分子動理論的平衡態(tài)理論

分子動理論的平衡態(tài)理論第1頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四§2.1分子動理論與統(tǒng)計物理學(xué)熱物理學(xué)的微觀理論是在分子動（理學(xué)）理論（簡稱分子動理論）基礎(chǔ)上發(fā)展起來的。分子動理論方法的主要特點是：它考慮到分子間、分子與器壁間頻繁的碰撞，考慮到分子間有相互作用力，利用力學(xué)定律和概率論來討論分子運動、分子碰撞的詳情其最終及最高目標(biāo)是描述氣體由非平衡態(tài)轉(zhuǎn)入平衡態(tài)的過程。從廣義上來說：統(tǒng)計物理學(xué)是從物質(zhì)微觀結(jié)構(gòu)和相互作用的認(rèn)識出發(fā)，采用概率統(tǒng)計的方法來說明或預(yù)言由大量粒子組成的宏觀物體的物理性質(zhì)。按這種觀點，分子動理論也應(yīng)歸于統(tǒng)計物理學(xué)的范疇。第2頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四對于初學(xué)者，重點應(yīng)掌握基本物理概念

處理問題的物理思想及基本物理方法，

熟悉物理理論的重要基礎(chǔ)——基本實驗事實。

在某些問題（特別是一些非平衡態(tài)問題）中可暫不去追究理論的十分嚴(yán)密與結(jié)果的十分精確。

因為相當(dāng)簡單的例子中常常包含基本物理方法中的精華，

它常常能解決概念上的困難并能指出新的計算步驟及近似方法第3頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四§2.2概率論的基本知識在§1.6中討論氣體分子碰壁數(shù)及氣體壓強公式時,曾簡單地認(rèn)為每一分子均以平均速率運動，并以此來替代相應(yīng)物理量的統(tǒng)計平均，這里的近似很粗糙實際的情況是粒子幾乎有所有可能的速度，只是不同速度的粒子所占比例不一樣而已，因而解決上述問題的關(guān)鍵是要找到分子按速率的概率分布律。本節(jié)將介紹有關(guān)概率及概率分布函數(shù)的基本知識。第4頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四一、伽爾頓板實驗有關(guān)概率統(tǒng)計的最直觀的演示是伽爾頓板實驗，如圖（a）所示。無法使小球落入漏斗內(nèi)的初始狀態(tài)完全相同。因而小球落入那一小槽完全是隨機的。第5頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四一、伽爾頓板實驗只要小球總數(shù)足夠多（N∞），則每一小槽內(nèi)都有小球落入，且第i個槽內(nèi)小球數(shù)Ni

與小球總數(shù)N（N=∑Ni）之比有一定的分布。若板中各釘子是等距離配置的，則其分布曲線如圖2.1（b）所示。其分布曲線對稱于漏斗形入口的豎直中心軸。第6頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四一、伽爾頓板實驗若重復(fù)做實驗[甚至用同一小球投入漏斗N次（N∞）]，其分布曲線都相同。由此可見，雖然各小球在與任一釘子碰撞后向左還是向右運動都是隨機的，由很多偶然因素決定，但最終大量小球的總體在各槽內(nèi)的分布卻有一定的分布規(guī)律，這種規(guī)律由統(tǒng)計相關(guān)性所決定

第7頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四二、等概率性與概率的基本性質(zhì)（一）概率的定義在一定條件下，如果某一現(xiàn)象或某一事件可能發(fā)生也可能不發(fā)生，我們就稱這樣的事件為隨機事件。與之相對應(yīng)的是確定事件。隨機事件：擲骰子哪一面朝上完全是隨機的，受到許多不能確定的偶然因素的影響，如生男生女、如“天有不測風(fēng)云、人有旦夕禍福”。確定事件：

標(biāo)況下，水在100攝氏度會必然會沸騰。太陽必然會東升西落雞蛋孵出來的必然不是鴨子等等第8頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四二、等概率性與概率的基本性質(zhì)（一）概率的定義但是偶然中卻有必然：如多次投擲硬幣出現(xiàn)正反面的概率為50%男女嬰兒出生比為22：21（世界各地均如此）大數(shù)定律：當(dāng)試驗次數(shù)很大時，隨機事件出現(xiàn)的頻率會穩(wěn)定在某個數(shù)值P附近擺動，這個穩(wěn)定的數(shù)值P稱為隨機事件的概率。概率：若在相同條件下重復(fù)進(jìn)行同一個試驗（如擲骰子），在總次數(shù)N足夠多的情況下（即N∞），計算所出現(xiàn)某一事件（如哪一面向上）的次數(shù)NL，則其百分比即該事件出現(xiàn)的概率

:第9頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四（二）等概率性在擲骰子時，一般認(rèn)為出現(xiàn)每一面向上的概率是相等的。若在某一面上鉆個小孔，在小孔中塞進(jìn)些鉛，然后再封上，或者通過一些其他磁鐵等，則我們預(yù)料情況會不同由此可總結(jié)出一條基本原理：等概率性——在沒有理由說明哪一事件出現(xiàn)概率更大些（或更小些）情況下，每一事件出現(xiàn)的概率都應(yīng)相等。第10頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四思考題一：抽簽的幾率和抽簽順序是否有關(guān)。十個人中隨機挑選一人獲得某個機會，寫十張紙條（其中只有一張有記號），每人拿走一張，問，先抽的人中的幾率大還是后抽的人機會大？有人說是先抽的人，因為先抽的人紙條都在，如果后抽，可能紙條就被先抽走了也有人說是后抽的人，先抽的人的幾率是10選1，如果先抽的人沒抽著，后抽的人的幾率就是9選1，甚至更高也有人認(rèn)為這和抽簽順序無關(guān)，因為假如大家抽完后都不看結(jié)果，等所有的人都拿到以后再看，每個人的概率都是10選1到底如何？第11頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四思考題二：班級同學(xué)中出現(xiàn)二個人生日在同一天（不管出生年份）的概率有多大？或者說，如果你的所有朋友在他們生日的時候都會邀請你的話，那么你在某一天接到兩份生日宴會邀請的概率有多大？0.4642（24），0.09738（40）第12頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四（三）概率的基本性質(zhì)（1）概率相加法則：n個互相排斥事件發(fā)生的總概率是每個事件發(fā)生概率之和，簡稱概率相加法則。所謂n個互相排斥（簡稱互斥）的事件是指，出現(xiàn)事件1，就不可能同時出現(xiàn)事件2，3…n，同樣對2，3…n事件也是如此。如投擲一枚硬幣，要么出現(xiàn)正面要么出現(xiàn)反面如投擲色子，六面出現(xiàn)的概率加一起為1如：明天要是不下雨的話很可能就會繼續(xù)天晴，當(dāng)然，理論上也不排除多云轉(zhuǎn)陰天的可能。概率相加規(guī)律適用于:或者……,或者……..(要么……,要么……..)如：投擲一次色子，出現(xiàn)1或者6的概率是多少？1/6+1/6(概率相加)第13頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四（三）概率的基本性質(zhì)（2）概率相乘法則：同時或依次發(fā)生的，互不相關(guān)（或相互統(tǒng)計獨立）的事件發(fā)生的概率等于各個事件概率之乘積，簡稱概率相乘法則。關(guān)鍵要兩次事件完全獨立。如：連續(xù)兩次投擲硬幣，連續(xù)出現(xiàn)相同一面朝上的概率是多大？1/2乘以1/2概率相乘規(guī)律適用于:即……,又……..

六連號的概率：100個號碼中隨機抽取6個號碼，抽取的六個號碼連在一起的概率是多少？95/C6

100第14頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四三、平均值及其運算法則

統(tǒng)計分布的最直接的應(yīng)用是求平均值。以求平均年齡為例，N個人的年齡平均值就是N個人的年齡之和除以總?cè)藬?shù)N。求年齡之和可以將人按年齡分組，設(shè)ui為隨機變量（例如年齡），其中出現(xiàn)（年齡）u1值的次（或人）數(shù)為N1，u2值的次（或人）數(shù)為N2……，則該隨機變量（年齡）的平均值為

第15頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四兩式均是求平均值公式，第一式通過求和來求平均值的，第二式是利用概率分布來求平均值的。第二式在科學(xué)研究中更常見。對于更復(fù)雜的函數(shù)，設(shè)f（u）是隨機變量u的函數(shù)，則其平均值為：因為Ni/N是出現(xiàn)ui值的百分比，當(dāng)N

時該百分比就是出現(xiàn)ui值的概率Pi，故第16頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四平均值的性質(zhì)(2)若隨機變量u和隨機變量v相互統(tǒng)計獨立，且f(u)是u的某一函數(shù)，g（v）是v的另一函數(shù)，則：

（1）若C為常數(shù)，則應(yīng)該注意到，以上討論的各種概率都是歸一化的，即：第17頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四四、均方偏差

隨機變量會偏離平均值，即：一般其偏離值的平均值為零，但均方偏差不為零。定義相對均方根偏差：方均根/平均值，為：當(dāng)ui所有值都等于相同值時:可見相對均方根偏差表示了隨機變量在平均值附近分散開的程度，也稱為漲落、散度或散差。平均值表示綜合國力，均方偏差更能反映貧富差距第18頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四五、概率分布函數(shù)

上面所討論的隨機變量只能取離散值。實際變量很多是連續(xù)變化，如粒子的空間位置或粒子的速度。在隨機變量取連續(xù)值時，上述求平均值公式中Pi

也是連續(xù)分布的。當(dāng)然，測量儀器總有誤差，測不出分子速率恰好為100m/s的分子數(shù)是多少，若儀器的誤差范圍為1m/s，則只能測出分子速率從99.5m/s到100.5m/s的分子數(shù)是多少。我們不能講分子速率恰好處于100m/s的概率，而只能講分子速率介于某一范圍（例如99m/s~101m/s）內(nèi)的概率。打靶試驗的例子第19頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四子彈沿靶板的分布實驗圖是直角坐標(biāo)示靶板上的分布把靶平面劃分出很多寬為x的窄條，x的寬度比黑點的大小要大得多。數(shù)出在x到x+Δx范圍窄條的黑點數(shù)ΔN，它除以靶板上總的黑點數(shù)N，得到的百分比ΔN/N就是黑點處于x到x+Δx范圍內(nèi)這一窄條的概率。然后以N/(Nx)為縱坐標(biāo)，以x為橫坐標(biāo)，畫出一根根柱狀條形。則每個柱形的高度為N/(Nx)，寬度為x，則豎條面積為ΔN/N，就是子彈處在x到x+Δx內(nèi)所占的百分比，即概率這樣的圖就叫直方圖第20頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四若令x0，就得到一條連續(xù)曲線，這時的縱坐標(biāo)f(x)稱為黑點沿x方向分布的概率密度函數(shù)，表示黑點沿x方向的相對密集程度。而黑點處在處于x到x+dx范圍內(nèi)的概率為：

f（x）dx由積分的面積意義知，黑點處于x1到x2范圍內(nèi)的概率為：顯然，黑點處在0到無窮大的概率為：此即歸一化條件第21頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四類似地，如果是二維情況，可再把靶板沿y方向劃分為若干寬為y

的窄條,數(shù)出每一窄條中的黑點數(shù)，求出f(y)=N/（Ny），并令y0

可得到黑點處于y到y(tǒng)+dy范圍內(nèi)的概率為f（y）dy。顯然，黑點處于x到x+dx，y到y(tǒng)+dy范圍內(nèi)的概率就是圖中打上斜線的范圍內(nèi)的黑點數(shù)與總黑點數(shù)之比。f（x，y）稱為黑點沿平面位置的概率密度分布函數(shù)，它表示在這一區(qū)域內(nèi)黑點相對密集的程度。f(x，y)dxdy稱為沿平面位置的概率分布函數(shù)要求出處于x1到x2、y1

到y(tǒng)2內(nèi)的概率，則對x、y積分:第22頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四有了概率分布函數(shù)就可求平均值。例如，黑點的x方向坐標(biāo)偏離靶心（x=0）的平均值為:x的某一函數(shù)F（x）的平均值為:第23頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四§2.3麥克斯韋速率分布對于處在確定平衡態(tài)系統(tǒng)的分子：平均速率恒定。但實際上：分子速率取各種大小的都有。且同一分子在不同時間速率也會變化。不過，對于處在確定平衡態(tài)的分子，雖然每個分子在某一瞬時的速度大小、方向都在隨機地變化著，但是大多數(shù)分子之間存在一種統(tǒng)計相關(guān)性，這種統(tǒng)計相關(guān)性表現(xiàn)為：平均說來氣體分子的速率（指速度的大?。┙橛趘到v+dv的概率（即速率分布函數(shù)）是不會改變的

第24頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四一、麥克斯韋速率分布

（Maxwellspeeddistribution）早在1859年，英國物理學(xué)家麥克斯韋利用平衡態(tài)理想氣體分子在三個方向上作獨立運動的假設(shè)導(dǎo)出了麥克斯韋速率公布，其表達(dá)式如下：其中k為玻爾茲曼常量(Boltzmannconstant)，m、T分別為分子質(zhì)量和溫度.第25頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四圖右陰影面積表示：分子速率介于v1

到內(nèi)分子數(shù)與總分子數(shù)之比，其數(shù)值應(yīng)該從下面的積分求出：

圖左斜條狹長區(qū)域面積表示：速率介于v到v+dv分子數(shù)與總分子數(shù)之比，此即麥克斯韋速率分布:第26頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四計算積分時，可利用附錄2-1中的積分公式：并令=m/2kT，則：說明麥克斯韋速率分布是歸一化的。第27頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四一些定積分公式：第28頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四關(guān)于麥克斯韋分布說明幾點：（1）麥克斯韋分布適用于平衡態(tài)的氣體。在平衡狀態(tài)下氣體分子密度n及氣體溫度都有確定數(shù)值，故其速率分布也是確定的，它僅是分子質(zhì)量及氣體溫度的函數(shù)，其分布曲線隨分子質(zhì)量或溫度的變化趨勢示于圖。（2）因為v2是一增函數(shù)，exp(-mv2/2kT)是一減函數(shù)，增函數(shù)與減函數(shù)相乘得到的函數(shù)將在某一處取極值。此極大值所對應(yīng)的速率為最概然速率（也稱最可幾速率），以vp表示。第29頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四(3)

麥克斯韋分布本身是統(tǒng)計平均的結(jié)果，會有漲落。但當(dāng)粒子數(shù)為大數(shù)時，其相對均方根偏差可以忽略。(4)

記住麥克斯韋速率分布的函數(shù)形式為：由歸一化可求(5)

量綱分析記公式:首先，e指數(shù)上量綱應(yīng)為1，而mv2/2與kT均是能量的量綱其次，當(dāng)v

時，f（v）應(yīng)趨于零，e指數(shù)上應(yīng)為負(fù)，由此可見其指數(shù)因子為：再次，概率函數(shù)應(yīng)為無量綱，v2dv為v的三次方量綱，因此系數(shù)A呈v-3量綱。而v2

量綱與2kT/m的量綱相同，所以A中應(yīng)有(m/2kT)3/2

因子。第30頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四理想氣體分子的平均速率、均方根速率、最概然速率平均速率：(2)均方根速率：(3)最概然速率Vp:三個速率均有此特征：m越小或T越大，三速率越大。結(jié)果與從得到的完全相同。第31頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四（4）三種速率之比：

它們?nèi)咧g相差不超過23%，而以均方根速率為最大在§1.6理想氣體分子碰撞數(shù)及理想氣體壓強公式證明中曾用到近似條件：其偏差僅8.5%，比較小，但處理簡單第32頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四有關(guān)例題：[例1]試求氮分子及氫分子在標(biāo)準(zhǔn)狀況下的平均速率。[解]：（1）氮分子平均速率（2）氫分子平均速率

以上計算表明，除很輕的元素如氫、氦之外，其它氣體的平均速率一般為數(shù)百米的數(shù)量級第33頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四[例2]試說明下列各式的意義：[例3]

如圖所示為麥克斯韋速率分布曲線，圖中A、B兩部分面積相等，問V0的含義。V0是不是表示平均速率？V0AB第34頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四二、分子射線束實驗此處，簡單講述本節(jié)第一部分的分子束速率分布。德國物理學(xué)家斯特恩（Sterm）最早于1920年做了分子射線束實驗以測定分子射線束中的分子速率分布曲線。此處介紹朗繆爾（Langmuir）的實驗顯然，分子束中能穿過第一個凹槽的分子一般穿不過第二個凹槽，除非它的速率v滿足如下關(guān)系：第35頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四只要調(diào)節(jié)不同的旋轉(zhuǎn)角速度，就可以從分子束中選擇出不同速率的分子來。更確切些說，因為凹槽有一定寬度，故所選擇的不是恰好某一速率大小，而是某一速率范圍Δv內(nèi)的分子數(shù)。若在接收屏上安上能測出單位時間內(nèi)透過的分子數(shù)ΔN的探測器，我們就可利用這種實驗裝置測出分子的速率從零到無窮大范圍內(nèi)的分布情況。與黑點在靶板上的分布相類似，我們以ΔN/NΔv為縱坐標(biāo)（其中N是單位時間內(nèi)穿過第一個圓盤上的凹槽的總分子數(shù)），以分子的速率v為橫坐標(biāo)作一圖形，如圖所示。第36頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四分子束速率分布圖線圖（a）中每一細(xì)長條的面積均表示單位時間內(nèi)所射出的分子束中，分子速率介于該速率區(qū)間的概率[ΔN/(NΔv)]v其中Δv=10m·s-1。在v到v+dv速率區(qū)間內(nèi)的細(xì)長條的面積就表示分子速率介于v到v+dv區(qū)間范圍內(nèi)的概率:

注意：分子束速率分布函數(shù)并不就是分子源中的麥克斯韋速率分布，為什么？見P78當(dāng)Δv0時，即得一條光滑的曲線，稱為分子束速率分布曲線。其縱坐標(biāo)為，稱為分子束速率分布概率密度函數(shù)。第37頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四§2.4麥克斯韋速度分布

前面指出，麥克斯韋其實是先導(dǎo)出速度分布，然后再從速度分布得到速率分布的。本節(jié)中介紹麥克斯韋速度分布，為了說明速度分布的含義，先介紹速度空間的概念。

一、速度空間（1）什么是“速度空間”？以分子的速度沿x,y,z軸的投影分量vx、vy、vz為坐標(biāo)的坐標(biāo)系稱為直角坐標(biāo)表示的速度空間。注意：速度空間是人們想像中的空間坐標(biāo)，所描述的不是分子的空間位置，其中的矢量表示速度的大小與方向。第38頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四（2)什么叫速度空間中的“代表點”？在速度空間中，把分子的速度矢量表示出來，并且把所有分子速度矢量的起始點都平移到公共原點O上。平移后，僅以矢量箭頭的端點表示這一矢量，而把矢量符號抹去。這樣的點稱為代表點。如圖中的P點所示。

第39頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四速度空間中代表點分布與靶板上靶點分布類似下中圖，靶點位于x到x+dx，y到y(tǒng)+dy范圍內(nèi)的概率為：

f（x，y）dxdy其中dxdy為這一區(qū)域大小，f（x，y）是黑點分布的概率密度。第40頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四在三維速度空間中，在vx

到vx+dvx，vy到vy+dvy，vz到vz+dvz區(qū)間內(nèi)劃出一個體積為dvxdvydvz的微分元，如圖所示。數(shù)出在這微分元中的代表點的數(shù)目dN（vx、vy、vz），并把稱為坐標(biāo)為vx、vy、vz處的麥克斯韋速度分布概率密度，它表示在dvxdvydvz小體積元中代表點的相對密集程度。第41頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四問1：速度空間中處在厚為dvx

無限大平板中的概率？即：N個分子中速度x分量落在vx

到vx+dvx范圍內(nèi)而vy,vz在任意范圍內(nèi)的分子數(shù)dN（vx）是多少？在速度空間中劃出一個垂直于vx軸的厚度為dvx的無窮大平板，如圖所示。不管速度的y、z分量如何，只要速度x分量在vx

到vx+dvx范圍內(nèi)，則所有這些分子的代表點都落在此很薄的無窮大平板中第42頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四設(shè)此無窮大平板中代表點的數(shù)目為dN（vx），則dN（vx）/N表示速度處于vx

到vx+dvx而vy、vz為任意值范圍內(nèi)的分子所占的概率。這一概率與板的厚度dvx成比例，令：

dN（vx）/N=f(vx)dvx稱分子x方向速度分量概率分布函數(shù)同樣可分別求出垂直于vy軸及vz軸的無窮大薄平板中代表點數(shù)dN（vy）及dN（vZ）,則有：dN（vy）/N=f(vy)dvy

dN（vz）/N=f(vz)dvz分別表示y及z方向速度分量的概率分布函數(shù)。根據(jù)分子混沌性假設(shè)，分子速度沒有擇優(yōu)取向，故：f（vx）、f（vy）、f（vz）應(yīng)具有相同形式。第43頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四問2：速度空間中處在截面積為dvxdvy的無窮長方條中的概率

即：分子速率介于vx

到vx+dvx，vy到vy+dvy，而vz在任意范圍內(nèi)的分子數(shù)dN（vx，vy）是多少？顯然這些分子的代表點都落在一根平行于vz軸、截面積為dvxdvy的無窮長的方條中。

因為分子落在垂直于dvx軸的平板內(nèi)的概率是f（vx）dvx，分子落在垂直于vy軸的平板內(nèi)的概率是f（vy）dvy由相互獨立的同時事件概率相乘法則可知，分子落在方柱體內(nèi)的概率為方柱體內(nèi)代表點數(shù)dN（vx，vy）與總分子數(shù)N的比值：

第44頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四即：分子速度分量處于vx

到vx+dvx，vy

到vy+dvy，vz到vz+dvz范圍內(nèi)的概率是多少？平板與柱體相交截得一體積為dvxdvydvz的小立方體，計算出在小立方體中的代表點數(shù)dN（vx、vy、vz），而dN（vx、vy、vz）/N就是所要求的概率因為vx，vy，vz相互獨立，故：dN（vx、vy、vz）/N=f(vx)dvx·f(vy)dvy·f(vz)dvz

顯然，速度分布概率密度f（vx，vy，vz）是分子分別按速度的x、y、z方向分量分布的概率密度f(vz)、f(vy)、f(vz)的乘積。分子處于速度空問任一微小范圍dvxdvydvz內(nèi)的概率是f（vx，vy，vz）與dvxdvydvz的乘積。

問3：速度空間中處在體積為dvxdvydvz中的概率

第45頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四二、麥克斯韋速度分布（Maxwellvelocitydistribution）

麥克斯韋最早用概率統(tǒng)計的方法導(dǎo)出了理想氣體分子的速度分布，這一分布可表示為：因為f（vx

，vy，vz)=f(vx)dvx·f(vy)dvy·f(vz)dvz，故麥克斯韋速度分布在速度分量上的表達(dá)式為：其中i可分別代表x、y、z。第46頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四若要求出分子速度在vx

到vx+dvx內(nèi)，而vy，vz任意的分子數(shù)dN(vx),則需要對vy、vz全空間積分：利用定積分公式可知上式中的兩個積分都是1，因此可得：這就是前面我們得到的結(jié)論。第47頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四速度分量x的分布曲線如圖所示：曲線關(guān)于縱軸對稱。圖上斜線部分的面積即為分子速度沿x方向的分量在vx

到vx+dvx，而vyvz任意的分子出現(xiàn)的概率：注意：麥克斯韋速度分布律推導(dǎo)過程中沒有考慮氣體分子間的相互作用，故它僅適用于平衡態(tài)的理想氣體。思考：分子質(zhì)量為m溫度為T的氣體處于熱平衡，試求：第48頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四詹姆斯·克拉克·麥克斯韋：（JamesClerkMaxwell）臺譯馬克士威，1831年6月13日－1879年11月5日），英國理論物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家。經(jīng)典電動力學(xué)的創(chuàng)始人，統(tǒng)計物理學(xué)的奠基人之一。麥克斯韋被普遍認(rèn)為是對二十世紀(jì)最有影響力的十九世紀(jì)物理學(xué)家。他對基礎(chǔ)自然科學(xué)的貢獻(xiàn)僅次于艾薩克·牛頓、艾爾伯特·愛因斯坦。1931年，愛因斯坦在麥克斯韋百年誕辰的紀(jì)念會上，評價其建樹“是牛頓以來，物理學(xué)最深刻和最富有成果的工作。”第49頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四（一）相對于vp的速度分量分布令ux=vx/vp，vp=(2KT/m)1/2為最概然速率，則上式可以變換為：三、相對于vp

的速度分量分布與速率分布誤差函數(shù)

若要求出分子速度x分量小于某一數(shù)值的所有分子數(shù)所占的比率，則可對上式積分：第50頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四在概率論和數(shù)理統(tǒng)計中，定義下式為誤差函數(shù)erf(x)：它的數(shù)值可以查表：注意：將速度分量表示成相對于最概然速率的形式，可以得到無量綱的誤差函數(shù)。誤差函數(shù)有表可查，這樣有利于在實際中處理數(shù)據(jù)第51頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四[解]首先求出273K時氮氣分子（摩爾質(zhì)量Mm=0.028kg）的最概然速率：[例2.2]

試求在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下氮氣分子速度的x分量小于800m·s-1的分子數(shù)占全部分子數(shù)的百分比.由表2.1查得erf（2）=0.995，故這種分子所占百分比為=49.8%。第52頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四（二）相對于vp的麥克斯韋速率分布

若令，可將麥克斯韋速率分布表示為：利用分步積分，可求得在0到v范圍內(nèi)的分子數(shù)為：例：問速率在區(qū)間vp到1.01vp內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率？第53頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四四、從麥克斯韋速度分布導(dǎo)出速率分布

（一）、用極坐標(biāo)表示射擊點分布由于速率是速度矢量的大小，因此我們用極坐標(biāo)來表示射擊點的分布。若用相等的△r為間隔，在靶板上畫出很多個同心圓，數(shù)出每個圓環(huán)中的黑點數(shù)△N。以△N/N△r為縱坐標(biāo)，r為橫坐標(biāo)畫出豎條，如右圖所示。令△r0，得到光滑曲線，它表示離靶心不同距離處存在黑點的概率第54頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四（二）、氣體分子的速率分布所有分子速率介于v到v+dv范圍內(nèi)的分子的代表點都落在以原點為球心、v為半徑、厚度為dv的一薄層球殼中，如圖所示。根據(jù)分子混沌性假設(shè)，氣體分子速度沒有擇優(yōu)取向，在各個方向上應(yīng)該是等概率的，說明代表點的數(shù)密度D是球?qū)ΨQ的，D僅是離開原點的距離v的函數(shù)。設(shè)代表點的數(shù)密度為D（v），在球殼內(nèi)的代表點數(shù)dNv應(yīng)是D（v）與球殼體積的乘積第55頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四在麥克斯韋速度分布中已指出，在速度空間中，在速度分量vx、vy、vz附近的代表點數(shù)密度是Nf（vx、vy、vz），即此處的D（v），故有：將上式代入，可以得到這就是書上的Eq.(2.13)—麥克斯韋速率分布.第56頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四§2.6外力場中自由粒子的分布：玻爾茲曼分布

按照分子混沌性假設(shè)，處于平衡態(tài)的氣體其分子數(shù)密度n應(yīng)處處相等，但這僅在無外力場條件下成立。如果分子受到重力場、電磁場等作用，氣體分子數(shù)密度將會有一定的空間分布真實大氣的運動千變?nèi)f化，因而大氣壓強的變化也十分復(fù)雜。為研究方便，現(xiàn)假設(shè)大氣是等溫的且處于平衡態(tài)，則大氣壓強如何隨高度變化？（一）等溫大氣壓強公式考慮在大氣垂直高度上z到z+dz，面積為A的一薄層氣體，該氣體受力平衡的條件是：第57頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四利用理想氣體狀態(tài)方程PVm=RT和物體的密度公式可得=Mm/Vm=pMm/RT，代入dp=-(z)gdz=-(pMm/RT)gdz=-(pmNA/RT)gdz=-(pm/kT)gdz,得：dp/p=-mg/(kT)dz，即：此處假設(shè)大氣溫度處處相等，重力加速度g不隨高度變。其中p（0）及p（z）分別為高度0及z處大氣壓強，記住m/k=Mm/R。由p=nkT，可把上式改寫為氣體分子數(shù)密度隨高度分布的公式：第58頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四(二)等溫大氣標(biāo)高此H稱為等溫大氣標(biāo)高。物理含義：

（1）在高度z=H處的大氣壓強為z=0處大氣壓強的1/e=0.37倍。（2）如果把所有大氣分子都壓縮為環(huán)繞地球表面且密度與海平面處(z=0)密度相等的一層均勻大氣層，則這一層大氣的厚度就是H（為什么？）。對于地球上的大氣而言，常溫下T=300K，估算一下H=RT/Mmg的值大約是8.8千米因指數(shù)上量綱為1，故中的RT/Mmg具有高度的量綱。定義物理量H：第59頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四注意：1.前面的計算都基于不同高度處，大氣溫度處處相等的假設(shè)，實際并不是2.前面的計算基于不同地方、不同高度處，重力加速度g處處相同的假設(shè)，實際不是。3.大氣標(biāo)高是粒子按高度分布的特征量，反映的是分子受熱運動與重力作用的矛盾，他們相互協(xié)調(diào)形成穩(wěn)定的大氣壓強分布。如果熱運動突然停止，所有大氣分子將會像砂粒一樣落到地面！

也可以想象，如果地球溫度高到某一程度，沙漠中的沙子也會如大氣分子一樣，在熱運動和重力的雙重作用下，形成一層沙的“空氣層”！！第60頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四三、玻爾茲曼分布（Bortzmanndistribution）

等溫大氣重力場中分布公式為：

該公式的指數(shù)上是重力勢能與kT之比的負(fù)值，而麥克斯韋速度分布公式為其指數(shù)則是粒子動能與kT之比的負(fù)值，它們的分布均是按照粒子能量的分布，都有一個稱為“玻爾茲曼因子”的因子，我們把具有玻爾茲曼因子的分布稱為玻爾茲曼分布

第61頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四表示在溫度T時，粒子處于能量差為1-2這兩種不同狀態(tài)上的粒子數(shù)密度之比。這不同狀態(tài)可以是：在重力勢能的兩種不同狀態(tài)；在分子動能的兩種不同狀態(tài)；粒子慣性離心力勢能下的不同狀態(tài)等設(shè)在溫度為T的系統(tǒng)中，處于粒子能量為1狀態(tài)的粒子數(shù)密度為n1,處于粒子能量為2

狀態(tài)的粒子數(shù)密度為n2

。則玻爾茲曼分布為：玻爾茲曼分布表示：粒子處于能量相同狀態(tài)上的概率相同；處于能量不同狀態(tài)的概率不同，而處于高能量狀態(tài)上的概率反而小第62頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四注意：玻爾茲曼分布是玻爾茲曼于1868年在推廣麥克斯韋速度分布時建立的平衡態(tài)能量分布律玻爾茲曼分布是一種普遍的規(guī)律：對于處于平衡態(tài)的氣體中的原子、分子、布朗粒子，以及液體、固體中的很多粒子，一般都可應(yīng)用玻爾茲曼分布，只要粒子之間相互作用很小而可忽略。由玻爾茲曼分布還可以給出溫度的另一種表示，在其中會出現(xiàn)負(fù)溫的概念，而激光則只能在負(fù)溫系統(tǒng)中產(chǎn)生。有趣的是，此處的負(fù)溫度不是說溫度真的比絕對零度還低，相反它的溫度比無窮大溫度還要高！有興趣的同學(xué)可以閱讀書中的選讀教材。思考：麥克斯韋分布和玻爾茲曼分布的聯(lián)系和區(qū)別是？第63頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四一、理想氣體速度分量上的平均平動動能處于平衡態(tài)的理想氣體，它的每個分子的平均平動動能在§1.6.4中已給出：由于理想氣體熱運動沿各分量無擇優(yōu)取向，故：這說明在理想氣體中，x、y、z三個方向的平均平動動能均分，為kT/2§2.7能量均分定理

第64頁，共73頁，2023年