期望與方差例題選講(含詳解)

載概率統(tǒng)計(jì)(理精品)典型例題選講ardIn等可能事件概率的計(jì)算步驟：①計(jì)算一次試驗(yàn)的基本事件總數(shù)n;③依公式P(A)=m求值;n④答，即給問題一個(gè)明確的答復(fù).kPAn[(1-P)+P]n展開的第k+1項(xiàng).(4)解決概率問題要注意“四個(gè)步驟，一個(gè)結(jié)合”：①求概率的步驟是：第一步，確定事件性質(zhì)等可能事件互斥事件獨(dú)立事件次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)即所給的問題歸結(jié)為四類事件中的某一種.第二步，判斷事件的運(yùn)算(和事件即是至少有一個(gè)發(fā)生，還是同時(shí)發(fā)生，分別運(yùn)用相加或相乘事件.積事件積事件PkCkpk1p)nknn典型例題分析載則期望則期望Eξ=6×+9×+12×=7.8,2.(2010江西)某迷宮有三個(gè)通道，進(jìn)入迷宮的每個(gè)人都要經(jīng)過一扇智能門．首次到達(dá)此門，系統(tǒng)會(huì)隨機(jī)(即達(dá)智能門時(shí)，系統(tǒng)會(huì)隨機(jī)打開一個(gè)你未到過的通道，直至走出迷宮為止。令ξ表示走出迷宮所需的時(shí)間，(Ⅰ)求ξ的分布列；，(Ⅱ(Ⅱ)(小時(shí))．3．(2009高考(陜西理))某食品企業(yè)一個(gè)月內(nèi)被消費(fèi)者投訴的次數(shù)用表示,椐統(tǒng)計(jì),隨機(jī)變量的概率分布如下:p0123a載(Ⅰ)求a的值和的數(shù)學(xué)期望;(Ⅱ)假設(shè)一月份與二月份被消費(fèi)者投訴的次數(shù)互不影響,求該企業(yè)在這兩個(gè)月內(nèi)共被消費(fèi)者投訴2次的概率?a1102310次”;事件A表示“兩個(gè)月內(nèi)每月均被投訴12次”2則由事件的獨(dú)立性得222故該企業(yè)在這兩個(gè)月內(nèi)共被消費(fèi)者投訴2次的概率為0.174．(浙江省溫州市2010屆高三八校聯(lián)考(理))甲乙兩隊(duì)參加某知識(shí)競(jìng)賽,每隊(duì)3人,每人回答一個(gè)問題,答對(duì)者3332各人回答正確與否相互之間沒有影響.用ξ表示乙隊(duì)的總得分.AB隊(duì)總得分”這一事件,求P(B|A)?1111111133218211121111533233233218221211121833233233218221433218載158433158433813327221243332792262333279283327185128641120P(BA)6817∴P(B|A)===P(A)120305．(浙江省臺(tái)州中學(xué)09-10學(xué)年高二上學(xué)期第二次統(tǒng)練(理))在汶川大地震后對(duì)唐家山堰塞湖的搶險(xiǎn)過程中,武警官兵準(zhǔn)備用射擊的方法引爆從湖壩上游漂流而下的一個(gè)巨大的汽油罐.已知只有5發(fā)子彈,第一次命中只22(Ⅰ)求油罐被引爆的概率;(Ⅱ)如果引爆或子彈打光則停止射擊,設(shè)射擊次數(shù)為.求的分布列及數(shù)學(xué)期望E().(用分?jǐn)?shù)表示)設(shè)命中油罐的次數(shù)為則當(dāng)X=0或X=1時(shí)油罐不能被引爆2132432210533243224222833923332722243333274841927279載484179927279272009屆高三一模文)某學(xué)校進(jìn)行交通安全教育,設(shè)計(jì)了如下游戲,如圖,一輛車模要直行通過2009屆高三一模文)某學(xué)校進(jìn)行交通安全教育,設(shè)計(jì)了如下游戲,如圖,一輛車模要直行通過十字路口,此時(shí)前方交通燈為紅燈,且該車模前面已有4輛車模依次在同一車道上排隊(duì)等候(該車道只可以直行或左轉(zhuǎn)行駛).已知每輛車模直行的概率是,左轉(zhuǎn)行駛的概率是行或左轉(zhuǎn)行駛).已知每輛車模直行的概率是,左轉(zhuǎn)行駛的概率是,該路口紅綠燈轉(zhuǎn)換間隔時(shí)間均為1分鐘.55假設(shè)該車道上一輛直行去東向的車模駛出停車線需要10秒鐘,一輛左轉(zhuǎn)去北向的車模駛出停車線需要20秒鐘,求:(Ⅰ)前4輛車模中恰有2輛車左轉(zhuǎn)行駛的概率;(Ⅱ)該車模在第一次綠燈亮起時(shí)的1分鐘內(nèi)通過過該路口的概率(汽車駛出停車線就算通過路口).則P(A)=C2(3)2(2)2=216455625(Ⅱ)設(shè)該車在第一次綠燈亮起時(shí)的1分鐘內(nèi)通過該路口為事件B,其中4輛車模均直行通過路口為事件B,3輛直行1輛左轉(zhuǎn)為事件B,則事件B、B互斥.12121212454556257．(2009高考(湖北理))一個(gè)盒子里裝有4張大小形狀完全相同的卡片，分別標(biāo)有數(shù)2，3，4，5；另一個(gè)盒子全相同的卡片，分別標(biāo)有數(shù)3，4，5，6?，F(xiàn)從一個(gè)盒子中任取一張卡片，其上面的數(shù)記1123p(n=5)==,p(n=6)=,p(n=7)=4416161643211616123432116載8．(2012課標(biāo)卷2)某花店每天以每枝5元的價(jià)格從農(nóng)場(chǎng)購(gòu)進(jìn)若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的價(jià)格出售，如果當(dāng)天賣不完，剩下的玫瑰花作垃圾處理．(1)若花店一天購(gòu)進(jìn)16枝玫瑰花，求當(dāng)天的利潤(rùn)y(單位：元)關(guān)于當(dāng)天需求量n(單位：枝，n∈N)的函數(shù)解析式；(2)花店記錄了100天玫瑰花的日需求量(單位：枝)，整理得下表：頻數(shù)以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率．②若花店計(jì)劃一天購(gòu)進(jìn)16枝或17枝玫瑰花，你認(rèn)為應(yīng)購(gòu)進(jìn)16枝還是17枝？請(qǐng)說明理由．當(dāng)日需求量n＜16時(shí)，利潤(rùn)y＝10n－80.|80，n≥16.P(X＝60)＝0.1，P(X＝70)＝0.2，P(X＝80)＝0.7，X的數(shù)學(xué)期望為E(X)＝60×0.1＋70×0.2＋80×0.7＝76.②答案一：花店一天應(yīng)購(gòu)進(jìn)16枝玫瑰花．理由如下：YY55657585載精品P精品P0.10.20.160.54Y的數(shù)學(xué)期望為E(Y)＝55×0.1＋65×0.2＋75×0.16＋85×0.54＝76.4.DY04.不大．故花店一天應(yīng)購(gòu)進(jìn)16枝玫瑰花．(14分)答案二：花店一天應(yīng)購(gòu)進(jìn)17枝玫瑰花．理由如下：416YY的數(shù)學(xué)期望為E(Y)＝55×0.1＋65×0.2＋75×0.16＋85×0.54＝76.4.花店一天應(yīng)購(gòu)進(jìn)17枝玫瑰花．11點(diǎn)投中的概率分別是2和3，且在A，B兩點(diǎn)投中與否相互獨(dú)立．(1)若教師甲投籃三次，試求他投籃得分X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)若教師乙與甲在A，B點(diǎn)投中的概率相同，兩人按規(guī)則各投三次，求甲勝乙的概率．答案(1)E(X)＝3(2)48解析設(shè)“教師甲在A點(diǎn)投中”的事件為A，“教師甲在B點(diǎn)投中”的事件為B.(1)根據(jù)題意知X的可能取值為0,2,3,4,5,7.載精品111P(X＝0)＝P(ABA)＝(1－2)2×(1－3)＝6，1111PXPABAABA)＝C×2×(1－3)×(1－2)＝3，1111P(X＝3)＝P(ABA)＝(1－2)×3×(1－2)＝12，1111111123212.23212.11E(X)＝0×＋2×＋3×＋4×＋5×＋7×＝3.612這五種情形之間彼此互斥，因此所求事件的概率為11111111111111115719P6＋3＋12)＋6×(6＋3＋12＋6)＋12×(1－12)＝144＝48.10.(2013課標(biāo)卷2)一批產(chǎn)品需要進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)，檢驗(yàn)方案是：先從這批產(chǎn)品中任取4件作檢驗(yàn)，這4件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的件數(shù)記為n。如果n=3，再?gòu)倪@批產(chǎn)品中任取4件作檢驗(yàn)，若都為優(yōu)質(zhì)品，則這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)；如果n=4，再?gòu)倪@批產(chǎn)品中任取1件作檢驗(yàn)，若為優(yōu)質(zhì)品，則這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)；其他情況下，這批產(chǎn)品都不能通過檢驗(yàn)。假設(shè)這批產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率為50%，即取出的產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品的概率都為，且各件產(chǎn)品是否為優(yōu)質(zhì)品相互獨(dú)立 (1)求這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)的概率； (2)已知每件產(chǎn)品檢驗(yàn)費(fèi)用為100元，凡抽取的每件產(chǎn)品都需要檢驗(yàn)，對(duì)這批產(chǎn)品作質(zhì)量檢驗(yàn)所需的費(fèi)用記為X(單位：元)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望。載【解析】設(shè)第一次取出的4件產(chǎn)品中恰有3件優(yōu)質(zhì)品為事件A，第一次取出的4件產(chǎn)品中全為優(yōu)質(zhì)品為事件B,第二次取出的4件產(chǎn)品都是優(yōu)質(zhì)品為事件C，第二次取出的1件產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品為事件D，這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)為3∴P(E)=P(AB)+P(CD)=P(A)P(B|A)+P(C)P(D|C)=C(2)22(2)4+(2)423 (Ⅱ)X的可能取值為400,500,800，并且422216164224X11.(2011天津高考)學(xué)校游園活動(dòng)有這樣一個(gè)游戲項(xiàng)目：甲箱子里裝有3個(gè)白球、2個(gè)黑球，乙箱子里裝有1個(gè)白球、2個(gè)黑球，這些球除顏色外完全相同，每次游戲從這兩個(gè)箱子里各隨機(jī)摸出2個(gè)球，若摸出的白球不少于2個(gè)，則獲獎(jiǎng)．(每次游戲結(jié)束后將球放回原箱) (Ⅰ)求在1次游戲中， (i)摸出3個(gè)白球的概率； (ii)獲獎(jiǎng)的概率； (Ⅱ)求在2次游戲中獲獎(jiǎng)次數(shù)X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X)．解：(Ⅰ)(i)設(shè)“在一次游戲中摸出i個(gè)白球”為事件Ai(i=，0，1，2，3)，則P(A3)=， (ii)設(shè)“在一次游戲中獲獎(jiǎng)”為事件B，則B=A2∪A3，又P(A2)又P(A2)=所以所以P(B)=P(A2)+P(A3)=X的數(shù)學(xué)期望X的數(shù)學(xué)期望E(X)=0× (Ⅱ)由題意可知X的所有可能取值為0，1，2．P(X=0)=(1﹣)2=，P(X=1)=C21(1﹣)=，P(X=2)=()2=，所以X的分布列是12.(2010四川)某種有獎(jiǎng)銷售的飲料，瓶蓋內(nèi)印有“獎(jiǎng)勵(lì)一瓶”或“謝謝購(gòu)買”字樣，購(gòu)買一瓶若其瓶蓋內(nèi)印有“獎(jiǎng)勵(lì)一瓶”字樣即為中獎(jiǎng)，中獎(jiǎng)概率為。甲、乙、丙三位同學(xué)每人購(gòu)買了一瓶該飲料。 (1