62二重積分的計算

曲頂柱體的體積計算

給定曲頂柱體:底：

xoy面上的閉區(qū)域Ω頂:側面：以Ω的邊界為準線,母線平行于z軸的柱面求其體積.D2.1二重積分的幾何意義

第二節(jié)

二重積分的計算1下面借助于幾何直觀將二重積分轉變?yōu)槎味ǚe分來計算，略去分析證明過程。二重積分的幾何意義由此可見:計算二重積分就是計算曲頂柱體的體積.2由定積分應用知：已知平行截面面積為A(x)的立體的體積2.2直角坐標下二重積分的計算討論中假定f（x，y）≥03若積分區(qū)域Ω=其中φ1(x)、φ2(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù).是介于二平行平面x=a與x=b之間的立體.4用平面x=x0截立體，截得的面積為A(x0).則得使用(1)式要注意積分區(qū)域Ω的特點.應用計算“求已知平行截面面積的立體體積”的方法A（x0）(1)式右端的積分叫先對y后對x的二次積分.5即如果積分區(qū)域Ω為：其中函數、在區(qū)間上連續(xù).［X－型］

X型區(qū)域的特點：穿過區(qū)域且平行于y軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點.6類似地，如果積分區(qū)域為：［Y－型］

Y型區(qū)域的特點：穿過區(qū)域且平行于x軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點.此時(2)式右端的積分叫先對x后對y的二次積分.使用(2)式也要注意積分區(qū)域Ω的特點.7若區(qū)域Ω如圖，在分割后的三個區(qū)域上分別使用積分公式則必須分割.對非X、Y型區(qū)域

注：在上述討論中假定f（x，y）≥0，但實際上不滿足此條件,公式（1）、（2）的成立并不受此條件的限制。由上述討論可見：

計算二重積分就要把二重積分化為二次積分，關鍵是確定積分限，因此首先要畫出積分區(qū)域的圖形8二重積分存在時因此,直角坐標下的二重這時因此面積元素可用平行坐標軸的直線來劃分區(qū)域Ω,記作積分記作9例1.

計算其中D是直線y＝1,x＝2,及y＝x

所圍的閉區(qū)域.解法1.將D看作X–型區(qū)域,則解法2.將D看作Y–型區(qū)域,

則機動目錄上頁下頁返回結束10例2.計算其中D是拋物線所圍成的閉區(qū)域.解:為計算簡便,先對x后對y積分,及直線則機動目錄上頁下頁返回結束11說明:若積分區(qū)域既是X–型區(qū)域又是Y–型區(qū)域,為計算方便,可選擇積分次序.

則有12例3.計算其中D是直線所圍成的閉區(qū)域.解:取D為X–型域:說明:

如果積分順序選取不當,不僅可能引起計算上的麻煩,而且可能導致積分無法算出.13例4.交換下列積分順序解:積分區(qū)域由兩部分組成:視為Y–型區(qū)域,則14例5.

計算其中D由所圍成.解:令(如圖所示)顯然,機動目錄上頁下頁返回結束15前面的例子說明為了使得積分能方便地計算出來，一般要選擇積分區(qū)域分塊少，原函數好求的積分方法,而且能用對稱性時可以簡化計算.16例6.求兩個底圓半徑為R的直交圓柱面所圍的體積.解:設兩個直圓柱方程為利用對稱性,考慮第一卦限部分,其曲頂柱體的頂為底為則所求體積為機動目錄上頁下頁返回結束172.3極坐標系下二重積分的計算

18按二重積分的定義

在極坐標系下

19于是即極坐標中的二重積分，同樣可化為二次積分來計算

上面兩式即為二重積分的變量從直角坐標變換為極坐標的變換公式，其中為極坐標中的面積元素.201.區(qū)域D的特征如圖中陰影部分212.區(qū)域D的特征如圖陰影部分223.區(qū)域D的特征如圖陰影部分(包含原點)在極坐標系中，若f≡1則可求得D的面積23例7.計算其中解:在極坐標系下原式的原函數不是初等函數,故本題無法用直角由于故坐標計算.24例2.7.

求球體被圓柱面所截得的(含在柱面內的)立體的體積.解:設由對稱性可知25計算二重積分的步驟及注意事項?

畫出積分域?選擇坐標系?確定積分序?寫出積分限?計算要簡便---積分區(qū)域分塊要少累次積分好算為妙充分利用對稱性一般說來，積分區(qū)域為圓盤、扇形、環(huán)形域被積函數含x2+y2時用極坐標較方便。262.4.二重積分的一般換元法

利用極坐標系計算二重積分,實際上是一種特殊的換元法.下面我們討論計算二重積分的一般形式的換元法.27定積分換元法滿足一階偏導數連續(xù);雅可比行列式(3)變換則定理:變換:是一一對應的,28例8.

計算其中D是x軸y軸和直線所圍成的閉域.解:令則29例9.計算由所圍成的閉區(qū)域D的面積S.解:令則30例10.