MATLAB作業(yè)2 參考答案

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1、試求出如下極限。

x2y?xy31?cos(x2?y2)(x?2)x?2(x?3)x?3（1）lim，（2）lim，（3）lim232x?52x2?y2x??1x?0x??(x?y)(x?5)y?2y?0(x?y)e極限問題可以由下面語句直接求解。

>>symsx;f=(x+2)^(x+2)*(x+3)^(x+3)/(x+5)^(2*x+5);limit(f,x,inf)ans=exp(-5)>>symsxy

fa=(x^2*y+x*y^3)/(x+y)^3;limit(limit(fa,x,-1),y,2)ans=-6

>>fc=(1-cos(x^2+y^2))*exp(x^2+y^2)/(x^2+y^2);limit(limit(fc,x,0),y,0)ans=0

2、試求出下面函數的導數。（1）y(x)?xsinx1?ex,(2)atany?ln(x2?y2)x由求導函數diff()可以直接得出如下結果，其中(2)為隱函數，故需要用隱函數求導公式得出導數。>>symsx;

f=sqrt(x*sin(x)*sqrt(1-exp(x)));simple(diff(f))ans=

1/2/(x*sin(x)*(1-exp(x))^(1/2))^(1/2)*(sin(x)*(1-exp(x))^(1/2)+x*cos(x)*(1-exp(x))^(1/2)-1/2*x*sin(x)/(1-exp(x))^(1/2)*exp(x))>>symsx,y;f=atan(y/x)-log(x^2+y^2);f1=simple(-diff(f,x)/diff(f,y))f1=

(y+2*x)/(x-2*y)

3、假設u?cos?1?2u?2ux，試驗證。??x?y?y?xy證明二者相等亦可以由二者之差為零來證明，故由下面的語句直接證明。

>>symsxy;u=acos(x/y);

diff(diff(u,x),y)-diff(diff(u,y),x)ans=

0

4、假設f(x,y)??xy0x?2f?2f?2fedt，試求?2?2。2y?x?x?y?y?t2由下面的命令可以得出所需結果。

>>symsxyt

f=int(exp(-t^2),t,0,x*y);

x/y*diff(f,x,2)-2*diff(diff(f,x),y)+diff(f,y,2)simple(ans)ans=

-2*exp(-x^2*y^2)*(-x^2*y^2+1+x^3*y)

?3x?eyz?5、假設已知函數矩陣f(x,y,z)??3?，試求出其Jacobi矩陣。2?x?ysinz?Jacobi矩陣可以由下面的語句直接得出。>>symsxyz

F=[3*x+exp(y)*z;x^3+y^2*sin(z)];jacobian(F,[x,y,z])ans=

[3,exp(y)*z,exp(y)]

[3*x^2,2*y*sin(z),y^2*cos(z)]

6、試求解下面的不定積分問題。（1）I(x)??x(x?1)x?1?xdx，（2）I(x)??xeaxcosbxdx

（1）可以用下面的語句求出問題的解

>>symsx;f=sqrt(x*(x+1))/(sqrt(x)+sqrt(x+1));int(f,x)

（2）可以求出下面的結果>>symsabx

f=x*exp(a*x)*cos(b*x);int(f,x)

7、試求解下面的定積分或無窮積分。（1）I???0211?xcosxdxdx，（2）I??01?x4x①可以直接求解

>>symsx;int(cos(x)/sqrt(x),x,0,inf)ans=

1/2*2^(1/2)*pi^(1/2)②可以得出

>>symsx;int((1+x^2)/(1+x^4),x,0,1)ans=

1/4*2^(1/2)*pi

8、假設f(x)?e?5xsin(3x??/3)，試求出積分函數R(t)??t0f(x)f(t?x)dx。

定義了x的函數，則可以由subs()函數定義出t+x的函數，這樣由下面的語句可以直接得出R函數。

>>symsxt;f=exp(-5*x)*sin(3*x+sym(pi)/3);R=int(f*subs(f,x,t+x),x,0,t);simple(R)ans=

1/1360*(15*exp(t)^10*3^(1/2)*cos(3*t)-25*cos(9*t)+

25*exp(t)^10*3^(1/2)*sin(3*t)-68*cos(3*t)-15*3^(1/2)*cos(9*t)-25*3^(1/2)*sin(9*t)-15*exp(t)^10*sin(3*t)+15*sin(9*t)+93*exp(t)^10*cos(3*t))/exp(t)^15

9、試對下面函數進行Fourier冪級數展開。

（1）f(x)?(??x)sinx,???x??;（2）f(x)?e,???x??;

x①可以馬上由下面的語句求出。

function[A,B,F]=fseries(f,x,n,a,b)ifnargin==3,a=-pi;b=pi;endL=(b-a)/2;

ifa+b,f=subs(f,x,x+L+a);end

A=int(f,x,-L,L)/L;B=[];F=A/2;%????a0fori=1:n

an=int(f*cos(i*pi*x/L),x,-L,L)/L;

bn=int(f*sin(i*pi*x/L),x,-L,L)/L;A=[A,an];B=[B,bn];F=F+an*cos(i*pi*x/L)+bn*sin(i*pi*x/L);end

ifa+b,F=subs(F,x,x-L-a);end

>>symsx;f=(sym(pi)-abs(x))*sin(x);[A,B,F]=fseries(f,x,10,-pi,pi);FF=

1/2*pi*sin(x)+16/9/pi*sin(2*x)+32/225/pi*sin(4*x)+

48/1225/pi*sin(6*x)+64/3969/pi*sin(8*x)+80/9801/pi*sin(10*x)②可以由下面語句求解，并得出數學公式為

>>symsx;f=exp(abs(x));[A,B,F]=fseries(f,x,10,-pi,pi);F>>vpa(F,10)ans=

7.047601355-7.684221126*cos(x)+2.819040541*cos(2.*x)-1.536844225*cos(3.*x)+.8291295709*cos(4.*x)-.5910939328*cos(5.*x)+.3809514246*cos(6.*x)-.3073688450*cos(7.*x)+.2168492724*cos(8.*x)-.1874202374*cos(9.*x)

+.1395564625*cos(10.*x)

10、試求出下面函數的Taylor冪級數展開。

（1）

?x0sintdt,（2）ln(x?1?x2).（3）e?5xsin(3x??/3)分別關于x?0、x?at的冪級數展開。（4）對f(x,y)?1?cos(x2?y2)(x?y)e22x2?y2關于x?1、y?0進行二維Taylor冪

級數展開。

由下面的語句可以分別求出各個函數的冪級數展開，>>symstx;f=int(sin(t)/t,t,0,x);taylor(f,x,15)>>symsx;f=log(x+sqrt(1+x^2));taylor(f,x,15)該函數的前4項展開

>>symsxa;f=exp(-5*x)*sin(3*x+sym(pi)/3);taylor(f,x,4,a)該函數需要使用Maple的展開函數。

>>symsxy;f=(1-cos(x^2+y^2))/((x^2+y^2)*exp(x^2+y^2));F=maple('mtaylor',f,'[x=1,y]',4)

11、求級數(?)?(12131111?)???(?)??的前n項及無窮項的和。22322n3n下面的語句可以直接求解級數的和。

>>symsnk;symsum(1/2^k+1/3^k,k,1,n)ans=

-2*(1/2)^(n+1)-3/2*(1/3)^(n+1)+3/2>>symsum(1/2^k+1/3^k,k,1,inf)ans=3/2

當然，無窮級數的和還可以通過極限的方式求出。

12、試求出下面的極限。（1）lim[n??1111?????]，22?142?162?1(2n)2?11111?????)。2222n??n??n?2?n?3?n?n?①可以用下面兩種方法求解。

>>symskn;symsum(1/((2*k)^2-1),k,1,inf)ans=1/2

>>limit(symsum(1/((2*k)^2-1),k,1,n),n,inf)ans=1/2

②可以由下面的語句直接求解。

（2）limn(>>symskn

limit(n*symsum(1/(n^2+k*pi),k,1,n),n,inf)ans=1

13、試對下面數值描述的函數求取各階（2))*Dt;

>>x=[0,0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,1,1.1,1.2];

y=[0,2.208,3.206,3.444,3.241,2.816,2.311,1.81,1.36,0.982,0.679,0.447,0.277];[dy1,dx1]=diff_ctr(y,x(2)-x(1),1);[dy2,dx2]=diff_ctr(y,x(2)-x(1),2);[dy3,dx3]=diff_ctr(y,x(2)-x(1),3);[dy4,dx4]=diff_ctr(y,x(2)-x(1),4);

plot(dx1+x(1),dy1,'-',dx2+x(1),dy2,'--',dx3+x(1),dy3,':',dx4+x(1),dy4,'-.')另一方法

[dy1,dx1]=diff_ctr(y,x