線性定常系統(tǒng)的綜合課件

線性定常系統(tǒng)的綜合1.狀態(tài)反饋和輸出反饋2.狀態(tài)反饋系統(tǒng)的能控性和能觀測性3.極點配置4.鎮(zhèn)定問題5.狀態(tài)重構(gòu)和狀態(tài)觀測器6.降階觀測器7.帶狀態(tài)觀測器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)8.解耦問題狀態(tài)反饋和輸出反饋線性定常系統(tǒng)綜合：給定被控對象，通過設(shè)計控制器的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，使系統(tǒng)滿足性能指標(biāo)要求。1狀態(tài)反饋線性定常系統(tǒng)方程為：（1）假定有n個傳感器，使全部狀態(tài)變量均可以用于反饋。（2）其中，K為反饋增益矩陣；V為r維輸入向量。狀態(tài)反饋和輸出反饋則有（3）狀態(tài)反饋的能控性和能觀測性線性定常系統(tǒng)方程為（6）引入狀態(tài)反饋（7）則有（8）狀態(tài)反饋的能控性和能觀測性定理線性定常系統(tǒng)（6）引入狀態(tài)反饋后，成為系統(tǒng)（8），不改變系統(tǒng)的能控性。對任意的K矩陣，均有證明因為滿秩，所以對任意常值矩陣K和

，均有（9）（9）式說明，引入狀態(tài)反饋不改變系統(tǒng)的能控性。但是，狀態(tài)反饋可以改變系統(tǒng)的能觀測性。極點配置定理線性定常系統(tǒng)可以通過狀態(tài)反饋進(jìn)行極點配置的充分必要條件是：系統(tǒng)狀態(tài)完全能控。狀態(tài)反饋（11）線性定常系統(tǒng)（10）狀態(tài)反饋系統(tǒng)方程（12）因為A和b一定，確定K就可以配置系統(tǒng)的極點。極點配置（15）引入狀態(tài)反饋令（16）其中為待定常數(shù)極點配置狀態(tài)反饋系統(tǒng)特征多項式為（17）設(shè)狀態(tài)反饋系統(tǒng)希望的極點為其特征多項式為（18）比較（17）式和（18）式，選擇使同次冪系數(shù)相同。有（19）而狀態(tài)反饋矩陣鎮(zhèn)定問題鎮(zhèn)定問題——非漸近穩(wěn)定系統(tǒng)通過引入狀態(tài)反饋，實現(xiàn)漸近穩(wěn)定（23）定理SISO線性定常系統(tǒng)方程為顯然，能控系統(tǒng)可以通過狀態(tài)反饋實現(xiàn)鎮(zhèn)定。那么，如果系統(tǒng)不能控，還能不能鎮(zhèn)定呢？如果系統(tǒng)不能控，引入狀態(tài)反饋能鎮(zhèn)定的充要條件為：不能控的狀態(tài)分量是漸近穩(wěn)定的。鎮(zhèn)定問題例系統(tǒng)的狀態(tài)方程為試用狀態(tài)反饋來鎮(zhèn)定系統(tǒng)。解矩陣A為對角陣，顯然系統(tǒng)不能控。不能控的子系統(tǒng)特征值為-5，因此，系統(tǒng)可以鎮(zhèn)定。能控子系統(tǒng)方程為鎮(zhèn)定問題引入狀態(tài)反饋其中為了保證系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，設(shè)希望極點為同次冪系數(shù)相等，得狀態(tài)重構(gòu)和狀態(tài)觀測器問題的提出：狀態(tài)反饋可以改善系統(tǒng)性能，但有時不便于檢測。如何解決這個問題？重構(gòu)一個系統(tǒng)，用這個系統(tǒng)的狀態(tài)來實現(xiàn)狀態(tài)反饋。（24）系統(tǒng)方程為（25）重構(gòu)一個系統(tǒng)，該系統(tǒng)的各參數(shù)與原系統(tǒng)相同（24）式減去（25）式（26）狀態(tài)重構(gòu)和狀態(tài)觀測器定理

系統(tǒng)的狀態(tài)觀測器存在的充分必要條件是：系統(tǒng)能觀測，或者系統(tǒng)雖然不能觀測，但是其不能觀測的子系統(tǒng)的特征值具有負(fù)實部。定理線性定常系統(tǒng)的觀測器（30）可任意配置極點的充分必要條件是系統(tǒng)能觀測并且能控。狀態(tài)重構(gòu)和狀態(tài)觀測器例系統(tǒng)方程為要求設(shè)計系統(tǒng)的狀態(tài)觀測器，其特征值為－3、－4、－5。解首先判斷系統(tǒng)的能觀測性系統(tǒng)能觀測，可設(shè)計觀測器。設(shè)：其中，待定希望特征值對應(yīng)的特征多項式降階觀測器1.降階觀測器的維數(shù)定理若系統(tǒng)能觀測，且rankC=m，則系統(tǒng)的狀態(tài)觀測器的最小維數(shù)是(n-m)。因為有m維可以通過觀測y得到，因此有(n-m)維需要觀測。對系統(tǒng)方程采用變換矩陣進(jìn)行線性變換，降階觀測器（31）得到如下形式的系統(tǒng)方程可見可以通過觀測到，需要對維的進(jìn)行估計。因此，降階觀測器的維數(shù)為(n-m)降階觀測器2.降階觀測器存在的條件及其構(gòu)成將（31）式改寫成（32）（33）（34）令于是有(n-m)階的子系統(tǒng)：（35）降階觀測器（37）式代入（36），得由于故（38）因此，是的估計。（39）狀態(tài)圖中帶有狀態(tài)觀測器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)對（43）式進(jìn)行線性變換，得到如下方程（45）（46）帶有狀態(tài)觀測器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)由上式可見，的特征值與的特征值可以分別配置，互不影響。這種的特征值和特征值可以分別配置，互不影響的方法，稱為分離定理。需要注意：的特征值應(yīng)該比的特征值更負(fù)，一般為四倍左右，才能夠保證盡快跟上，正常地實現(xiàn)狀態(tài)反饋。這時傳遞函數(shù)為解耦問題線性定常系統(tǒng)方程為（51）引入狀態(tài)反饋其中K為反饋陣，F(xiàn)為輸入變換矩陣。（52）狀態(tài)反饋系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣為所謂解耦問題，就是尋求適當(dāng)?shù)腒和F矩陣使得狀態(tài)反饋傳遞函數(shù)矩陣為對角陣。解耦問題1關(guān)于的兩個不變量如果為嚴(yán)格正則有理傳遞函數(shù)矩陣，可以表示為如下形式（53）其中，為的第行向量。定義1（54）其中，為的第k個元素分母多項式和分子多項式次數(shù)之差，解耦問題例傳遞函數(shù)矩陣如下，求不變量解對于來說，，因此對于來說，，因此約定：對于為零向量時，解耦問題定義2（55）這是一個m維非零向量。它是這樣構(gòu)造的：對于1×m的行向量，各元素分子多項式中最高次冪的系數(shù)。上例中約定：對于為零向量時，解耦問題2能解耦性判據(jù)定理一個具有傳遞函數(shù)的系統(tǒng)，能用狀態(tài)反饋實現(xiàn)解耦的充分必要條件是以下矩陣非奇異。（56）解耦問題例