知識講解充分條件與必要條件件提高

充條與要件【習(xí)標(biāo)1．理解充分條件、必要條件、要條件的定義；2．會求某些簡單問題成立的充條件、必要條件、充要條件；3．會應(yīng)用充分不必要條件、必不充分條件、充要條件、既不充分也不必要條件表達(dá)命題之間的關(guān)系.4.能夠利用命題之間的關(guān)系判定要關(guān)系或進(jìn)行充要性的證.【點(diǎn)理要一充條與要件充要件概符q

與

p的義“若，q”真題，記作：pq；“若

，則q

”為假命題，記作：

p充條、要件充條①若q，稱p是q的分件，是的要條.②如果既有

q

又有

就作

q

這

是

的充分必要條件

是q

的充要條件要詮：q的解：指當(dāng)p成時(shí)，定成立，即由過推理可以得到

.①“若

，則

”為真命題；②p是q的分條件；③

是

的必要條件以上三種形式均為“

”這一邏輯關(guān)系的表.要二充條、要件充條的斷從輯理系命題“若

，則

”，其條件p與論q之的邏輯關(guān)系①若

q

，但

q，則

是

的充分不必要條件，

是

的必要不充分條件；②若但，p是q必要不充分條件，q是的分不必要條件；③若

q

，且

，即

q

，則

、

互為充要條件；④若

p且

q，則

是

的既不充分也不必要條件.從合集間關(guān)看若p：x，：x∈B，①若A

B，則

是

的充分條件，

是

的必要條件；②若A是B的真子，則p是的充分不必要條件；③若，

、

互為充要條件；④若A不B的集且B不是A的子，則

是

的既不充分也不必要條.

要詮：要條件的判斷通常有四種結(jié)論：充分不必條件要充分條件、充要條件、既不充分也不必要條件.斷方法通常按以下步驟進(jìn)行：①確定哪是條件，哪是結(jié)論；②嘗試用條件推結(jié)論，③再嘗試用結(jié)論推條件，④最后判斷條件是結(jié)論的什么條.要三充條的明要證明命題的條件是結(jié)論的充要條件要證明條件的充分（即證原命題成立要證明條件的必要性（即證原命題的逆命題成立）要詮：于命題“若

，則

”①如果p

是q

的充分條件，則原命題“若p

，則q

”與其逆否命題“若

，則

”為真命題；②如果p是的要條件，則其逆命題“若，則”其否命題“若，則”為真命題；③如果p

是q

的充要條件，則四種命題均為真命.【型題類一充條、要件充條的定例1.“－1是“x－1>0的_條．【解析】x2x，x，

，∴“x<”是“－1>0的充分而不必要條件．【點(diǎn)評充條件的基本方法是定義法，即“定條件——找推式——下結(jié)論”；有時(shí)需要將條件等價(jià)轉(zhuǎn)化后再判.舉反：【變式1】指出下列各題中，

是

q

的什么條件？(1)p:(xx，q:x；(2)p:cq:拋線

yax

過原點(diǎn)(3)

:一四邊形是矩形，

:四形的鄰邊相等【答案】(1)∵p:或x,:x∴

p

qp

,∴

是

的必要不充分條件；(2)∵q且,∴p是的要件；(3)∵pq，是的不充分條件也不必要條.【變式2】判斷下列各題中

是

q

的什么條件

22（）p

:

a

且

b

,

:

ab（）p

xy

,q:y.【答案】（）是的分不必要條.∵

a

且

b

時(shí)，

ab

成立；反之，當(dāng)時(shí)只要求、同號即可∴必要性不成立（）

是

q

的既不充分也不必要條件∵

xy

在

y

的條件下才有x

成立.∴充分性不成立，同理必要性也不成.【變式3設(shè)甲，乙，丙是三個(gè)題，如果甲是乙的充要條件，丙是乙的充分非必要條件，那么丙是甲的（）A、充分非必要條件B、必非充分條件C、充要條件D、既充分也不必要條件【答案】A；【解析】由已知有甲乙丙乙且乙于是有丙

乙

甲，且甲

若

丙，而乙

甲

丙，與乙

故丙

甲且甲

丙甲的充分非必要條.例.（2015天津）設(shè)x，“（A充分而不必要條件（）必要而不充分條件（C充要條件（）既不充分也不必要條件【答案A

”是“x

”的【解析】

的解集為（，3），

的解集為((1,

，故|x是x

2

的充分不必要條件。故選：A【總結(jié)升華】①先對已知條件進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化化簡，然后由定義判斷；②不等式（解集）表示的條件之間的相互關(guān)系可以借助集合間的關(guān)系判.舉反：

2222222222222222222222222222222222【清堂充分條件與必要條件例2【變式】已知p：，：|x-1|<2，p是（）（A）充分不必要條（B）必要不充分條件（C）充要條件（）既不充分也不必要條件【答案】：|x-1|<2，得-1<x<3亦即：-1<x<3.如圖，在數(shù)軸上畫出集合Q=(-1,3)，從圖中看Q，pq但q選擇A.【變式】(2014西)下列是)

QO3xA．b，c則＋c0的充分條件是b”B．若ab，R，則＞”是c”“對任x∈x≥0的是存在∈有x≥0D．l，，若l⊥，β則α∥β項(xiàng)Ab，c∈R當(dāng)axbx＋c≥0的x恒成立時(shí)，①當(dāng)＝0時(shí)b＝0，≥b－0，0成立②當(dāng)＞0時(shí)≤0．∴“ax

bx＋≥0是“

2

－4ac”充

≤”是ax

2

bx＋c”必A項(xiàng)abcb時(shí)，b≠且a＞∴“abcb”是“c的當(dāng)a若b＝abcb式ab＞cb∴“c是“

2

cb

”的B不正項(xiàng)詞任意，題“對任意xRx≥0的是R，有x”．C不項(xiàng)D題“l(fā)，，β是兩個(gè)不lα，l⊥則α∥”是：D【清堂充分條件與必要條件394804例3【變式3】設(shè)

x

，則條件“

x

”的一個(gè)必要不充分條件為（）A.

x

B.

x

C.

x

D.

x【答案】A

類二充條的求證例3.設(shè)x∈R，求|x+y|=|x|+|y|成的充要條件是xy≥0.【解析】（）分性：若xy=0，么①x=0≠0②x≠0y=0③x=0，y=0，于是|x+y|=|x|+|y|如果xy＞，即x＞，＞或x0，＜，當(dāng)x＞，＞時(shí)，|x+y|=x+y=|x|+|y|.當(dāng)x＜，＜時(shí)，|x+y|=－(x+y)=x+(－y)=|x|+|y|.總之，當(dāng)xy≥0時(shí)，有x+y|=|x|+|y|.（）要性：|x+y|=|x|+|y|及、y∈R得x+y)=(|x|+|y|)，即x+2xy+y=x+2|xy|+y，|xy|=xy，∴xy≥0.綜上可得|x+y|=|x|+|y|成的要條件是xy≥0.【點(diǎn)評充要條件的證明關(guān)鍵是據(jù)定義確定哪是已知條件是論然后搞清楚充分性是證明哪一個(gè)命題，必要性是證明哪一個(gè)命.判斷命題的充要關(guān)系有三種方法：（）義法；（2）等價(jià)法，即利用與；BA與；與

的等價(jià)關(guān)系，對于條件或結(jié)論是不等關(guān)系（否定式）的命題，一般運(yùn)用等價(jià)（）用集合間的包含關(guān)系判斷，若件；若A=B，則A是B的要條.

A

，則A是B的分件或B是A的必要條舉反：【變式1】已知a,b,都實(shí)，證明ac<0關(guān)于x方程ax+bx+c=0有個(gè)根和一個(gè)負(fù)根的充要條.【答案】（充性若ac<0則Δ=b-4ac>0方程ax+bx+c=0有兩個(gè)相異實(shí)根設(shè)x,x∵ac<0,·x=

ca

<0，即x的符號相反，即方有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù).（）要:若方程+bx+c=0有個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根，設(shè)為x,x,且x>0,x<0，則x·x=

ca

<0，∴ac<0綜上可得是程ax+bx+c=0有個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根的充要條.【變式2】求關(guān)于x的程ax+2x+1=0至少有一個(gè)負(fù)的實(shí)根的充要條.【答案】（）a=0時(shí)合（）a≠0時(shí)，顯然方程沒有零根，

若方程有兩異號的實(shí)根，則必須滿足

a

；a若方程有兩個(gè)負(fù)的實(shí)根，則必須滿足aa

綜上知，若方程至少有一個(gè)負(fù)的實(shí)根，則a≤1反之，若a≤1，則方程至少有一個(gè)負(fù)的實(shí)根，因此，關(guān)于x的程ax+2x+1=0至有一個(gè)負(fù)的實(shí)根的充要條件是a≤1類三充條的用例4.已知

x

:x

0(m若p是q充分不必要條件m的值范圍【答案】【解析】由

2

x

2

0(m0)解x又由

x

解p是q的充不必要條件，所以或解得【點(diǎn)評】解決這類參數(shù)的取值范圍問題，應(yīng)盡量運(yùn)用集合法求解，即先化簡集合A、，再由它們的因果關(guān)系，得到A與B的包關(guān)系，進(jìn)而得到相關(guān)不等式組，解之即.舉反：【變式1已知命題：－<x<1＋(c>0)，命題：x或－，并且p是q的既不充分又不必要條件，則的值圍________．【答案】0<≤2【解析】命題p對應(yīng)的集合A{|1－<<1，c>0}，理，命題q應(yīng)的集合＝{x|>7或x－1}．因?yàn)閜是q的不充分又不必要條件，所以或A不子集且B不A的集，所以