數(shù)學(xué)百大經(jīng)典例題-三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)

解：在單位圓中，作出銳角α在正弦線MP，如圖2-9所示在△MPO中，MP+OM＞OP=1即MP+OM＞1∴sinα+cosα＞1于P1，P2兩點，過P1，P2分別作P1M1⊥x軸，P2M2⊥x軸，垂足分k∈Z}【說明】

學(xué)會利用單位圓求解三角函數(shù)的一些問題，借助單位圓求解不等式的一般方法是：①用邊界值定出角的終邊位置；②根據(jù)不等式定出角的范圍；③在中找出角的代表；④求交集，找單位圓中重疊的部分；⑤寫出角的范圍的表達(dá)式，注意加周期．【例3】

求下列函數(shù)的定義域：解：(1)為使函數(shù)有意義，需滿足2sin2x+cosx-1≥0由單位圓，如圖2-12所示k∈Z}【說明】

求函數(shù)的定義域通常是解不等式組，利用“數(shù)形結(jié)合”，借助于數(shù)軸畫線求交集的方法進行．在求解三角函數(shù)，特別是綜合性較強的三角函數(shù)的定義域，我們同樣可以利用“數(shù)形結(jié)合”，在單位圓中畫三角函數(shù)線，求表示各三角不等式解集的扇形區(qū)域的交集來完成．(4)為使函數(shù)有意義，需滿足：取k=0和-1時，得交集為-4＜x≤-π或0≤x≤π∴函數(shù)的定義域為(-4，-π]∪【說明】

求三角函數(shù)的定義域要注意三角函數(shù)本身的特征和性質(zhì)，如在轉(zhuǎn)化為不等式或不等式組后要注意三角函數(shù)的符號及單調(diào)性，在進行三角函數(shù)的變形時，要注意三角函數(shù)的每一步變形都保持恒等，即不能改變原函數(shù)的自變量的取值范圍．【例4】

求下列函數(shù)的值域：∴此函數(shù)的值域為{y|0≤y＜1}∵1+sinx+cosx≠0

∴t≠-1【說明】

求三角函數(shù)的值域，除正確運用必要的變換外，還要注意函數(shù)的概念的指導(dǎo)作用，注意利用正、余弦函數(shù)的有界性．【例5】

判斷下列函數(shù)的奇偶性：【分析】

先確定函數(shù)的定義域，然后根據(jù)奇函數(shù)成偶函數(shù)的定義判斷函數(shù)的奇偶性．∵f(1-x)=-sin(-2x)=sin2x=-f(x)(2)函數(shù)的定義域為R，且f(-x)=sin)【分析】

由圖象確定函數(shù)的解析式，就要觀察圖象的特性，形狀位置和所給的條件．通過判斷、分析和計算確定A，ω、θ得到函數(shù)的解析式．【例13】

設(shè)y=Asin(ωx+)(A＞0，ω＞0，||＜π)最高點D的標(biāo)為(6，0)，(1)求A、ω、的值；(2)求出該函數(shù)的頻率，初相和單調(diào)區(qū)間．y單調(diào)遞增故遞增區(qū)間為，k∈Zy單調(diào)遞減故遞減區(qū)間為，k∈ZA．sinθ＜cosθ＜ctgθB．cosθ＜sinθ＜ctgθC．sinθ＜ctgθ＜cosθD．cosθ＜ctgθ＜sinθ解一(直接法)：故選A．解二(圖解法)：作出三角函數(shù)線，如圖2-17MP=sinθ，OM=cosθ，BS=ctgθ通過觀察和度量得MP＜OM＜BS從而有sinθ＜cosθ＜ctgθ∴應(yīng)選A∴cosθ＞sinθ從而可剔除B、D．再由sinθ＜ctgθ，故可剔除C故選A解四(特殊值法)：B、C、D，應(yīng)選A．【說明】

此例題用多種方法求解選項，指出3種選擇題的技巧．∴應(yīng)選Dx軸交點中在原點右邊最接近原點的交點，而在原點左邊與x軸交點中最的圖象．∴選D【說明】

y=Asin(ωx+)(A＞0，ω＞0)x∈R的圖象可由y=sinx的圖象經(jīng)下列各種順序變換得到的．(1)先平移，后伸縮：①把y=sinx的圖象向左(＞0)或向右(＜0)沿x軸方向平移||個單位；(相位變換)(周期變換)③把所有各點縱坐標(biāo)伸長(A＞1)或縮短(0＜A＜1)到原來的A倍，橫坐標(biāo)不變(振幅變換)(2)先伸縮，后平移①把y=sinx圖象上各點的橫坐標(biāo)縮短(ω＞1)或伸長(0＜ω＜1)到原(相位變換)③把所有各點縱坐標(biāo)伸長(A＞1)或縮短(0＜A＜1)到原來的A倍橫坐標(biāo)不變(振幅變換)再把橫坐標(biāo)縮小到原來的一半，縱坐標(biāo)擴大到原來的4倍，則所得的圖象的解析式是

∴選A．【例17】

方程sin2x=sinx在區(qū)間(0，2π)內(nèi)解的個數(shù)是

A．1

B．2

C．3

D．4【分析】

本題有兩類解法(1)求出方程在(0，2π)內(nèi)的所有解，再數(shù)其解的個數(shù)．而決定選項，對于選擇題，此法一般不用．(2)在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=sin2x和y=sinx的圖象，如圖2-18所示．它們在(0，2π)內(nèi)交點個數(shù)，即為所求方程解的個數(shù)，從而應(yīng)選C．它體現(xiàn)了數(shù)、形的結(jié)合．【例18】

設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的周期為3的奇函數(shù)，且f(1)=2，則f(5)=____解：∵f(x)是奇函數(shù)，且f(1)=2，∴f(-1)=-2又∵f(x)是周期為3的函數(shù)．

∴f(3+x)=f(x)∴f(-1+3)=f(-1)=-2

即f(2)=-2f(2+3)=f(2)=-2

即f(5)=-2【例19】

有一塊扇形鐵板，半徑為R，圓心角為60°，從這個扇形中切割下一個內(nèi)接矩形，即矩形的各個頂點都在扇形的半徑或弧上，求這個內(nèi)接矩形的最大面積．【分析】

本題入手要解決好兩個問題．(1)內(nèi)接矩形的放置有兩種情況，如圖2-19所示，應(yīng)該分別予以處理．(2)求最大值問題這里應(yīng)構(gòu)造函數(shù)，怎么選擇便于以此表達(dá)矩形面積的自變量．解：如圖2-19(1)設(shè)∠FOA=θ，則FG＝Rsinθ又設(shè)矩形EFGH的面積為S，那么又∵0°＜θ＜60°，故當(dāng)cos(2θ－60°)＝1，即θ=30′時，如圖2-19(2)，設(shè)∠FO