平面力系的合成與平衡

平面力系的合成與平衡第1頁(yè)/共25頁(yè)1、平面任意力系

(1)定義：力系中各力的作用線在同一平面內(nèi)，且任意分布，該力系稱為平面任意力系。

§3–1平面匯交力系合成與平衡的概念第2頁(yè)/共25頁(yè)

空間匯交力系空間一般力系空間平行力系第3頁(yè)/共25頁(yè)

（2）特點(diǎn)：

1）力的大小方向任意；

2）力的作用點(diǎn)(包括起點(diǎn)和終點(diǎn)）都在同一平面內(nèi)，即力的作用線在同一平面內(nèi)。2、工程實(shí)例

嚴(yán)格的講，實(shí)際工程中，受上述平面任意力系作用的物體并不多見(jiàn)。只是在求解許多工程問(wèn)題時(shí)，可以把所研究的問(wèn)題加以簡(jiǎn)化，按物體受平面任意力系作用來(lái)處理。如建筑物中的樓板是放置在梁上的，對(duì)梁來(lái)說(shuō)，樓板上的面荷載可以轉(zhuǎn)化為線荷載作用在梁的對(duì)稱平面內(nèi)，梁所受的約束反力也可看成作用在此平面內(nèi)，故梁上作用的力系自然為平面力系。并且這種簡(jiǎn)化處理能與實(shí)際情況足夠接近。

例如：樓面活荷載的轉(zhuǎn)化。第4頁(yè)/共25頁(yè)

平面平行力系

簡(jiǎn)化說(shuō)明：樓面活荷載P（單位N/m)

乘以作用面寬度a（單位m）即成為線荷載

q（單位N/m），作用在梁平面內(nèi)。2

第5頁(yè)/共25頁(yè)（一）共力點(diǎn)的合成

在第一章已經(jīng)介紹了利用平行四邊形法則求兩個(gè)力的合力。當(dāng)要求多個(gè)共力點(diǎn)的合力，也可以此為基礎(chǔ)進(jìn)行求解。如下圖所示，力F1、F2、F3、F4組成交匯于O點(diǎn)的力系。取定比例尺，由力矢長(zhǎng)度表示各力的大小，作出力的多邊形如圖所示。封閉邊AE就確定了他們的合力F。

1、解析法AF2F1F4F3RF1BF2CF3DF4EAR

第6頁(yè)/共25頁(yè)表達(dá)式：F1、F2、F3、F4

為平面匯交力系：力的多邊形規(guī)則：

把各力矢首尾相接，形成一條有向折線段（稱為力鏈）。加上一封閉邊，就得到一個(gè)多邊形，稱為力多邊形。矢量的表達(dá)式：第7頁(yè)/共25頁(yè)A60oPB30oaaC(a)NA

BACD60oNB30oPEPNBNA60o30oHK(c)解：(1)取梁AB作為研究對(duì)象。(4)解出：NA=Pcos30=17.3kN，NB=Psin30=10kN(2)畫出受力圖。(3)應(yīng)用平衡條件畫出P、NA和NB的閉合力三角形。

例題1

水平梁AB中點(diǎn)C作用著力P，其大小等于20kN，方向與梁的軸線成60o角，支承情況如圖(a)所示，試求固定鉸鏈支座A和活動(dòng)鉸鏈支座B的反力。梁的自重不計(jì)。第8頁(yè)/共25頁(yè)幾何法解題步驟：1.取研究對(duì)象；2.畫受力圖；

3.作力多邊形；4.選比例尺；

5.解出未知數(shù)。幾何法解題不足：1.精度不夠，誤差大；

2.作圖要求精度高；

3.不能表達(dá)各個(gè)量之間的函數(shù)關(guān)系。平面匯交力系合成與平衡的另一種方法：解析法。

第9頁(yè)/共25頁(yè)1)、力在坐標(biāo)軸上的投影：結(jié)論：力在某軸上的投影，等于力的模乘以力與該軸正向間夾角的余弦。yb′a′abFOxBFxFy已知合力求分力公式注意：力的投影是代數(shù)量！2、解析法第10頁(yè)/共25頁(yè)

合力R在x軸上投影：F1F2RF3xABCD(b)

推廣到任意多個(gè)力F1、F2、Fn

組成的平面匯交力系，可得：abcd1)、各力在X軸上的投影：第11頁(yè)/共25頁(yè)合力的大小合力的方向根據(jù)合力投影定理得合力作用點(diǎn)：為該力系的匯交點(diǎn)第12頁(yè)/共25頁(yè)

A點(diǎn)的力平行移動(dòng)至B點(diǎn)時(shí)，必須附加一個(gè)相應(yīng)的力偶，這樣才與原P力對(duì)物體作用的效應(yīng)相等。FFF’F”FF’M=FhF’=F’’=F（二）平面任意力系向作用面內(nèi)任一點(diǎn)簡(jiǎn)化第13頁(yè)/共25頁(yè)

力的平移定理：作用于剛體上的力可以平行移動(dòng)至剛體內(nèi)任意一點(diǎn)，欲不改變它對(duì)剛體的作用效應(yīng)，則必須附加一個(gè)相應(yīng)的力偶，此力偶矩等于原力F對(duì)新的作用點(diǎn)之矩。FhF’M第14頁(yè)/共25頁(yè)=

應(yīng)用力線平移定理，可將剛體上平面任意力系中各個(gè)力的作用線全部平行移到作用面內(nèi)某一給定點(diǎn)O

。從而這力系被分解為平面匯交力系和平面力偶系。這種變換的方法稱為力系向給定點(diǎn)O的簡(jiǎn)化。點(diǎn)O稱為簡(jiǎn)化中心。（1）、力系向給定點(diǎn)O的簡(jiǎn)化、簡(jiǎn)化中心F1F3F2F’1F’2F’3平面一般力系F1、F2…Fn

平面匯交力系F1’、F2’…Fn平面力偶系:M1、M2…Mn

F1’=F1F2’=F2Fn’=Fn

簡(jiǎn)化中心0R0

合成合成第15頁(yè)/共25頁(yè)(1)主矢R0

匯交力系F1’、F2’…Fn’的合成結(jié)果為一作用點(diǎn)在點(diǎn)O的力R0,這個(gè)力矢R0稱為原平面任意力系的主矢。2、主矢和主矩R0的大小與方向由原力系各力的矢量和決定，可用力多邊形法則的圖解法求解，或用數(shù)解法求出。

主矢是原力系的合力?第16頁(yè)/共25頁(yè)用數(shù)解法時(shí)，先計(jì)算R0在x軸和y軸上的投影：

(1)主矢R0第17頁(yè)/共25頁(yè)附加力偶系M1、M2…Mn的合成結(jié)果是作用在同平面內(nèi)的合力偶，該力偶的矩用MO代表，稱為原平面任意力系對(duì)簡(jiǎn)化中心O

的主矩。(2)主矩M0主矩M0等于原力系中各力對(duì)簡(jiǎn)化中心之矩的代數(shù)和。第18頁(yè)/共25頁(yè)

主矢R0與主矩

M0合成的結(jié)果得到原力系的合力R

。

(3)合力R

合力R的大小、方向與主矢R0相同，作用線距簡(jiǎn)化中心的垂直距離為：MOOO

AO

A第19頁(yè)/共25頁(yè)主矢和合力是兩個(gè)不同的概念合力是作用在同一點(diǎn)上的各力的矢量和，主矢可以是作用點(diǎn)不同的各力之矢量和。主矢只有大小和方向，沒(méi)有作用點(diǎn)。第20頁(yè)/共25頁(yè)3、平面任意力系對(duì)簡(jiǎn)化中心O的簡(jiǎn)化結(jié)果主矩：主矢：

匯交力系之合力RO

(主矢)，(作用在簡(jiǎn)化中心)

力偶系之合力偶MO(主矩)，(作用在該平面上)（1）主矢的大小與方向取決于原力系中各力的大小和方向，與簡(jiǎn)化中心0的位置無(wú)關(guān)；（2）主矩與簡(jiǎn)化中心0的位置有關(guān)。因此，必須指明對(duì)哪一點(diǎn)的主矩。主矢和主矩是決定平面力系對(duì)剛體作用效應(yīng)的兩個(gè)物理量。第21頁(yè)/共25頁(yè)第22頁(yè)/共25頁(yè)=平面一般力系簡(jiǎn)化結(jié)果的討論

（1）

簡(jiǎn)化為一個(gè)合力偶M0，則原力系無(wú)合力，而只有合力偶矩。此時(shí)主矩與簡(jiǎn)化中心的位置無(wú)關(guān)。（2）力系簡(jiǎn)化成為過(guò)簡(jiǎn)化中心的一個(gè)合力。?

若另選一適當(dāng)點(diǎn)作為簡(jiǎn)化中心，力系能否簡(jiǎn)化為一力偶？不能