隨機(jī)變量及其概率分布 測(cè)模擬試題

隨機(jī)變量及其概率分布【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】1、取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量及其分布列的概念，了解分布列對(duì)于刻畫(huà)隨機(jī)現(xiàn)象的重要性；2、理解超幾何分布及其導(dǎo)出過(guò)程，并能進(jìn)行簡(jiǎn)單的應(yīng)用；3、理解隨機(jī)變量的概率分布，掌握0－1分布，超幾何分布的分布列，并能處理簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題【典型例題】例1：（1）袋中裝有2個(gè)5分硬幣，3個(gè)二分硬幣，5個(gè)一分硬幣，任意抓取3個(gè)，則總面值超過(guò)1角的概率是()A、B、C、D、答案：A。解析：記“總面值超過(guò)1角”為事件A，則。（2）設(shè)隨機(jī)變量X等可能的取值1，2，3，…，n，如果，那么()An=3Bn=4Cn=9Dn=10答案：D。解析：。（3）袋中有10個(gè)球，其中7個(gè)紅球，3個(gè)白球，任意取出3個(gè)，則其中所含白球的個(gè)數(shù)是()A0,1,2B1,2,3C2,3,4D0,1,2,3答案：D。解析：設(shè)所含白球的個(gè)數(shù)為x，則x的可能取值有0，1，2，3。（4）在含有5件次品的100件產(chǎn)品中，任取3件，則取到的次品數(shù)X的分布列為_(kāi)_________。答案：。解析：X—H（3，5，100）。（5）設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布是，為常數(shù)，，則=_________.答案：。解析：由隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)知：，所得。例2:拋擲一顆骰子兩次,定義隨機(jī)變?cè)噷?xiě)出隨機(jī)變量的分布列答案：當(dāng)?shù)谝淮蜗蛏系拿娴狞c(diǎn)數(shù)等于第二次向上的面點(diǎn)數(shù)時(shí),有6種情況,所以,由互斥事件概率公式得,10P所以所求分布列是例3：一個(gè)口袋中裝有大小相同的2個(gè)白球和4個(gè)黑球,采取不放回抽樣方式，從中摸出兩個(gè)小球，求摸得白球的個(gè)數(shù)的分布列.答案：設(shè)摸得白球的個(gè)數(shù)為x，則x可能取0，1，2.x012x012P∴所求分布列是例4：學(xué)校文娛隊(duì)的每位隊(duì)員唱歌、跳舞至少會(huì)一項(xiàng)，已知會(huì)唱歌的有2人，會(huì)跳舞的有5人，現(xiàn)從中選2人．設(shè)為選出的人中既會(huì)唱歌又會(huì)跳舞的人數(shù)，且．(=1\*ROMANI)求文娛隊(duì)的人數(shù)；(=2\*ROMANII)寫(xiě)出的概率分布列．答案：解：設(shè)既會(huì)唱歌又會(huì)跳舞的有x人，則文娛隊(duì)中共有（7-x）人，那么只會(huì)一項(xiàng)的人數(shù)是（7-2x）人．(=1\*ROMANI)∵，∴．即．∴．∴x=2．故文娛隊(duì)共有5人．(=2\*ROMANII)的概率分布列為012P，.【課內(nèi)練習(xí)】1．從甲口袋摸出一個(gè)紅球的概率是，從乙口袋中摸出一個(gè)紅球的概率是，則是()A2個(gè)球不都是紅球的概率B2個(gè)球都是紅球的概率C至少有一個(gè)紅球的概率D2個(gè)球中恰好有1個(gè)紅球的概率答案：C。解析：。2．先后拋擲兩枚均勻的骰子，骰子朝上的點(diǎn)數(shù)分別為X,Y,則滿(mǎn)足的概率是（）ABCD答案：C。解析：由得Y=2X,∴共有(1,2),(2,4),(3,6)這三種情況，∴。3．下面表中列出的是某隨機(jī)變量的分布列的有（）①②X135PX12345PX012…n…P……

③X012…n…P……④（）A.1個(gè)B.2個(gè)個(gè)D.4個(gè)答案：B。解析:離散型隨機(jī)變量的分布列要滿(mǎn)足兩個(gè)性質(zhì):(1)pi≥0，i=1，2，…，n（2）=1用這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)去衡量可得到結(jié)果。①和④是某隨機(jī)變量的分布列；②不是。因?yàn)椴粷M(mǎn)足性質(zhì)(1)；③也不是。因?yàn)閷⒏怕是蠛筒坏扔?，不滿(mǎn)足性質(zhì)(2)。4．盒中有9個(gè)正品和3個(gè)次品零件，每次取出一個(gè)零件，如果取出的次品不再放回，則在取得正品前已取出的次品數(shù)X的可能取值為答案：0，1，2，3。XP5．有甲、乙兩個(gè)箱子，甲箱中有6張卡片，其中有2張寫(xiě)有數(shù)字0，2張寫(xiě)有數(shù)字1，2張寫(xiě)有數(shù)字2；乙箱中有6張卡片，其中3張寫(xiě)有數(shù)字0，2張寫(xiě)有數(shù)字1，1張寫(xiě)有數(shù)字2，如果從甲、乙兩個(gè)箱子中各取一張卡片，設(shè)取出的2張卡片數(shù)字之積為X，則X的分布列為X0124P答案：6．一個(gè)口袋中裝有大小相同的2個(gè)白球和4個(gè)黑球.（1）采取放回抽樣方式，從中摸出兩個(gè)小球，則兩球恰好顏色不同的概率；（2）采取不放回抽樣方式，從中摸出兩個(gè)小球，則兩球恰好顏色不同的概率；（3）采取不放回抽樣方式，從中摸出兩個(gè)小球，則摸得白球至少有一個(gè)的概率。答案：（1）；（2）；（3）。解析：（1）采取放回抽樣方式，每次抽取共6×6=36種方式，而兩球恰好顏色不同，可能第一次是白第二次是黑也可能第一次是黑第二次是白，故兩球顏色恰好不同的概率為；（2）采取不放回抽樣方式，每次抽取共種方式，而兩球顏色恰好不同，共有種方式，故兩球顏色恰好不同的概率為（3）設(shè)摸得白球的個(gè)數(shù)為X，則X可能取0，1，2.7某單位要在甲、乙、丙、丁人中安排人分別擔(dān)任周六、周日的值班任務(wù)（每人被安排是等可能的，每天只安排一人），甲、乙兩人中至少有一人被安排的概率是。答案：。解析：“甲、乙兩人中至少有一人被安排”與“甲、乙兩人都不被安排”這兩個(gè)事件是互斥事件，甲、乙兩人都不被安排的情況包括：“丙丁”，“丁丙”兩種，則“甲、乙兩人都不被安排”的概率為甲、乙兩人中至少有一人被安排（記為事件A）的概率：．8．從分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，7，8，9的9張卡片中任取2張，則兩數(shù)之和是奇數(shù)的概率是________________.答案：。解析：兩個(gè)奇數(shù)之和為偶數(shù)，兩個(gè)偶數(shù)之和為偶數(shù)。故所取兩個(gè)數(shù)一個(gè)是奇數(shù)，一個(gè)是偶數(shù)，從而9．已知8支球隊(duì)中有3支弱隊(duì)，以抽簽方式將這8支球隊(duì)分為A、B兩組，每組4支.求：（Ⅰ）A、B兩組中有一組恰有兩支弱隊(duì)的概率；（Ⅱ）A組中至少有兩支弱隊(duì)的概率.答案：（Ⅰ）解法一：三支弱隊(duì)在同一組的概率為故有一組恰有兩支弱隊(duì)的概率為解法二：有一組恰有兩支弱隊(duì)的概率（Ⅱ）解法一：A組中至少有兩支弱隊(duì)的概率解法二：A、B兩組有一組至少有兩支弱隊(duì)的概率為1，由于對(duì)A組和B組來(lái)說(shuō)，至少有兩支弱隊(duì)的概率是相同的，所以A組中至少有兩支弱隊(duì)的概率為10．交5元錢(qián)，可以參加一次摸獎(jiǎng)。一袋中有同樣大小的球10個(gè)，其中有8個(gè)標(biāo)有1元錢(qián)，2個(gè)標(biāo)有5元錢(qián)，摸獎(jiǎng)?wù)咧荒軓闹腥稳?個(gè)球，他所得獎(jiǎng)勵(lì)是所抽2球的錢(qián)數(shù)之和（設(shè)為ξ），求抽獎(jiǎng)人獲利的數(shù)學(xué)期望。答案：因?yàn)棣螢槌榈降?球的錢(qián)數(shù)之和，則ξ可能取的值為2，6，10.且P(ξ=2)=P(ξ=6)=P(ξ=10)=∴Eξ=2×+6×+10×==，又設(shè)η為抽獎(jiǎng)?wù)攉@利的可能值，則η=ξ-5，所以抽獎(jiǎng)?wù)攉@利的數(shù)學(xué)期望為Eη=E(ξ-5)=Eξ-5=-5=-答：抽獎(jiǎng)人獲利的期望為-?！咀鳂I(yè)本】A組1．有3張獎(jiǎng)券，其中2張可中獎(jiǎng)，現(xiàn)3個(gè)人按順序依次從中抽一張，小明最后抽，則他抽到中獎(jiǎng)券的概率是（ ）A、 B、 C、 D、答案：C。解析：抽簽不分先后。3張獎(jiǎng)券的排布情況為：（中，中，不中），（中，不中，中），（不中，中，中）。2．設(shè)某項(xiàng)試驗(yàn)的成功率是失敗率的2倍，用隨機(jī)變量描述一次該項(xiàng)試驗(yàn)的成功次數(shù)，則等于（）A．0B．C．D．答案：B。解析：1-=2，即=。3．盒中有4個(gè)白球，5個(gè)紅球，從中任取3個(gè)球，則抽出1個(gè)白球和2個(gè)紅球的概率是（）A、B、C、D、答案：C。解析：。也可設(shè)抽到白球數(shù)為X，則X—H（3，4，9），。4．某商場(chǎng)舉行抽獎(jiǎng)活動(dòng)，從裝有編號(hào)為0,1，2，3四個(gè)小球的抽獎(jiǎng)箱中同時(shí)抽出兩個(gè)小球，兩個(gè)小球號(hào)碼相加之和等于5中一等獎(jiǎng)，等于4中二等獎(jiǎng)，等于3中三等獎(jiǎng).則中三等獎(jiǎng)的概率為；中獎(jiǎng)的概率為。答案：。解析：兩個(gè)小球號(hào)碼相加之和等于3中三等獎(jiǎng)，兩個(gè)小球號(hào)碼相加之和不小于3中獎(jiǎng)，設(shè)“中三等獎(jiǎng)”的事件為A，“中獎(jiǎng)”的事件為B,從四個(gè)小球任選兩個(gè)共有(0,1),(0,2),(0,3),(1,2),(1,3),(2,3)六種不同的方法.兩個(gè)小球號(hào)碼相加之和等于3的取法有2種：、，故.兩個(gè)小球號(hào)碼相加之和等于1的取法有1種：；兩個(gè)小球號(hào)碼相加之和等于2的取法有1種：；故.5．小明、小華用4張撲克牌（分別是黑桃2、黑桃4，黑桃5、梅花5）玩游戲，他們將撲克牌洗勻后，背面朝上放在桌面上，小明先抽，小華后抽，抽出的牌不放回，各抽一張。小明、小華約定：若小明抽到的牌的牌面數(shù)字比小華的大，則小明勝，反之，則小明負(fù)，你認(rèn)為這個(gè)游戲是否公平，說(shuō)明你的理由。答案：小明獲勝的情況有：（4，2）、（5，4）、（5，4）、（5，2）、（5，2）故小明獲勝的概率為：，因?yàn)?，所以不公平?．由經(jīng)驗(yàn)得知：在人民商場(chǎng)付款處排隊(duì)等候付款的人數(shù)X及其概率分布表如下：X012345Pa(1)求至多2人排隊(duì)的概率；（2）求至少2人排隊(duì)的概率。答案：（1）由已知得:a=故至多2人排隊(duì)的概率為（2）至少2人排隊(duì)的概率為7．已知10件產(chǎn)品中有2件是次品.任意取出4件產(chǎn)品作檢驗(yàn)，求其中恰有1件是次品的概率.(2)為了保證使2件次品全部檢驗(yàn)出的概率超過(guò)，至少應(yīng)抽取幾件產(chǎn)品作檢驗(yàn)？答案：(1)取出4件產(chǎn)品中有X件是次品，則X～H(4,2,10)P(X=k)=,k=0,1,(X=1)=.(2)設(shè)抽取件產(chǎn)品作檢驗(yàn)，則，，得：，即故至少應(yīng)抽取8件產(chǎn)品才能滿(mǎn)足題意.8．在一個(gè)盒子中，放有標(biāo)號(hào)分別為，，的三張卡片，現(xiàn)從這個(gè)盒子中，有放回地先后抽得兩張卡片的標(biāo)號(hào)分別為、，記．（Ⅰ）求隨機(jī)變量的最大值，并求事件“取得最大值”的概率；（Ⅱ）求隨機(jī)變量的分布列．答案：（Ⅰ）、可能的取值為、、，，，，且當(dāng)或時(shí)，．因此，隨機(jī)變量的最大值為．有放回抽兩張卡片的所有情況有種，．答：隨機(jī)變量的最大值為3，事件“取得最大值”的概率為．（Ⅱ）的所有取值為．時(shí)，只有這一種情況，時(shí)，有或或或四種情況，時(shí)，有或兩種情況．，，．則隨機(jī)變量的分布列為：.B組1．4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽，設(shè)隨機(jī)變量表示所選三人中女生人數(shù)，則所選三人中女生人數(shù)的概率為（ ）A．B．C．D．答案：D。解析：2．袋中裝有35個(gè)球，每個(gè)球上都標(biāo)有1到35的一個(gè)號(hào)碼，設(shè)號(hào)碼為n的球重克，這些球等可能的從袋中被取出，如果任取1球，則其重量大于號(hào)碼數(shù)的概率為（）A．B．C．D．答案：D。解析：（1）由>n可得，由于共30個(gè)數(shù)，故。3．在15個(gè)村莊中有6個(gè)村莊交通不便?，F(xiàn)從中任意選取10個(gè)村莊，其中有x個(gè)村莊交通不便。下列概率中等于的是（）A、B、C、D、答案：A。解析：X—H（10，6，15），故4．已知一盒子中有散落的圍棋棋子10粒，其中7粒黑子，3粒白子，從中任意取出3粒，若表示取得白子的個(gè)數(shù)，則P（=2）等于_________.答案：。解析：～H（3，3，10），故P（=2）=。5．在教室內(nèi)有10個(gè)學(xué)生，分別佩帶著從1號(hào)到10號(hào)的校徽，任意取3人記錄其?；盏奶?hào)碼，則3個(gè)號(hào)碼中至多有一個(gè)是偶數(shù)的概率為。答案：。解析選出3個(gè)號(hào)碼中至多有一個(gè)是偶數(shù)，包括沒(méi)有偶數(shù)和恰有一個(gè)偶數(shù)兩種情況，共有種.所以滿(mǎn)足條件的概率為6．某小組有7個(gè)同學(xué)，其中4個(gè)同學(xué)從來(lái)沒(méi)有參加過(guò)數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)活動(dòng)，3個(gè)同學(xué)曾經(jīng)參加過(guò)數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)活動(dòng).（Ⅰ）現(xiàn)從該小組中任選2個(gè)同學(xué)參加數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)活動(dòng)，求恰好選到1個(gè)曾經(jīng)參加過(guò)數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)活動(dòng)