24.4弧長和扇形面積講義教師版

#(2)若AB=10,NCBD=36。，求AC的長.【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出NAEO=90°,再利用垂徑定理證明即可;（2）根據(jù)弧長公式解答即可.【解答】證明：（1）.「AB是。O的直徑，.\ZADB=90VOC#BD,AZAEO=ZADB=90°,即OC±AD,.??AE=ED；(2)VOC±AD,?,.AC=CD,AZABC=ZCBD=36°,.\ZAOC=2ZABC=2x36°=72°,【點(diǎn)評(píng)】此題考查弧長公式，關(guān)鍵是根據(jù)弧長公式和垂徑定理解答.拓展點(diǎn)二：扇形面積公式的應(yīng)用例1.如圖，△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，以D為圓4,BD長為半徑畫一弧交AC于E點(diǎn)，若NA=60。，ZB=100°,BC=4,則扇形BDE的面積為何？（ ）A.TTB.--JTC. JTD.--TT3 3 9 9【分析】求出扇形的圓心角以及半徑即可解決問題;【解答】解：?.?/A=60°,NB=100°,AZC=180°-60°-100°=20°,?DE=DC,AZC=ZDEC=20°,AZBDE=ZC+ZDEC=40°,用A兀?那=4扇形DBE360V故選：C.【點(diǎn)評(píng)】本題考查扇形的面積公式、三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是記住扇形的面積公式:360例2.如圖，正方形ABCD內(nèi)接于圓O,AB=4,則圖中陰影部分的面積是（ ）A.4n-16B.8n-16C.16n-32D.32n-16【分析】連接OA、OB,利用正方形的性質(zhì)得出OA=ABcos45o=26，根據(jù)陰影部分的面積=SQO-S正方形ABCD列式計(jì)算可得.【解答】解：連接OA、OB,o???四邊形ABCD是正方形，.??NAOB=90°,NOAB=45°,OA=ABcos45o=4xq=26，所以陰影部分的面積=SO0-S正方形abcd="(2V2)2-4x4=8n-16.故選：B.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查扇形的面積計(jì)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握正方形的性質(zhì)和圓的面積公式.變式1.如圖，AB是。0的直徑，弦CDLAB,垂足為P,若AB=2,AC=f3.(1)求NA的度數(shù).(2)求弧CBD的長.(3)求弓形CBD的面積.【分析】(1)根據(jù)題意可以求得BC的長和NACB的度數(shù)，從而可以求得NA的度數(shù)；(2)根據(jù)(1)中的結(jié)果可以求得NCOD的度數(shù)，從而可以求得弧CBD的長；(3)根據(jù)圖形可知，弓形CBD的面積等于扇形CBD與八COD的面積之差，從而可以解答本題.【解答】解：(1)連接BC,BD,?「AB是直徑，.??NACB=90°,VAB=2,AC=3,.??BC=1,.?.NA=30°；(2)連接OC,OD,「CDLAB、AB是直徑，AZBOC=2ZA=60°,AZCOD=120°,???弧CBD的長是：1叫了浮180 3(3);OC=OA=1,NBOC=60°,CP=OC?sin60°=lOP=OOcos60°」,2 2 2CD=2CP=.3，【點(diǎn)評(píng)】本題考查扇形面積的計(jì)算、垂徑定理、圓周角定理、弧長計(jì)算，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找

出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．拓展點(diǎn)三：陰影部分的面積的計(jì)算例1.如圖所示，扇形AOB的圓心角為120。，半徑為2,則圖中陰影部分的面積為—里上班_.3【分析】過點(diǎn)O作ODLAB,先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出/OAD的度數(shù)，由直角三角形的性質(zhì)得出OD的長，再根據(jù)S陰影=S扇形oab一'△AOB進(jìn)行計(jì)算即可?【解答】解：過點(diǎn)O作ODLAB,VZAOB=120°,OA=2OD^^"OA=；x2=1.\ZOAD=^2_AOBOD^^"OA=；x2=1ad=,-'OA2OD2=.-122-12=''1AAB=2AD=23?q_q ?！倍还d衛(wèi)、陰影一,扇形oab^aaob36。 2 3故答案為：絲故答案為：絲【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是扇形面積的計(jì)算及三角形的面積，根據(jù)題意得出S陰影=S扇形0AB-Saaob是解答此題的關(guān)鍵．例2.已知：如圖，AB是。O的直徑，OCLAB,D是CO的中點(diǎn)，DE〃AB,設(shè)。O的半徑為6cm.

(1)求DE的長;(2)求圖中陰影部分的面積.【分析】(1)連接OE,根據(jù)中點(diǎn)的性質(zhì)出去OD,根據(jù)勾股定理求出DE；(2)根據(jù)扇形面積公式、三角形面積公式計(jì)算.【解答】解：(1)連接OE,VD是CO的中點(diǎn)，。O的半徑為6cm,.??OD=goC=3cm,VOCXAB,DE#AB,.??NODE=90°,???DE=ueAd"’3；(2)VOD=￡OC,ZODE=90°,.??NOED=30°,.??NDOE=60°,???圖中陰影部分的面積=里鼻里-2x3^x3=671-2叵(cm2).360 2 2C

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是扇形面積計(jì)算，掌握垂徑定理、扇形面積公式是解題的關(guān)鍵．拓展點(diǎn)四：圓錐的有關(guān)計(jì)算例1.求下列圓錐的體積。（單位：cm）例2.一個(gè)扇形紙片的半徑為30，圓心角為120°．（1）求這個(gè)扇形紙片的面積；（2）若用這個(gè)扇形紙片圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面，求這個(gè)圓錐的底面圓半徑．【分析】（1）直接利用扇形的面積公式計(jì)算即可；（2）根據(jù)扇形的弧長等于圓錐的底面周長列式計(jì)算即可．【解答】解：（1）：扇形紙片的半徑為30,圓心角為120°,???扇形的面積為/3心=300n；（2）設(shè)圓錐底面圓的半徑為r，則2nr耍臉產(chǎn)，解得：r=10，故圓錐的底面半徑為10．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓錐的計(jì)算及扇形的面積的計(jì)算的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是牢固掌握扇形的面積公式和弧長公式，難度不大．拓展點(diǎn)五：運(yùn)動(dòng)型問題例1.已知Rt^ABC,NACB=90°,AC=6,BC=8,△ABC繞AC邊旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)圓錐體，求圓錐體的全面積．【分析】先利用勾股定理計(jì)算出AB=10,再利用圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長和扇形面積公式計(jì)算出圓錐的側(cè)面積，然后加上底面積可得到圓錐的側(cè)面積．解：AB一否鏟10，所以△ABC繞AC邊旋轉(zhuǎn)一周得到的圓錐體的母線長為