2023年長(zhǎng)春市德惠市中考數(shù)學(xué)一模試卷含答案解析

2023年吉林省長(zhǎng)春市德惠市中考數(shù)學(xué)一模試卷一、選擇題（本題共8小題，每小題3分，共24分）1．（3分）下列四個(gè)數(shù)中，最小的數(shù)是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．32．（3分）我國(guó)推行“一帶一路”政策以來(lái)，已確定沿線有65個(gè)國(guó)家加入，共涉及總?cè)丝诩s達(dá)46億人，用科學(xué)記數(shù)法表示該總?cè)丝跒椋ǎ〢．4.6×109 B．46×108 C．0.46×1010 D．4.6×10103．（3分）一個(gè)立方體的表面展開(kāi)圖如圖所示，將其折疊成立方體后，“你”字對(duì)面的字是（）A．中 B．考 C．順 D．利4．（3分）不等式x+1≥2的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）A． B． C． D．5．（3分）如圖，BD∥AC，BE平分∠ABD，交AC于點(diǎn)E．若∠A=50°，則∠1的度數(shù)為（）A．65° B．60° C．55° D．50°6．（3分）如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，分別以點(diǎn)A、C為圓心，AD、CB為半徑畫(huà)弧，交AB于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F，則圖中陰影部分的面積是（）A．4﹣2π B．8﹣ C．8﹣2π D．8﹣4π7．（3分）AB是⊙O的直徑，PA切⊙O于點(diǎn)A，PO交⊙O于點(diǎn)C；連接BC，若∠P=40°，則∠B等于（）A．20° B．25° C．30° D．40°8．（3分）如圖，P（m，m）是反比例函數(shù)y=在第一象限內(nèi)的圖象上一點(diǎn)，以P為頂點(diǎn)作等邊△PAB，使AB落在x軸上，則△POB的面積為（）A． B．3 C． D．二、填空題（本題共6小題，每3分，共16分）9．（3分）計(jì)算|﹣2|﹣30=．10．（3分）分解因式：x2y﹣y=．11．（3分）在△ABC中，MN∥BC分別交AB，AC于點(diǎn)M，N；若AM=1，MB=2，BC=3，則MN的長(zhǎng)為．12．（3分）如圖，扇形紙扇完全打開(kāi)后，∠BAC=120°，AB=AC=30厘米，則的長(zhǎng)為厘米．（結(jié)果保留π）13．（3分）我國(guó)古代有這樣一道數(shù)學(xué)問(wèn)題：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根纏繞而上，五周而達(dá)其頂，問(wèn)葛藤之長(zhǎng)幾何？”題意是：如圖所示，把枯木看作一個(gè)圓柱體，因一丈是十尺，則該圓柱的高為20尺，底面周長(zhǎng)為3尺，有葛藤自點(diǎn)A處纏繞而上，繞五周后其末端恰好到達(dá)點(diǎn)B處，則問(wèn)題中葛藤的最短長(zhǎng)度是尺．14．（3分）如圖，邊長(zhǎng)為4的正六邊形ABCDEF的中心與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合，AF∥x軸，將正六邊形ABCDEF繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)n次，每次旋轉(zhuǎn)60°．當(dāng)n=2023時(shí)，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為．三、解答題（本題共10小題，共78分）15．（6分）先化簡(jiǎn)，再求值：（2+x）（2﹣x）+（x﹣1）（x+5），其中．16．（6分）某乳品公司最近推出一款果味酸奶，共有紅棗、木瓜兩種口味，若送奶員連續(xù)三天，每天從中任選一瓶某種口味的酸奶贈(zèng)送給某住戶(hù)品嘗，則該住戶(hù)收到的三瓶酸奶中，至少有兩瓶為紅棗口味的概率是多少？（請(qǐng)用“畫(huà)樹(shù)狀圖”的方法給出分析過(guò)程，并求出結(jié)果）17．（6分）在“母親節(jié)”前期，某花店購(gòu)進(jìn)康乃馨和玫瑰兩種鮮花，銷(xiāo)售過(guò)程中發(fā)現(xiàn)康乃馨比玫瑰銷(xiāo)售量大，店主決定將玫瑰每枝降價(jià)1元促銷(xiāo)，降價(jià)后30元可購(gòu)買(mǎi)玫瑰的數(shù)量是原來(lái)購(gòu)買(mǎi)玫瑰數(shù)量的1.5倍，求降價(jià)后每枝玫瑰的售價(jià)是多少元？18．（7分）如圖，點(diǎn)A，B，C，D在同一條直線上，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在直線AD的兩側(cè)，且AE=DF，∠A=∠D，AB=DC．（1）求證：四邊形BFCE是平行四邊形；（2）若AD=10，DC=3，∠EBD=60°，則BE=時(shí)，四邊形BFCE是菱形．19．（7分）如圖為放置在水平桌面上的臺(tái)燈的平面示意圖，燈臂AO長(zhǎng)為40cm，與水平面所形成的夾角∠OAM為75°．由光源O射出的邊緣光線OC，OB與水平面所形成的夾角∠OCA，∠OBA分別為90°和30°，求該臺(tái)燈照亮水平面的寬度BC（不考慮其他因素，結(jié)果精確到0.1cm．溫馨提示：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，）．20．（7分）在“宏揚(yáng)傳統(tǒng)文化，打造書(shū)香校園”活動(dòng)中，學(xué)校計(jì)劃開(kāi)展四項(xiàng)活動(dòng)：“A﹣國(guó)學(xué)誦讀”、“B﹣演講”、“C﹣課本劇”、“D﹣書(shū)法”，要求每位同學(xué)必須且只能參加其中一項(xiàng)活動(dòng)，學(xué)校為了了解學(xué)生的意愿，隨機(jī)調(diào)查了部分學(xué)生，結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下：（1）如圖，希望參加活動(dòng)C占20%，希望參加活動(dòng)B占15%，則被調(diào)查的總?cè)藬?shù)為人，扇形統(tǒng)計(jì)圖中，希望參加活動(dòng)D所占圓心角為度，根據(jù)題中信息補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖．（2）學(xué)?，F(xiàn)有800名學(xué)生，請(qǐng)根據(jù)圖中信息，估算全校學(xué)生希望參加活動(dòng)A有多少人？21．（8分）暑假期間，小剛一家乘車(chē)去離家380公里的某景區(qū)旅游，他們離家的距離y（km）與汽車(chē)行駛時(shí)間x（h）之間的函數(shù)圖象如圖所示．（1）從小剛家到該景區(qū)乘車(chē)一共用了多少時(shí)間？（2）求線段AB對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式；（3）小剛一家出發(fā)2.5小時(shí)時(shí)離目的地多遠(yuǎn)？22．（9分）如圖1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，AD=AE，連接DC，點(diǎn)M，P，N分別為DE，DC，BC的中點(diǎn)．（1）觀察猜想：圖1中，線段PM與PN的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；（2）探究證明：把△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到圖2的位置，連接MN，BD，CE，判斷△PMN的形狀，并說(shuō)明理由；（3）拓展延伸：把△ADE繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若AD=4，AB=10，請(qǐng)直接寫(xiě)出△PMN面積的最大值．23．（10分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，CD⊥AB于點(diǎn)D．點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，沿線段DC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿線段CA向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，速度都為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到C時(shí)，兩點(diǎn)都停止．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．（1）求線段CD的長(zhǎng)；（2）設(shè)△CPQ的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并確定在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中是否存在某一時(shí)刻t，使得S△CPQ：S△ABC=9：100？若存在，求出t的值；若不存在，說(shuō)明理由．（3）當(dāng)t為何值時(shí)，△CPQ為等腰三角形？24．（12分）如果一條拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，那么以該拋物線的頂點(diǎn)和這兩個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形稱(chēng)為這條拋物線的“拋物線三角形”．（1）“拋物線三角形”一定是三角形；（2）若拋物線y=﹣x2+bx（b＞0）的“拋物線三角形”是等腰直角三角形，求b的值；（3）如圖，△OAB是拋物線y=﹣x2+b′x（b′＞0）的“拋物線三角形”，是否存在以原點(diǎn)O為對(duì)稱(chēng)中心的矩形ABCD？若存在，求出過(guò)O、C、D三點(diǎn)的拋物線的表達(dá)式；若不存在，說(shuō)明理由．2023年吉林省長(zhǎng)春市德惠市中考數(shù)學(xué)一模試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本題共8小題，每小題3分，共24分）1．【解答】解：﹣1＜0＜1＜3，最小的數(shù)是﹣1，故選：A．2．【解答】解：46億=4600000000=4.6×109，故選：A．3．【解答】解：正方體的表面展開(kāi)圖，相對(duì)的面之間一定相隔一個(gè)正方形，“祝”與“考”是相對(duì)面，“你”與“順”是相對(duì)面，“中”與“利”是相對(duì)面．故選：C．4．【解答】解：∵x+1≥2，∴x≥1．故選：A．5．【解答】解：∵BD∥AC，∠A=50°，∴∠ABD=130°，又∵BE平分∠ABD，∴∠1=∠ABD=65°，故選：A．6．【解答】解：∵矩形ABCD，∴AD=CB=2，∴S陰影=S矩形﹣S半圓=2×4﹣π×22=8﹣2π，故選：C．7．【解答】解：∵PA切⊙O于點(diǎn)A，∴∠PAB=90°，∵∠P=40°，∴∠POA=90°﹣40°=50°，∵OC=OB，∴∠B=∠BCO=25°，故選：B．8．【解答】解：作PD⊥OB，∵P（m，m）是反比例函數(shù)y=在第一象限內(nèi)的圖象上一點(diǎn)，∴m=，解得：m=3，∴PD=3，∵△ABP是等邊三角形，∴BD=PD=，∴S△POB=OB?PD=（OD+BD）?PD=，故選：D．二、填空題（本題共6小題，每3分，共16分）9．【解答】解：原式=2﹣1=1．故答案為：1．10．【解答】解：x2y﹣y，=y（x2﹣1），=y（x+1）（x﹣1），故答案為：y（x+1）（x﹣1）．11．【解答】解：∵M(jìn)N∥BC，∴△AMN∽△ABC，∴，即，∴MN=1，故答案為：1．12．【解答】解：的長(zhǎng)==20π（厘米）．故答案為：20π．13．【解答】解：如圖，一條直角邊（即枯木的高）長(zhǎng)20尺，另一條直角邊長(zhǎng)5×3=15（尺），因此葛藤長(zhǎng)為=25（尺）．故答案為：25．14．【解答】解：2023×60°÷360°=336…1，即與正六邊形ABCDEF繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)1次時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)是一樣的．當(dāng)點(diǎn)A按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°時(shí)，與原F點(diǎn)重合．連接OF，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥x軸，垂足為H；由已知EF=4，∠FOE=60°（正六邊形的性質(zhì)），∴△OEF是等邊三角形，∴OF=EF=4，∴F（2，2），即旋轉(zhuǎn)2023后點(diǎn)A的坐標(biāo)是（2，2），故答案是：（2，2）．三、解答題（本題共10小題，共78分）15．【解答】解：原式=4﹣x2+x2+4x﹣5=4x﹣1當(dāng)時(shí)，原式==516．【解答】解：畫(huà)樹(shù)狀圖為：共有8種等可能的結(jié)果數(shù)，其中至少有兩瓶為紅棗口味的結(jié)果數(shù)為4，所以該住戶(hù)收到的三瓶酸奶中，至少有兩瓶為紅棗口味的概率==．17．【解答】解：設(shè)降價(jià)后每枝玫瑰的售價(jià)是x元，則降價(jià)前每枝玫瑰的售價(jià)是（x+1）元，根據(jù)題意得：=×1.5，解得：x=2，經(jīng)檢驗(yàn)，x=2是原分式方程的解，且符合題意．答：降價(jià)后每枝玫瑰的售價(jià)是2元．18．【解答】（1）證明：∵AB=DC，∴AC=DB，在△AEC和△DFB中，∴△AEC≌△DFB（SAS），∴BF=EC，∠ACE=∠DBF∴EC∥BF，∴四邊形BFCE是平行四邊形；（2）當(dāng)四邊形BFCE是菱形時(shí)，BE=CE，∵AD=10，DC=3，AB=CD=3，∴BC=10﹣3﹣3=4，∵∠EBD=60°，∴BE=BC=4，∴當(dāng)BE=4時(shí)，四邊形BFCE是菱形，故答案為：4．19．【解答】解：在直角三角形ACO中，sin75°==≈0.97，解得OC≈38.8，在直角三角形BCO中，tan30°==≈，解得BC≈67.3．答：該臺(tái)燈照亮水平面的寬度BC大約是67.3cm．20．【解答】解：（1）由題意可得，被調(diào)查的總?cè)藬?shù)是：12÷20%=60，希望參加活動(dòng)B的人數(shù)為：60×15%=9，希望參加活動(dòng)D的人數(shù)為：60﹣27﹣9﹣12=12，扇形統(tǒng)計(jì)圖中，希望參加活動(dòng)D所占圓心角為：360°×（1﹣﹣15%﹣20%）=360°×20%=72°，故答案為：60，72，補(bǔ)全的條形統(tǒng)計(jì)圖如右圖所示；（2）由題意可得，800×=360，答：全校學(xué)生希望參加活動(dòng)A有360人．21．【解答】解：（1）從小剛家到該景區(qū)乘車(chē)一共用了4h時(shí)間；（2）設(shè)AB段圖象的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b．∵A（1，80），B（3，320）在AB上，∴，解得．∴y=120x﹣40（1≤x≤3）；（3）當(dāng)x=2.5時(shí)，y=120×2.5﹣40=260，380﹣260=120（km）．故小剛一家出發(fā)2.5小時(shí)時(shí)離目的地120km．22．【解答】解：（1）∵點(diǎn)P，N是BC，CD的中點(diǎn)，∴PN∥BD，PN=BD，∵點(diǎn)P，M是CD，DE的中點(diǎn)，∴PM∥CE，PM=CE，∵AB=AC，AD=AE，∴BD=CE，∴PM=PN，∵PN∥BD，∴∠DPN=∠ADC，∵PM∥CE，∴∠DPM=∠DCA，∵∠BAC=90°，∴∠ADC+∠ACD=90°，∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCA+∠ADC=90°，∴PM⊥PN，故答案為：PM=PN，PM⊥PN；（2）△PMN是等腰直角三角形．由旋轉(zhuǎn)知，∠BAD=∠CAE，∵AB=AC，AD=AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD=∠ACE，BD=CE，利用三角形的中位線得，PN=BD，PM=CE，∴PM=PN，∴△PMN是等腰三角形，同（1）的方法得，PM∥CE，∴∠DPM=∠DCE，同（1）的方法得，PN∥BD，∴∠PNC=∠DBC，∵∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC，∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC=∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC=∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC，∵∠BAC=90°，∴∠ACB+∠ABC=90°，∴∠MPN=90°，∴△PMN是等腰直角三角形；（3）方法1：如圖2，同（2）的方法得，△PMN是等腰直角三角形，∴MN最大時(shí)，△PMN的面積最大，∴DE∥BC且DE在頂點(diǎn)A上面，∴MN最大=AM+AN，連接AM，AN，在△ADE中，AD=AE=4，∠DAE=90°，∴AM=2，在Rt△ABC中，AB=AC=10，AN=5，∴MN最大=2+5=7，∴S△PMN最大=PM2=×MN2=×（7）2=．方法2：由（2）知，△PMN是等腰直角三角形，PM=PN=BD，∴PM最大時(shí)，△PMN面積最大，∴點(diǎn)D在BA的延長(zhǎng)線上，∴BD=AB+AD=14，∴PM=7，∴S△PMN最大=PM2=×72=．23．【解答】解：（1）如圖1，∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，∴AB=10．∵CD⊥AB，∴S△ABC=BC?AC=AB?CD．∴CD===4.8．∴線段CD的長(zhǎng)為4.8．（2）①過(guò)點(diǎn)P作PH⊥AC，垂足為H，如圖2所示．由題可知DP=t，CQ=t．則CP=4.8﹣t．∵∠ACB=∠CDB=90°，∴∠HCP=90°﹣∠DCB=∠B．∵PH⊥AC，∴∠CHP=90°．∴∠CHP=∠ACB．∴△CHP∽△BCA．∴．∴．∴PH=﹣t．∴S△CPQ=CQ?PH=t（﹣t）=﹣t2+t．②存在某一時(shí)刻t，使得S△CPQ：S△ABC=9：100．∵S△ABC=×6×8=