(﹣2，0)、B(﹣5，4)得直線AB：；由（1）得，則：，解得，；由圖可知：當(dāng)y1＜y2時，﹣2＜x＜5．（3）∵S△APE=AE·h，∴當(dāng)P到直線AB的距離最遠時，S△ABC最大；若設(shè)直線l∥AB，則直線l與拋物線有且只有一個交點時，該交點為點P；設(shè)直線l：