三角函數(shù)公式表

三角函數(shù)公式表角函數(shù)（Trigonometric）是數(shù)學(xué)中屬于初等函數(shù)中的超越函數(shù)的一類函數(shù)。它們的本質(zhì)是任意角的集合與一個比值的集合的變量之間的映射。通常的三角函數(shù)是在平面直角坐標(biāo)系中定義的，其定義域為整個實數(shù)域。另一種定義是在直角三角形中，但并不完全。現(xiàn)代數(shù)學(xué)把它們描述成無窮數(shù)列的極限和微分方程的解，將其定義擴(kuò)展到復(fù)數(shù)系。它包含六種基本函數(shù)：正弦、余弦、正切、余切、正割、余割。由于三角函數(shù)的周期性，它并不具有單值函數(shù)意義上的反函數(shù)。三角函數(shù)在復(fù)數(shù)中有較為重要的應(yīng)用。在物理學(xué)中，三角函數(shù)也是常用的工具。起源“三角學(xué)”，英文Trigonometry，法文Trigonometrie，德文Trigonometrie，都來自拉丁文Trigonometria?，F(xiàn)代三角學(xué)一詞最初見于希臘文。最先使用Trigonometry這個詞的是皮蒂斯楚斯(BartholomeoPitiscus,1516-1613)，他在1595年出版一本著作《三角學(xué):解三角學(xué)的簡明處理》，創(chuàng)造了這個新詞。它是由τριγωυου(三角學(xué))及μετρειυ(測量)兩字構(gòu)成的，原意為三角形的測量，或者說解三角形。古希臘文里沒有這個字，原因是當(dāng)時三角學(xué)還沒有形成一門獨立的科學(xué)，而是依附于天文學(xué)。因此解三角形構(gòu)成了古代三角學(xué)的實用基礎(chǔ)。早期的解三角形是因天文觀測的需要而引起的。還在很早的時候，由于墾殖和畜牧的需要，人們就開始作長途遷移；后來，貿(mào)易的發(fā)展和求知的欲望，又推動他們?nèi)ラL途旅行。在當(dāng)時，這種遷移和旅行是一種冒險的行動。人們穿越無邊無際、荒無人煙的草地和原始森林，或者經(jīng)水路沿著海岸線作長途航行，無論是那種方式，都首先要明確方向。那時，人們白天拿太陽作路標(biāo)，夜里則以星星為指路燈。太陽和星星給長期跋山涉水的商隊指出了正確的道路，也給那些沿著遙遠(yuǎn)的異域海岸航行的人指出了正確方向。就這樣，最初的以太陽和星星為目標(biāo)的天文觀測，以及為這種觀測服務(wù)的原始的三角測量就應(yīng)運而生了。因此可以說，三角學(xué)是緊密地同天文學(xué)相聯(lián)系而邁出自己發(fā)展史的第一步的

同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式倒數(shù)關(guān)系:商的關(guān)系：平方關(guān)系：tanα·cotα＝1

sinα·cscα＝1

cosα·secα＝1sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα

cosα/sinα＝cotα＝cscα/secαsin2α＋cos2α＝1

1＋tan2α＝sec2α

1＋cot2α＝csc2α

誘導(dǎo)公式sin（－α）＝－sinαcos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanαcot（－α）＝－cotα

三角函數(shù)的和差化積公式三角函數(shù)的積化和差公式

α＋β

α－β

sinα＋sinβ＝2sin—－－·cos—－—

2

2

α＋β

α－β

sinα－sinβ＝2cos—－－·sin—－—

2

2

α＋β

α－β

cosα＋cosβ＝2cos—－－·cos—－—

2

2

α＋β

α－β

cosα－cosβ＝－2sin—－－·sin—－—

2

2

1

sinα·cosβ＝-[sin（α＋β）＋sin（α－β）]

2

1

cosα·sinβ＝-[sin（α＋β）－sin（α－β）]

2

1

cosα·cosβ＝-[cos（α＋β）＋cos（α－β）]

2

1

sinα·sinβ＝－-[cos（α＋β）－cos（α－β）]

2

化asinα±bcosα為一個角的一個三角函數(shù)的形式（輔助角的三角函數(shù)的公式）目錄余弦定理余弦定理性質(zhì)余弦定理證明余弦定理的作用其他余弦定理余弦定理性質(zhì)余弦定理證明余弦定理的作用其他展開編輯本段余弦定理余弦定理是揭示三角形邊角關(guān)系的重要定理，直接運用它可解決一類已知三角形兩邊及夾角求第三邊或者是已知三個邊求角的問題，若對余弦定理加以變形并適當(dāng)移于其它知識，則使用起來更為方便、靈活。編輯本段余弦定理性質(zhì)對于任意三角形，任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的兩倍積，若三邊為a，b，c三角為A，B，C，則滿足性質(zhì)——a^2=b^2+c^2-2·b·c·cosAb^2=a^2+c^2-2·a·c·cosBc^2=a^2+b^2-2·a·b·cosCcosC=(a^2+b^2-c^2)/(2·a·b)cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2·a·c)cosA=(c^2+b^2-a^2)/(2·b·c)（物理力學(xué)方面的平行四邊形定則中也會用到）第一余弦定理（任意三角形射影定理）設(shè)△ABC的三邊是a、b、c，它們所對的角分別是A、B、C，則有a=b·cosC+c·cosB，b=c·cosA+a·cosC，c=a·cosB+b·cosA。編輯本段余弦定理證明平面向量證法∵如圖，有a+b=c(平行四邊形定則：兩個鄰邊之間的對角線代表兩個鄰邊大?。‐o"查看圖片"

∴c·c=(a+b)·(a+b)∴c^2=a·a+2a·b+b·b∴c^2=a^2+b^2+2|a||b|Cos(π-θ)（以上粗體字符表示向量）又∵Cos(π-θ)=-CosC∴c^2=a^2+b^2-2|a||b|Cosθ（注意：這里用到了三角函數(shù)公式）再拆開，得c^2=a^2+b^2-2*a*b*CosC即CosC=(a^2+b^2-c^2)/2*a*b同理可證其他，而下面的CosC=(c^2-b^2-a^2)/2ab就是將CosC移到左邊表示一下。平面幾何證法在任意△ABC中做AD⊥BC.∠C所對的邊為c，∠B所對的邊為b，∠A所對的邊為a則有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c根據(jù)勾股定理可得：AC^2=AD^2+DC^2b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2b^2=(sinB*c)^2+a^2-2ac*cosB+(cosB)^2*c^2b^2=(sinB^2+cosB^2)*c^2-2ac*cosB+a^2b^2=c^2+a^2-2ac*cosBcosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac編輯本段余弦定理的作用(1)已知三角形的三條邊長，可求出三個內(nèi)角；(2)已知三角形的兩邊及夾角，可求出第三邊.(3)已知三角形兩邊及其一邊對角，可求其它的角和第三條邊。(見解三角形公式，推導(dǎo)過程略。)判定定理一(兩根判別法)：若記m(c1,c2)為c的兩值為正根的個數(shù)，c1為c的表達(dá)式中根號前取加號的值，c2為c的表達(dá)式中根號前取減號的值①若m(c1,c2)=2,則有兩解；②若m(c1,c2)=1,則有一解；③若m(c1,c2)=0,則有零解(即無解)。注意：若c1等于c2且c1或c2大于0，此種情況算到第二種情況，即一解。判定定理二(角邊判別法):一當(dāng)a>bsinA時①當(dāng)b>a且cosA>0(即A為銳角)時,則有兩解；②當(dāng)b>a且cosA<=0(即A為直角或鈍角)時,則有零解(即無解)；③當(dāng)b=a且cosA>0(即A為銳角)時,則有一解；④當(dāng)b=a且cosA<=0(即A為直角或鈍角)時,則有零解(即無解)；⑤當(dāng)b<a時,則有一解二當(dāng)a=bsinA時①當(dāng)cosA>0(即A為銳角)時,則有一解；②當(dāng)cosA<=0(即A為直角或鈍角)時,則有零解(即無解)；三當(dāng)a<bsinA時,則有零解(即無解)；\o"查看圖片"

解三角形公式例如：已知△ABC的三邊之比為5：4：3，求最大的內(nèi)角.解設(shè)三角形的三邊為a,b,c且a:b:c=5:4:3.由三角形中大邊對大角可知：∠A為最大的角.由余弦定理cosA=0所以∠A=90°.再如△ABC中，AB=2,AC=3,∠A=60度,求BC之長.解由余弦定理可知BC2=AB2+AC2-2AB×AC·cosA=4+9-2×2×3×cos60=13-12x0.5=13-6=7所以BC=√7.(注：cos60=0.5,可以用計算器算）以上兩個小例子簡單說明了余弦定理的作用.編輯本段其他從余弦定理和