《二次函數(shù)》知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

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《二次函數(shù)》知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

一、二次函數(shù)的概念

1、定義：一般地，假使y?ax2?bx?c(a,b,c是常數(shù)，a?0)，那么y叫做x的二次函數(shù).

2、注意點(diǎn)：

（1）二次函數(shù)是關(guān)于自變量x的二次式，二次項(xiàng)系數(shù)a必需為非零實(shí)數(shù)，即a≠0，而

b、c為任意實(shí)數(shù)。（2）當(dāng)b=c=0時(shí)，二次函數(shù)y?ax2是最簡(jiǎn)單的二次函數(shù)。

（3）二次函數(shù)y?ax2?bx?c(a,b,c是常數(shù)，a?0)自變量的取值為全體實(shí)數(shù)

（ax?bx?c為整式）

3、三種函數(shù)解析式：

（1）一般式：y=ax2+bx+c（a≠0），

2bb4ac?b2，對(duì)稱軸：直線x=?頂點(diǎn)坐標(biāo)：(?)

2a2a4a（2）頂點(diǎn)式：y?a?x?h??k（a≠0），

2對(duì)稱軸：直線x=h頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h,k）

（3）交點(diǎn)式：y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0）,

對(duì)稱軸:直線x=

x1?x22(其中x1、x2是二次函數(shù)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)).

二、二次函數(shù)的圖象

1、二次函數(shù)y?ax?bx?c的圖像是對(duì)稱軸平行于（包括重合）y軸的拋物線.2、二次函數(shù)由特別到一般，可分為以下幾種形式：①y?ax；②y?ax?k；

③y?a?x?h?；④y?a?x?h??k；⑤y?ax?bx?c.

222222注：二次函數(shù)的圖象可以通過拋物線的平移得到

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3、二次函數(shù)y?ax2?bx?c的圖像的畫法

由于二次函數(shù)的圖像是拋物線，是軸對(duì)稱圖形，所以作圖時(shí)常用簡(jiǎn)化的描點(diǎn)法和五點(diǎn)法，其步驟是：

(1)先找出頂點(diǎn)坐標(biāo)，畫出對(duì)稱軸；

(2)找出拋物線上關(guān)于對(duì)稱軸的四個(gè)點(diǎn)(如與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)等)；(3)把上述五個(gè)點(diǎn)按從左到右的順序用平滑曲線連結(jié)起來.

三、二次函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)解析式開口方向?qū)ΨQ軸頂點(diǎn)坐標(biāo)（0,0）(0,k)(h,0)(h,k)y?ax2y?ax2?k2y?a?x?h?x?0（y軸）當(dāng)a?0時(shí)開口向上當(dāng)a?0時(shí)x?0（y軸）x?hx?hy?a?x?h??k2開口向下y?ax?bx?c

注：常用性質(zhì)：

2bx??2ab4ac?b2，(?)2a4a1、開口方向：當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)開口方向向上；

當(dāng)a0時(shí)，在對(duì)稱軸左側(cè)，y隨著x的增大而減少；在對(duì)稱軸右側(cè)，y隨著x的增大而增大；

當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)有最小值，并且當(dāng)x=?，y最小＝

2a4ab4ac?b2當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)開口方向向上；當(dāng)a0）向下（k0）向下（k0時(shí)，拋物線有最低點(diǎn)，函數(shù)有最小值，當(dāng)x=?，y最?。?/p>

2a4ab4ac?b2當(dāng)a0時(shí)，方程ax?bx?c?0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即拋物線y?ax2?bx?c與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)。

②當(dāng)△＝0時(shí)，方程ax?bx?c?0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，即拋物線y?ax2?bx?c與x軸有一個(gè)交點(diǎn)。

③當(dāng)△初三精品資料付國(guó)教案

十一、直線與拋物線的交點(diǎn)問題

（1）y軸與拋物線y?ax2?bx?c得交點(diǎn)為(0,c).

（2）與y軸平行的直線x?h與拋物線y?ax2?bx?c有且只有一個(gè)交點(diǎn)

(h,ah?bh?c).（3）拋物線與x軸的交點(diǎn)

二次函數(shù)y?ax2?bx?c的圖像與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x1、x2，是對(duì)應(yīng)一元二

次方程ax?bx?c?0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.拋物線與x軸的交點(diǎn)狀況可以由對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定：

①有兩個(gè)交點(diǎn)???0?拋物線與x軸相交；

②有一個(gè)交點(diǎn)（頂點(diǎn)在x軸上）???0?拋物線與x軸相切；③沒有交點(diǎn)???0?拋物線與x軸相離.（4）平行于x軸的直線與拋物線的交點(diǎn)

同（3）一樣可能有0個(gè)交點(diǎn)、1個(gè)交點(diǎn)、2個(gè)交點(diǎn).當(dāng)有2個(gè)交點(diǎn)時(shí)，兩交點(diǎn)的縱坐標(biāo)

相等，設(shè)縱坐標(biāo)為k，則橫坐標(biāo)是ax?bx?c?k的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

（5）一次函數(shù)y?kx?n?k?0?的圖像l與二次函數(shù)y?ax2?bx?c?a?0?的圖像G的

222交點(diǎn)，由方程組y?kx?ny?ax2?bx?c的解的數(shù)目來確定：①方程組有兩組不同的解時(shí)

②方程組只有一組解時(shí)?l與G只有一個(gè)交點(diǎn)；③方程組無解?l與G有兩個(gè)交點(diǎn);時(shí)?l與G沒有交點(diǎn).

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十二、拋物線與不等式的關(guān)系（利用數(shù)形結(jié)合，通過圖象得出結(jié)論）1、(設(shè)a、b、c?R且a>0)Δ=b2-4acy=ax2+bx+c的圖象Δ>0Δ=0Δ0的解集(-∞,x1)∪(x2