楚雄市重點(diǎn)中學(xué)2023年數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末質(zhì)量檢測試題含解析

2022-2023學(xué)年高一下數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知函數(shù)，，若成立，則的最小值為（）A． B． C． D．2．在《九章算術(shù)》中，將底面為矩形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬．如圖，若四棱錐P﹣ABCD為陽馬，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝AD，E為棱PA的中點(diǎn)，則異面直線AB與CE所成角的正弦值為（）A． B． C． D．3．在中，，是邊上的一點(diǎn)，，若為銳角，的面積為20，則（）A． B． C． D．4．下圖是實(shí)現(xiàn)秦九韶算法的一個(gè)程序框圖，若輸入的，，依次輸入的為2,2,5，則輸出的（）A．10 B．12 C．60 D．655．設(shè)集合，則()A． B． C． D．6．若實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為()A．4 B．8 C．16 D．327．直線與直線平行，則（）A． B．或 C． D．或8．《九章算術(shù)》中有如下問題：今有蒲生一日，長三尺，莞生一日，長1尺．蒲生日自半，莞生日自倍．問幾何日而長等？意思是：今有蒲第一天長高3尺，莞第一天長高1尺，以后蒲每天長高前一天的一半，莞每天長高前一天的2倍．若蒲、莞長度相等，則所需時(shí)間為（）（結(jié)果精確到0.1．參考數(shù)據(jù)：lg2＝0.3010，lg3＝0.2．）A．2.6天 B．2.2天 C．2.4天 D．2.8天9．如圖，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，P是對角線AC上一點(diǎn)，，過點(diǎn)P的直線分別交DA的延長線，AB，DC于點(diǎn)M，E，N.若(m>0，n>0)，則2m＋3n的最小值是()A． B．C． D．10．已知向量，且為正實(shí)數(shù)，若滿足，則的最小值為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=1，且an+1﹣an=n+1（n∈N*），則數(shù)列{}的前10項(xiàng)的和為__．12．某住宅小區(qū)有居民萬戶，從中隨機(jī)抽取戶，調(diào)查是否安裝寬帶，調(diào)查結(jié)果如下表所示：寬帶租戶業(yè)主已安裝未安裝則該小區(qū)已安裝寬帶的居民估計(jì)有______戶．13．?dāng)?shù)列滿足，則________.14．函數(shù)的最小正周期___________.15．已知圓錐的底面半徑為3，體積是，則圓錐側(cè)面積等于___________.16．已知向量、滿足||＝2，且與的夾角等于，則||的最大值為_____．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．為了評估A，B兩家快遞公司的服務(wù)質(zhì)量，從兩家公司的客戶中各隨機(jī)抽取100名客戶作為樣本，進(jìn)行服務(wù)質(zhì)量滿意度調(diào)查，將A，B兩公司的調(diào)查得分分別繪制成頻率分布表和頻率分布直方圖．規(guī)定分以下為對該公司服務(wù)質(zhì)量不滿意．分組頻數(shù)頻率0.4合計(jì)（Ⅰ）求樣本中對B公司的服務(wù)質(zhì)量不滿意的客戶人數(shù)；（Ⅱ）現(xiàn)從樣本對A，B兩個(gè)公司服務(wù)質(zhì)量不滿意的客戶中，隨機(jī)抽取2名進(jìn)行走訪，求這兩名客戶都來自于B公司的概率；（Ⅲ）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，試對兩個(gè)公司的服務(wù)質(zhì)量進(jìn)行評價(jià)，并闡述理由．18．無窮數(shù)列滿足：為正整數(shù)，且對任意正整數(shù)，為前項(xiàng)、、、中等于的項(xiàng)的個(gè)數(shù).（1）若，求和的值；（2）已知命題存在正整數(shù)，使得，判斷命題的真假并說明理由；（3）若對任意正整數(shù)，都有恒成立，求的值.19．已知是圓的直徑，垂直圓所在的平面,是圓上任一點(diǎn)．求證:平面⊥平面.20．已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的值域.21．己知向量，，設(shè)函數(shù)，且的圖象過點(diǎn)和點(diǎn).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值和最小值及相應(yīng)的的值；（2）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后，再將得到的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，若在有兩個(gè)不同的解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解析】，則，所以，則，易知，，則在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，所以，故選B。點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用。利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值和最值是導(dǎo)數(shù)綜合應(yīng)用題型中的常見考法。通過求導(dǎo)，首先觀察得到導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)，利用圖象判斷出單調(diào)增減區(qū)間，得到最值。2、B【解析】

由異面直線所成角的定義及求法，得到為所求，連接，由為直角三角形，即可求解．【詳解】在四棱錐中，，可得即為異面直線與所成角，連接，則為直角三角形，不妨設(shè)，則，所以,故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了異面直線所成角的作法及求法，其中把異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為相交直線所成的角是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．3、C【解析】

先利用面積公式計(jì)算出，計(jì)算出，運(yùn)用余弦定理計(jì)算出，利用正弦定理計(jì)算出，在中運(yùn)用正弦定理求解出．【詳解】解：由的面積公式可知，，可得，為銳角，可得在中，，即有，由可得，由可知．故選．【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理與余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查方程思想，屬于中檔題．4、D【解析】，，判斷否，，，判斷否，，，判斷是，輸出.故選.5、B【解析】

先求得集合，再結(jié)合集合的交集的概念及運(yùn)算，即可求解.【詳解】由題意，集合，所以.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的交集的運(yùn)算，其中解答中正確求解集合B，結(jié)合集合的交集的概念與運(yùn)算求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】

由可以得到，利用基本不等式可求最小值.【詳解】因?yàn)?，故，因?yàn)?，故，故，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，故的最小值為8，故選B.【點(diǎn)睛】應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)，需遵循“一正二定三相等”，如果原代數(shù)式中沒有積為定值或和為定值，則需要對給定的代數(shù)變形以產(chǎn)生和為定值或積為定值的局部結(jié)構(gòu).求最值時(shí)要關(guān)注取等條件的驗(yàn)證.7、B【解析】

兩直線平行，斜率相等；按，和三類求解.【詳解】當(dāng)即時(shí)，兩直線為，，兩直線不平行，不符合題意；當(dāng)時(shí)，兩直線為，兩直線不平行，不符合題意；當(dāng)即時(shí)，直線的斜率為，直線的斜率為，因?yàn)閮芍本€平行，所以，解得或，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查直線平行的斜率關(guān)系，注意斜率不存在和斜率為零的情況.8、A【解析】

設(shè)蒲的長度組成等比數(shù)列{an}，其a1＝3，公比為，其前n項(xiàng)和為An．莞的長度組成等比數(shù)列{bn}，其b1＝1，公比為2，其前n項(xiàng)和為Bn．利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式及其對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可得出．．【詳解】設(shè)蒲的長度組成等比數(shù)列{an}，其a1＝3，公比為，其前n項(xiàng)和為An．莞的長度組成等比數(shù)列{bn}，其b1＝1，公比為2，其前n項(xiàng)和為Bn．則An，Bn，由題意可得：，化為：2n7，解得2n＝3，2n＝1（舍去）．∴n12.3．∴估計(jì)2.3日蒲、莞長度相等，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式在實(shí)際中的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．9、C【解析】設(shè)，則又當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，故選點(diǎn)睛：在利用基本不等式求最值的時(shí)候，要特別注意“拆，拼，湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”（即條件要求中字母為正數(shù)），“定”（不等式的另一邊必須為定值），“等”（等號取得的條件）的條件才能應(yīng)用，否則會出現(xiàn)錯(cuò)誤．10、A【解析】

根據(jù)向量的數(shù)量積結(jié)合基本不等式即可．【詳解】由題意得，因?yàn)?，為正?shí)數(shù)，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等．所以選擇A【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的數(shù)量積以及基本不等式，在用基本不等式時(shí)要滿足一正二定三相等．屬于中等題二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】試題分析：∵數(shù)列滿足，且，∴當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，上式也成立，∴．∴．∴數(shù)列的前項(xiàng)的和．∴數(shù)列的前項(xiàng)的和為．故答案為．考點(diǎn)：（1）數(shù)列遞推式；（2）數(shù)列求和.12、【解析】

計(jì)算出抽樣中已安裝寬帶的用戶比例，乘以總?cè)藬?shù)，求得小區(qū)已安裝寬帶的居民數(shù).【詳解】抽樣中已安裝寬帶的用戶比例為，故小區(qū)已安裝寬帶的居民有戶.【點(diǎn)睛】本小題主要考查用樣本估計(jì)總體，考查頻率的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.13、【解析】

根據(jù)題意可求得和的等式相加，求得，進(jìn)而推出，判斷出數(shù)列是以6為周期的數(shù)列，進(jìn)而根據(jù)求出答案。【詳解】將以上兩式相加得數(shù)列是以6為周期的數(shù)列，故【點(diǎn)睛】對于遞推式的使用，我們可以嘗試讓取或，又得一個(gè)遞推式，將兩個(gè)遞推式相加或者相減來找規(guī)律，本題是一道中等難度題目。14、【解析】

利用兩角和的正弦公式化簡函數(shù)表達(dá)式，由此求得函數(shù)的最小正周期.【詳解】依題意，故函數(shù)的周期.故填：.【點(diǎn)睛】本小題主要考查兩角和的正弦公式，考查三角函數(shù)最小正周期的求法，屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】試題分析：求圓錐側(cè)面積必須先求圓錐母線，既然已知體積，那么可先求出圓錐的高，再利用圓錐的性質(zhì)(圓錐的高，底面半徑，母線組成直角三角形)可得母線，，，，．考點(diǎn)：圓錐的體積與面積公式，圓錐的性質(zhì)．16、【解析】

在中，令，可得，可得點(diǎn)在半徑為的圓上，，可得，進(jìn)而可得的最大值．【詳解】∵向量、滿足||＝1，且與的夾角等于，如圖在中，令，，可得可得點(diǎn)B在半徑為R的圓上，1R4，R＝1．則||的最大值為1R＝4【點(diǎn)睛】本題考查了向量的夾角、模的運(yùn)算，屬于中檔題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）3人；（Ⅱ）0.3；（Ⅲ）見解析【解析】

（Ⅰ）對B公司的服務(wù)質(zhì)量不滿意的頻率為，即概率為0.03，易求解．（Ⅱ）共有5名客服不滿意，將每種情況都列出來即可算出全來自于B公司的概率．（Ⅲ）可通過頻率對比，服務(wù)質(zhì)量得分的眾數(shù)，服務(wù)質(zhì)量得70分（或80分）以上的頻率幾個(gè)方面進(jìn)行對比．【詳解】（Ⅰ）樣本中對B公司的服務(wù)質(zhì)量不滿意的頻率為，所以樣本中對B公司的服務(wù)質(zhì)量不滿意的客戶有人．（Ⅱ）設(shè)“這兩名客戶都來自于B公司”為事件M．對A公司的服務(wù)質(zhì)量不滿意的客戶有2人，分別記為，；對B公司的服務(wù)質(zhì)量不滿意的客戶有3人，分別記為，，．現(xiàn)從這5名客戶中隨機(jī)抽取2名客戶，不同的抽取的方法有，，，，，，，，，共10個(gè)；其中都來自于B公司的抽取方法有，，共3個(gè)，所以．所以這兩名客戶都來自于B公司的概率為．（Ⅲ）答案一：由樣本數(shù)據(jù)可以估計(jì)客戶對A公司的服務(wù)質(zhì)量不滿意的頻率比對B公司服務(wù)質(zhì)量不滿意的頻率小，由此推斷A公司的服務(wù)質(zhì)量比B公司的服務(wù)質(zhì)量好．答案二：由樣本數(shù)據(jù)可以估計(jì)A公司的服務(wù)質(zhì)量得分的眾數(shù)與B公司服務(wù)質(zhì)量得分的眾數(shù)相同，由此推斷A公司的服務(wù)質(zhì)量與B公司的服務(wù)質(zhì)量相同．答案三：由樣本數(shù)據(jù)可以估計(jì)A公司的服務(wù)質(zhì)量得70分（或80分）以上的頻率比B公司得70分（或80分）以上的頻率小，由此推斷A公司的服務(wù)質(zhì)量比B公司的服務(wù)質(zhì)量差．答案四：由樣本數(shù)據(jù)可以估計(jì)A公司的服務(wù)質(zhì)量得分的平均分比B公司服務(wù)質(zhì)量得分的平均分低，由此推斷A公司的服務(wù)質(zhì)量比B公司的服務(wù)質(zhì)量差．【點(diǎn)睛】此題考查概率，關(guān)鍵理解清楚頻率分布表和頻率分布直方圖表示的含有，簡單數(shù)據(jù)可通過列表法求概率或者可以組合數(shù)求解，屬于較易題目．18、（1），；（2）真命題，證明見解析；（3）.【解析】

（1）根據(jù)題意直接寫出、、的值，可得出結(jié)果；（2）分和兩種情況討論，找出使得等式成立的正整數(shù)，可得知命題為真命題；（3）先證明出“”是“存在，當(dāng)時(shí)，恒有成立”的充要條件，由此可得出，然后利用定義得出，由此可得出的值.【詳解】（1）根據(jù)題意知，對任意正整數(shù)，為前項(xiàng)、、、中等于的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，因此，，，；（2）真命題，證明如下：①當(dāng)時(shí)，則，，，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，，，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，.綜上所述，命題為真命題；（3）先證明：“”是“存在，當(dāng)時(shí)，恒有成立”的充要條件.假設(shè)存在，使得“存在，當(dāng)時(shí)，恒有成立”.則數(shù)列的前項(xiàng)為，，，，，，后面的項(xiàng)順次為，，，，故對任意的，，對任意的，取，其中表示不超過的最大整數(shù)，則，令，則，此時(shí)，有，這與矛盾，故若存在，當(dāng)時(shí)，恒有成立，必有；從而得證.另外：當(dāng)時(shí)，數(shù)列為，故，則.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列知識的應(yīng)用，涉及到命題真假的判斷，同時(shí)也考查了數(shù)列新定義問題，解題時(shí)要充分從題中數(shù)列的定義出發(fā)，充分利用分類討論思想，綜合性強(qiáng)，屬于難題.19、證明見解析【解析】

先證直線平面，再證平面⊥平面.【詳解】證明:∵是圓的直徑，是圓上任一點(diǎn)，，，平面，平面，，又，平面，又平面，平面⊥平面.【點(diǎn)睛】本題考查圓周角及線面垂直判定定理、面面垂直判定定理的應(yīng)用，考查垂直關(guān)系的簡單證明.20、（1）；（2）【解析】

（1）由二倍角公式，并結(jié)合輔助角公式可得，再利用周期可求出答案；（2）由的范圍，可求得的范圍，進(jìn)而可求出的范圍，從而可求得的值域.【詳解】（1），∴函數(shù)的最小正周期為.（2）∵，∴，∴，∴，∴函數(shù)在區(qū)間的值域?yàn)?【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的恒等變換，考查三角函數(shù)的周期及值域，考查學(xué)生的計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.21、（1）最大值為2，此時(shí)；最小值為－1，此時(shí).（2）【解析】

（1）根據(jù)向量數(shù)量積