江蘇省重點(diǎn)中學(xué)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期3月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題及參考答案

-2023學(xué)年高二下學(xué)期3月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是最符合題意的．1．已知空間向量，，若與垂直，則等于（）A． B． C． D．2．在的展開式中，的系數(shù)為（）A．60 B．15 C．120 D．303．已知函數(shù)，，則實(shí)數(shù)（）A．4 B．3 C．2 D．14．已知，，，若，，三向量共面，則實(shí)數(shù)等于（）A．1 B．2 C．3 D．45．李中水上森林公園原為荒灘，經(jīng)過治理，成為江蘇省最大的人工生態(tài)林。園內(nèi)栽種了10萬余株水杉、池杉等品種樹木，垛與垛間的夾溝里魚游蝦戲。這里是丹頂鶴、黑鸛、貓頭鷹、灰鷺、蒼鷺、白鷺等候鳥的樂園。游客甲與乙同時(shí)乘竹筏從碼頭沿下圖旅游線路游玩。甲將在二月藍(lán)花海之前的任意一站下竹筏，乙將在童話國之前的任意一站下竹筏，他們都至少坐一站再下竹筏，則甲比乙后下的概率為（）A． B． C． D．6．若函數(shù)在上有小于0的極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．7．據(jù)說，笛卡爾擔(dān)任瑞典一小公國的公主克里斯蒂娜的數(shù)學(xué)老師，日久生情，彼此愛慕，其父國王知情后大怒，將笛卡爾流放回法國，并軟禁公主，笛卡爾回法國后染上黑死病，連連給公主寫信，死前最后一封信只有一個(gè)公式：國王不懂，將這封信交給了公主，公主用笛卡爾教她的極坐標(biāo)知識，畫出了這個(gè)圖形“心形線”．明白了笛卡爾的心意，登上了國王寶座后，派人去尋笛卡爾，其逝久矣。某同學(xué)利用GeoGebra電腦軟件將，兩個(gè)畫在同一直角坐標(biāo)系中，得到了如右圖“心形線”．觀察圖形，當(dāng)時(shí)，的導(dǎo)函數(shù)的圖像為（）A．B． C．D．8．已知，，，則，，的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．下列命題為真命題的是（）A．展開式的常數(shù)項(xiàng)為20 B．被7除余1C．展開式的第二項(xiàng)為 D．被63除余110．如圖所示，在直三棱柱中，底面是以為直角的等腰直角三角形，，，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，要使平面，則的值可能是（）A． B． C． D．11．已知函數(shù)，，則（）A．在上單調(diào)遞增 B．存在，使得函數(shù)為奇函數(shù)C．函數(shù)有且僅有2個(gè)零點(diǎn) D．任意，12．下列說法正確的是（）A．空間有10個(gè)點(diǎn)，其中任何4點(diǎn)不共面，以每4個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)作1個(gè)四面體，則一共可以作210個(gè)不同的四面體B．甲、乙、丙3個(gè)人值周，從周一到周六，每人值2天，但甲不值周一，乙不值周六，則可以排出24種不同的值周表C．從0，1，2，…，9這10個(gè)數(shù)字中選出5個(gè)不同的數(shù)字組成五位數(shù)，其中大于13000的共有26543個(gè)D．4個(gè)不同的小球放入編號為1，2，3，4的4個(gè)盒子中，恰有1個(gè)空盒的放法共有144種三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．（請將所有填空題答案填到答題卡的指定位置中．）13．_________．（用數(shù)字作答）14．函數(shù)，的極值點(diǎn)為，則_________．15．如圖，正方形、的邊長都是1，而且平面、互相垂直，點(diǎn)在上移動(dòng)，點(diǎn)在上移動(dòng)，若，則的長的最小值為_________．16．設(shè)實(shí)數(shù)，若不等式恰好有三個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_________．四、解答題17．（1）解不等式．（2）若，求正整數(shù)．18．如圖所示，四棱錐中，，，，平面平面．（1）求證：平面平面；（2）若點(diǎn)在線段上，且，若平面與平面所成銳二面角大小為，求的值．19．請從下列三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面已知條件中的橫線上，并解答問題．①第2項(xiàng)與第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之比是；②第2項(xiàng)與第3項(xiàng)的系數(shù)之比的絕對值為；③展開式中有且只有第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大．已知在的展開式中，___________．（1）求展開式中的常數(shù)項(xiàng)，并指出是第幾項(xiàng)；（2）求展開式中的所有有理項(xiàng)．20．如圖所示，平面，四邊形為直角梯形，四邊形ADFE為矩形，，．（1）記平面平面，求證：平面；（2）在線段上是否存在點(diǎn)，使得二面角的正弦值為．若存在，求出長；若不存在，說明理由．21．某展覽會(huì)有四個(gè)展館，分別位于矩形的四個(gè)頂點(diǎn)、、、處，現(xiàn)要修建如圖中實(shí)線所示的步道（寬度忽略不計(jì)，長度可變）把這四個(gè)展館連在一起，其中百米，百米，且．（1）設(shè)，求出步道的總長（單位：百米）關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（參考數(shù)據(jù)，）（2）求步道的最短總長度（精確到0.01百米）．22．已知函數(shù)的最大值是．（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）設(shè)函數(shù)，若，使，求實(shí)數(shù)的取值范圍．參考答案題號123456789101112答案BABABCADBCDACABDAD13．49414．15．16．17．所以且,,經(jīng)驗(yàn)算,可得； 5分（2）因?yàn)? 8分所以,則滿足題意,且在且時(shí)遞增,因此是唯一解； 10分18．（1）證明：因?yàn)?，故，故．又平面平面，平?.平面，平面，故平面；因?yàn)槠矫?，故平面平面?4分（2）解：設(shè)為的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所以，又平面平面，故平面，如圖，以為原點(diǎn)，分別以，和平行于的方向?yàn)?，，軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，2，，，4，，，0，，，1，，因?yàn)椋瑒t，所以，，，易得平面的一個(gè)法向量為， 6分設(shè)為平面的一個(gè)法向量，，，由得不妨?。?8分因?yàn)槠矫媾c平面所成銳二面角為，所以，解得，（不合題意舍去），故． 12分19．解：（1）由二項(xiàng)式知：展開式通項(xiàng)為, 3分①第2項(xiàng)與第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)分別為、,故,,又,解得． 6分②第2項(xiàng)與第3項(xiàng)的系數(shù)分別為,,則有,解得 6分③展開式中有且只有第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,展開式共有7項(xiàng),從而可知． 6分由上知：展開式通項(xiàng)為,當(dāng),有時(shí),常數(shù)項(xiàng)為． 8分（2）由上知：展開項(xiàng)通項(xiàng)為,要求有理項(xiàng),可知,2,4,6, 10分有理項(xiàng)分別為,,60,． 12分20．（1）延長、交于點(diǎn)，連接即為交線，在直角梯形中，由于，，所以為的中點(diǎn)，則有，因?yàn)槠矫?，平面，所以．則為等腰直角三角形，，即．因?yàn)槠矫妫矫?，所?．又因?yàn)?，平面，，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，又因?yàn)槠矫妫?，所以平面?4分（2）由平面，，所以兩兩互相垂直，以為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．則，所以，，設(shè)，則，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，得：，令，則，所以， 6分而平面的一個(gè)法向量為， 8分則，由于二面角的正弦值為，則，所以，則或， 10分因?yàn)?，所以，又，所以?12分21．（1）設(shè),則,,,則,解得,又因?yàn)?所以,所以）. 6分（少定義域扣2分）（2）,,令,可得, 8分當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,故當(dāng)時(shí),取得極小值（最小值） 10分（百米）,所以步道的最短總長度約為18.39百米. 12分22．（1）求導(dǎo)，得令,解得．當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),，所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,所以當(dāng)時(shí),函數(shù)有最大值,即,所以 2分（2）令,求導(dǎo),得 4分