Chapter02結(jié)構(gòu)力學總復習

本文格式為Word版，下載可任意編輯——Chapter02結(jié)構(gòu)力學總復習18第2章結(jié)構(gòu)力學總復習

里面的A點，這個body承受了某些loads，如圖2-7所示；你如何對外面的人描述你所承受到的「力的密度」呢？也就是說你的每單位表面積受到多少力。

圖2-7結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中的某一點A的應力

為了說明，我們假設有一個坐標系統(tǒng)xyz可供參照，如下圖。假使這個body是一靜止的液體，你會受到周邊八方一致的壓力，所以只要一個量就可以完整地描述你承受的應力。假設壓應力大小是p（SI單位N/m2），那么你可以如此描述：「我感受到p的壓應力」。當我們感受力量向著自己時，這個應力稱為壓應力；反之當我們感受力量遠離自己時，這個應力稱為張應力。注意，當圖中的body是靜止液體時，你永遠會感受力量向著自己的，亦即永遠是壓應力，而且此壓應力大小與方向無關(guān)。

當圖中的body是固態(tài)實體時，你會在不同的方向感受到不同大小的力量，所以若要確切地描述所承受的力，必需先說明在哪個方向，譬如：「我在某方向感受到p的應力」。注意，p本身是一個向量，當向著你自己時，這個應力稱為壓應力；反之當遠離自己時，這個應力稱為張應力。

我們以圖2-8來進一步說明上述這一句話（在某方向感受到p的應力）的意義。圖2-8中，我們以圍繞在A點（圖2-7）的6個平面來分別代表+x、-x、+y、-y、+z及-z方向，譬如垂直于+x方向的平面稱為+x平面、垂直于-x方向的平面稱為-x平面、其它類同。假設你在+x方向感受到p的應力（注意，其SI單位為N/m2），亦即有p的應力作用在+x平面上。若將此應力拆成三個分量，分別平行于x、y、及z方向——在圖2.8中我們以?x、?xy、?xz來表示，注意其中第一

個下標x是指作用在+x平面上、其次個下標是指應力的方向。由于?x垂直于

第2.1節(jié)結(jié)構(gòu)分析問題定義19

圖2-8物體中某一點的應力描述

+x平面，所以我們稱之為該平面上的正向應力；而由于?xy、?xz相切于+x

平面，

所以我們稱之為該平面上的剪向應力。圖2-9是與圖2-8是完全一樣的，只是轉(zhuǎn)個方向而已。

圖2-9物體中某一點的應力描述（X-YPlaneView）

為了描述某一個點的應力，只有描述一個方向（或平面）的應力是不夠的；在3D的世界里，我們最少需要描述三個方向的應力才能完整地描述某一點的應力狀態(tài)。其它方向的應力可以從這三個方向的應力來推算出來，但是這三個方向必需是獨立的，一般我們選擇+x、+y、及+z方向。如前面所探討的，我們以?x、?xy、

20第2章結(jié)構(gòu)力學總復習

?xz

來表示+x方向的正應力及平行于+y及+z方向的剪應力；同樣的我們以?y、

yz來表示+yzy來表示+z

??yx、????zx、??方向的正應力及平行于+x及+z方向的剪應力；而以?z、方向的正應力及平行于+x及+y方向的剪應力。所以我們

可以用9個分量來表示一個點的應力狀態(tài)：

??x???????yx???zx

?xy?xz???y?yz??zy?z??(2.2)

這9個應力分量分別表示在圖2-8中的立方體上。事實上這9個分量也并不是完全的獨立的，我們可以證明

?xy??yx

?yz??zx?zx??xz(2.3)

也就是說2.2式中的矩陣是對稱的。所以只要用6個分量就可以來描述，用向量的方式來表示，我們可以寫成

?σ????x?y?z?xy?yz?zx?

(2.4)

2.3式的證明很簡單，只要將圖2-8的立方體視為一個自由體（freebody），再取以下力平衡條件即可得到證明：

?M2.1.7應變

x?0,?My?0,?Mz?0

圖2-10質(zhì)點A的應變

第2.1節(jié)結(jié)構(gòu)分析問題定義21

應變是在描述某一質(zhì)點被拉申或壓縮的程度，它的單位是每單位長度的拉伸長度（SI單位m/m，所以相當于無單位）。假使有一長度L的物體被均勻拉長?L，則我們說沿著長度方向有?L/L的應變。在3D的狀況下，應變比應力更難理解。現(xiàn)在讓我們來思考一個body內(nèi)的一個質(zhì)點A及鄰近的點B和C，如圖2-10所示。注意，我們有意選擇三個點的位置使的AB和AC相互垂直。假設這個body變形以后ABC三個點變?yōu)锳’B’C’三個點。

為了要計算AB和AC這兩根纖維在變形后被拉伸了多少，我們先將變位前后的纖維迭合在一起做比較，亦即將變形后的纖維A’B’C’作一個旋轉(zhuǎn)變成A’B〞C〞，再作一個平移變成AB’’’C’’’。注意，經(jīng)過旋轉(zhuǎn)及平移后并不影響其兩根纖維的相對關(guān)系（即長度及夾角）。現(xiàn)在可以很明白地看出原來的x方向的一條小纖維AB被拉伸成AB’’’，其總伸長可以用向量BB’’’來表示。這個伸長量BB’’’可拆成兩個分量：正向伸長量BD及剪向伸長量DB’’’，我們將它們除以原來的長度AB就是正向應變（用?x表示）及剪向應變（用?：xy表示）

BDDB???,?xy?ABAB?x?注意我們使用了和應力一樣的下標，亦即第一個下標x是指作用在+x平面上、其次個下標是指應變的方向。

以上的誘導主要是要讓讀者在觀念上理解到正向應變及剪向應變的涵義。根據(jù)上式，正向應變（normalstrain）是很簡單理解的：x平面上（有關(guān)x平面的定義請參照2.1.6小節(jié)）的正向應變就是x方向的一條無窮小的纖維，它的伸長量除以原來的長度。而剪向應變（shearstrain）則需進一步思考，以下的探討我們假設變形是無窮小的。根據(jù)上式，x平面上向著y方向的剪應變事實上就是夾角BAB’’’，亦即在無窮小的變位假設下

?xy?DB?????BAB????rad?ABxy表示

這個角度也就是兩根原來垂直的纖維其角度的變化。我們的結(jié)論是：?x平

面上y方向的剪應變分量，它是xy平面上兩根原來垂直的纖維其角度的變化。注意此角度是以徑度量（radian）表示的，相當于無單位（dimensionless）。

在3D的狀況下，x平面上除了正應變??x外還有y方向的剪應變分量?xy及

22第2章結(jié)構(gòu)力學總復習

z方向的剪應變分量?方向的剪應變分量?向的剪應變分量?應變狀態(tài)

xz；y平面上則有正應變?y、x方向的剪應變分量?yx、及

z

yz；z平面上則有正應變?z、x方向的剪應變分量?zx、及

y方

zy。所以在

3D的狀況下，我們可以用9個分量來表示一個點的

??x?ε?????yx???zx?xy?y?zy?xz???yz??z??(2.5)

這9個應變分量可以分別表示乘類似圖2-8的樣子（只要把?改為?就可以了）；圖2-11則是x-y平面的表示方式。

圖2-11質(zhì)點A的應變描述

2.5式中的9個分量也并不是完全的獨立的，我們可以證明（程序有點繁雜，若有興趣可以參考任何材料力學課本，譬如Ref.24）；

?xy??yx

?yz??zx?zx??xz(2.6)

也就是說2.5式中的矩陣是對稱的。所以只要用6個分量就可以來描述，用向量的方式來表示，我們可以寫成

第2.3節(jié)解題方法：有限元素法33

就采用線性的內(nèi)插函數(shù)來表示節(jié)點間的變位量的值；同理，假使假設節(jié)點間的變位場是二次的分布，那么就采用二次的內(nèi)插函數(shù)來表示節(jié)點間的變位量的值。在有限元素里面我們不把它叫內(nèi)插函數(shù)，而叫形狀函數(shù)（shapefunction）。數(shù)學上{u}和dzcfehg間的關(guān)系可以用以下的方程式來表示

?u???N??d?

(2.14)

Eq.2.14中的[N]就是所謂的形狀函數(shù)矩陣；以圖2-13的周邊體元素為例，由于{u}是3×1的向量，wzqesvj是12×1的向量，所以[N]是3×12的矩陣，其形式如下所示

?Ni?N????0?0?0Ni000NiNj000Nj000NjNk000Nk000NkNl000Nl00??0?(2.15)Nl??

其中Ni、Nj、Nk、Nl稱為形狀函數(shù)。注意，形狀函數(shù)是位置的函數(shù)。一般而言一個元素假使有n個節(jié)點的話就會有n個獨立的形狀函數(shù)；當形狀函數(shù)是線性時，表示變位場被假設為片段線性函數(shù)，而當形狀函數(shù)是二次時，表示變位場被假設為片段二次函數(shù)。

2.3.5OrderofElement

一個元素的order是指它的形狀函數(shù)是一次還是二次；假使其形狀函數(shù)是一次的，這個元素就稱為線性元素（linearelement）；假使其形狀函數(shù)是二次的，這個元素就稱為二階元素（quadraticelement）。一般來說判斷一個元素是linearelementc或quadraticelement是很簡單的，你可以從它的節(jié)點的排列來判斷：假使一個元素只有在頂點有節(jié)點，那么它必定是linearelement，就像圖2-13的元素；假使一個元素除了在頂點有節(jié)點外，每個邊上中點也有節(jié)點時，那么它是quadraticelement，如圖2-14的元素。

那么一個元素的order有何重要性呢？一般來講，使用越高order的元素，其解答的精度越高，但是解題時間會增加。但是有限元素軟件為了減少元素的種類，尋常不發(fā)展三階或以上的元素；假使要提高解答的精度，最便利的方法是將整個body切割成更多、更細的元素。

34第2章結(jié)構(gòu)力學總復習

圖2-14QuadraticElement

2.3.6StiffnessMatrix

在2.3.2小節(jié)中，我們談過有限元素法的基本設想是將一個body切割成好多的元素，每一個元素可以建立它的力平衡方程式。元素的力平衡方程式型式如下：

?k??d???f?

(2.16)

其中tbehzct是元素節(jié)點上的自由度，以圖2-13的元素而言，ucxhkfi是一個12×1的向量，所以{f}必然也是12×1的向量，而[k]必然是12×12的矩陣。{f}的物理意義是作用在節(jié)點上面的力，那么[k]的物理意義則是每單位的變位量所需要的力量，這就是剛度（stiffness）的定義，所以[k]稱為元素的剛度矩陣（stiffnessmatrix）。

每一個元素都有像Eq.2.16的方程式，把所有元素的力平衡方程式聯(lián)立起來為整體結(jié)構(gòu)的力平衡方程式時，其形式可以寫成

?K??D???F?

(2.17)

這里的{D}就是整體結(jié)構(gòu)所有節(jié)點上的自由度，{F}就是作用在節(jié)點上的力量，而[K]稱為整體結(jié)構(gòu)的剛度矩陣（structuralglobalstiffness）。Eq.2.17事實上是一組線性方程式，藉助計算機可以很簡單解出{D}。[K]有一些特點：它都是對稱的，而且只有靠近中間的值才是非零值，其余大部分都是零，這些特點造成了這個方程式更簡單解。

第2.3節(jié)解題方法：有限元素法35

有限元素法的成功原因之一是將一組十分繁雜的偏微分方程式轉(zhuǎn)換成一組很簡單的線性方程式。不過這是對一個線性的結(jié)構(gòu)而言的，若是一個非線性的結(jié)構(gòu)，在觀念上我們可以視為解大量段的線性問題。

在熱分析的狀況，熱平衡方程式的形式也是宛如Eqs.2.16及2.17一樣，在此自由度ghvuxak或{D}是溫度，右邊的{f}或{F}是熱流量（heatflow），而[k]或[K]稱為熱傳導矩陣（conductivitymatrix）。

2.3.7FEMSummary

最終我們把有