常微分線性微分方程的一般理論

常微分線性微分方程的一般理論第1頁(yè)，共120頁(yè)，2023年，2月20日，星期四理解高階齊次線性方程解的性質(zhì)和解的結(jié)構(gòu)理解高階非齊次線性方程解的性質(zhì)和解的結(jié)構(gòu)本節(jié)要求第2頁(yè)，共120頁(yè)，2023年，2月20日，星期四n

階線性微分方程一般形式：其中是區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)。稱它為n階齊次線性微分方程，而方程（4.1）為n階非齊次線性微分方程。4.1.1引言

n

階微分方程一般形式：第3頁(yè)，共120頁(yè)，2023年，2月20日，星期四方程（4.1）的解的存在唯一性定理:上，且滿足初始條件：定理1及都是區(qū)間則對(duì)于任一及任意的方程（4.1）存在，定義于區(qū)間上的連續(xù)函數(shù),唯一解如果第4頁(yè)，共120頁(yè)，2023年，2月20日，星期四4.1.2齊線性方程解的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)

定理2

（疊加原理）如果則它們的線性組合的解，這里是任意常數(shù)。是方程（4.2）也是（4.2）的k個(gè)解，例有解第5頁(yè)，共120頁(yè)，2023年，2月20日，星期四證明第6頁(yè)，共120頁(yè)，2023年，2月20日，星期四問(wèn)題：時(shí)，若能否成為方程（4.2）的通解？不一定不包含解要使為方程（4.2）的通解還需滿足一定的條件。當(dāng)是齊線性方程的解，如在上例中第7頁(yè)，共120頁(yè)，2023年，2月20日，星期四函數(shù)線性無(wú)關(guān)和相關(guān)定義在上的函數(shù)，如果存在使得恒等式不全為零的常數(shù)對(duì)所有成立，稱這些函數(shù)是線性相關(guān)的，否則稱是線性無(wú)關(guān)的。如上線性無(wú)關(guān)上線性相關(guān)上線性無(wú)關(guān)要使得則第8頁(yè)，共120頁(yè)，2023年，2月20日，星期四定義在區(qū)間上的k個(gè)可微k-1次的函數(shù)所作成的行列式稱為這些函數(shù)的伏朗斯基行列式。伏朗斯基行列式第9頁(yè)，共120頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

定理3在區(qū)間上線性相關(guān)，上它們的伏朗斯基行列式。則在證明由假設(shè)，即知存在一組不全為零的常數(shù)（4.6）（4.7）使得依次對(duì)t微分此恒等式，得到若函數(shù)的齊次線性代數(shù)方程組，關(guān)于第10頁(yè)，共120頁(yè)，2023年，2月20日，星期四它的系數(shù)行列式方程存在非零解的充要條件是系數(shù)行列式必須為零，即由線性代數(shù)理論證畢其逆定理是否成立？例如：即由其構(gòu)成的伏朗斯基行列式為零，但它們也可能是線性無(wú)關(guān)的。不一定第11頁(yè)，共120頁(yè)，2023年，2月20日，星期四故是線性無(wú)關(guān)的。第12頁(yè)，共120頁(yè)，2023年，2月20日，星期四如果方程(4.2)的解在區(qū)間上線性無(wú)關(guān)，則任何點(diǎn)上都不等于零，即在這個(gè)區(qū)間的定理4設(shè)有某個(gè)，使得考慮關(guān)于的齊次線性代數(shù)方程組證明

反證法（4.9）第13頁(yè)，共120頁(yè)，2023年，2月20日，星期四其系數(shù)行列式，故（4.9）有非零解構(gòu)造函數(shù)根據(jù)疊加原理，是方程（4.2）的解，且滿足初始條件由解的唯一性知，即因?yàn)椴蝗珵?，與的假設(shè)矛盾。（4.10）另也是方程(4.2)的解，線性無(wú)關(guān)證畢也滿足初始條件（4.10）第14頁(yè)，共120頁(yè)，2023年，2月20日，星期四定理5

n

階齊線性方程(4.2)一定存在n個(gè)線性無(wú)關(guān)的解，線性相關(guān)定理4定理3重要結(jié)論方程(4.2)的解在區(qū)間上線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是且任意n+1個(gè)解都線性相關(guān)。證明在上連續(xù)，取則滿足條件存在唯一。第15頁(yè)，共120頁(yè)，2023年，2月20日，星期四線性無(wú)關(guān)。即齊線性方程(4.2)一定存在n個(gè)線性無(wú)關(guān)的解。任取方程(4.2)的n+1個(gè)解，第16頁(yè)，共120頁(yè)，2023年，2月20日，星期四任意n+1個(gè)解都線性相關(guān)。第17頁(yè)，共120頁(yè)，2023年，2月20日，星期四引理方程(4.2)的解組在上是線性無(wú)關(guān)(相關(guān))的，當(dāng)且僅當(dāng)由它們構(gòu)造的向量函數(shù)組在上是線性無(wú)關(guān)(相關(guān))第18頁(yè)，共120頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

定理6（通解結(jié)構(gòu)）其中是任意常數(shù)，且通解（4.11）是方程（4.2）的n個(gè)線性無(wú)關(guān)的解，則方程（4.2）的通解可表為（4.11）包括方程（4.2）的所有解。方程(4.2)的一組n個(gè)線性無(wú)關(guān)解稱為它的一個(gè)基本解組。如果n

階齊線性方程的所有解構(gòu)成一個(gè)n維線性空間。第19頁(yè)，共120頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例

已知方程，求它的基本解組？并寫出它的通解。分析：試探方法求其基本解組。則原方程的通解為第20頁(yè)，共120頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

4.1.3非齊線性方程與常數(shù)變易法

性質(zhì)1

如果是方程（4.1）的解，而（4.2）的解，則性質(zhì)2

方程（4.1）的任意兩個(gè)解之差必為方程（4.2）的解。是方程也是方程（4.1）的解。第21頁(yè)，共120頁(yè)，2023年，2月20日，星期四是任意常數(shù)，且通解（4.14）包括定理7為方程（4.2）的基本解組，是方程（4.1）的某一解，則方程（4.1）的通解為其中（4.14）設(shè)方程（4.1）的所有解。證明1)（4.14）一定是方程（4.1）的解，且含有n個(gè)獨(dú)立的任意常數(shù)，是通解。2)是方程（4.1）的任一個(gè)解，則是方程（4.2）的解證畢第22頁(yè)，共120頁(yè)，2023年，2月20日，星期四由定理可知：要求解非齊線性方程，只需要知道它的一個(gè)解和對(duì)應(yīng)的齊線性方程的基本解組。只要知道對(duì)應(yīng)的齊線性方程的基本解組就可以利用常數(shù)變易法求得非齊線性方程的解。一階非齊線性微分方程求解中常數(shù)變易法的精神實(shí)質(zhì)是什么？提問(wèn)：為了尋找，只要再找n-1個(gè)限制條件即可，而這些條件在理論上是任意取的，當(dāng)然以運(yùn)算上“方便”為前提。適當(dāng)選取方法，就可得到一關(guān)于的線性方程組，進(jìn)而利用求解線性方程組的方法可求得。第23頁(yè)，共120頁(yè)，2023年，2月20日，星期四設(shè)為方程（4.2）的基本解組，為（4.2）的通解。（4.15）（4.16）非齊線性方程齊線性方程非齊線性方程通解特解基解組表示關(guān)鍵常數(shù)變易法為（4.1）的解。第24頁(yè)，共120頁(yè)，2023年，2月20日，星期四令第25頁(yè)，共120頁(yè)，2023年，2月20日，星期四（4.16）代入方程（4.1）第26頁(yè)，共120頁(yè)，2023年，2月20日，星期四方程組有唯一的解，設(shè)為（4.16）第27頁(yè)，共120頁(yè)，2023年，2月20日，星期四特解通解非齊線性方程的通解等于對(duì)應(yīng)齊次方程的結(jié)構(gòu):通解與自身的一個(gè)特解之和。第28頁(yè)，共120頁(yè)，2023年，2月20日，星期四3、非齊線性方程的求解步驟求對(duì)應(yīng)齊線性方程的一個(gè)基本解組；用常數(shù)變易法求非齊線性方程的通解。方法一求非齊線性方程的一個(gè)特解；求對(duì)應(yīng)的齊線性方程的一個(gè)基本解組；寫出非齊線性方程的通解。方法二常數(shù)變易方法：把對(duì)應(yīng)齊線性方程的通解中任意常數(shù)看成待定函數(shù)，給出n個(gè)限制條件即可求解。第29頁(yè)，共120頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例1

求方程基本解組為，的通解，已知它對(duì)應(yīng)齊線性方程的解解得原方程的通解為令第30頁(yè)，共120頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第31頁(yè)，共120頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例2

求方程于域解對(duì)應(yīng)的齊線性方程為上的所有解。得易見有基本解組這里A、B

為任意常數(shù)。設(shè)為方程的解故得原方程的通解（為任意常數(shù))

第32頁(yè)，共120頁(yè)，2023年，2月20日，星期四作業(yè)：P.131，第1，2，3（3，5），4，5，6，7題練習(xí)題，并求方程的基本解組為1驗(yàn)證的通解。2求方程方程的基本解組為，的通解，已知它對(duì)應(yīng)齊線性思考題常數(shù)變易法中待定函數(shù)的條件如何選擇？第33頁(yè)，共120頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

關(guān)于線性微分方程的通解結(jié)構(gòu)問(wèn)題，從理論上說(shuō)，已經(jīng)解決了，但是，求方程通解的方法還沒(méi)有具體給出。事實(shí)上，對(duì)于一般的線性微分方程是沒(méi)有普遍解法的。但通過(guò)尋求一些特殊類型方程的解法對(duì)求解一般方程的解還是有幫助和啟發(fā)的。所以，介紹求解問(wèn)題能夠徹底解決的一類方程——常系數(shù)線性微分方程及可以化為這一類型的方程；同時(shí)將看到，為了求得常系數(shù)齊次線性微分方程的通解，只須解一個(gè)代數(shù)方程而不必通過(guò)積分運(yùn)算。對(duì)于某些特殊的非齊線性微分方程也可以通過(guò)代數(shù)運(yùn)算和微分運(yùn)算求得它的通解。以及注意到物理問(wèn)題提供微分方程很直觀的物理背景，而微分方程為更深刻地理解物理現(xiàn)象提供有力的工具。4.2常系數(shù)線性微分方程的解法第34頁(yè)，共120頁(yè)，2023年，2月20日，星期四具體內(nèi)容復(fù)值函數(shù)與復(fù)值解常系數(shù)齊次線性微分方程和歐拉方程非齊次線性微分方程的解法：比較系數(shù)法和拉普拉斯變換法應(yīng)用分析：質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)第35頁(yè)，共120頁(yè)，2023年，2月20日，星期四4.2.1引子:復(fù)值函數(shù)和復(fù)值解1、復(fù)數(shù)及其相等的定義。2、有關(guān)定義：復(fù)值函數(shù)的連續(xù)、可導(dǎo)性等。第36頁(yè)，共120頁(yè)，2023年，2月20日，星期四1、復(fù)值函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)的定義如果，就稱在連續(xù)。如果對(duì)于區(qū)間中的每一實(shí)數(shù)t，有復(fù)數(shù)與它對(duì)應(yīng)，其中和是在區(qū)間上定義的實(shí)函數(shù)，i是虛單位，就說(shuō)在區(qū)間上給定了一個(gè)復(fù)值函數(shù)。如果實(shí)函數(shù)，,當(dāng)t趨于時(shí)有極限,就稱復(fù)值函數(shù)當(dāng)t趨于時(shí)有極限，并且定義第37頁(yè)，共120頁(yè)，2023年，2月20日，星期四復(fù)值函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)的定義：即表示在區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)。注：復(fù)值函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)意為著對(duì)應(yīng)的兩個(gè)實(shí)函數(shù)也在該點(diǎn)連續(xù)。第38頁(yè)，共120頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2、復(fù)值函數(shù)在點(diǎn)有導(dǎo)數(shù)的定義如果極限存在，就稱z(t)在點(diǎn)有導(dǎo)數(shù)（可微）,且記此極限為或者。顯然在處有導(dǎo)數(shù)相當(dāng)于,在處有導(dǎo)數(shù)，且第39頁(yè)，共120頁(yè)，2023年，2月20日，星期四3、復(fù)值函數(shù)的微分運(yùn)算性質(zhì)注意：同實(shí)值函數(shù)的微分運(yùn)算法則一樣。線性性乘積性第40頁(yè)，共120頁(yè)，2023年，2月20日，星期四4、復(fù)指數(shù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)設(shè)是任意一復(fù)數(shù)，這里是實(shí)數(shù)，而為實(shí)變量?；拘再|(zhì)重要性質(zhì)第41頁(yè)，共120頁(yè)，2023年，2月20日，星期四5、復(fù)值解的定義定義于區(qū)間上的實(shí)變量復(fù)值函數(shù)稱為方程（4.1）的復(fù)值解。如果對(duì)于恒成立。第42頁(yè)，共120頁(yè)，2023年，2月20日，星期四定理8：

方程（4.2）的復(fù)值解的實(shí)部和虛部也是對(duì)應(yīng)方程（4.2）的解。定理9：

復(fù)方程的復(fù)值解的實(shí)部和虛部也是方程對(duì)應(yīng)的實(shí)方程和虛方程的解。6、兩個(gè)重要定理第43頁(yè)，共120頁(yè)，2023年，2月20日，星期四問(wèn)題：常系數(shù)線性微分方程的求解常系數(shù)齊線性微分方程的求解-如果？常數(shù)變易法(至少)比較系數(shù)法Laplace變換法有無(wú)其它方法？？?歐拉指數(shù)法第44頁(yè)，共120頁(yè)，2023年，2月20日，星期四4.2.2常系數(shù)齊線性方程和歐拉方程常系數(shù)齊線性方程歐拉（Euler）待定指數(shù)函數(shù)法

特征根是單根的情形有復(fù)根的情形特征根是重根的情形應(yīng)用歐拉方程1、框架第45頁(yè)，共120頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2、常系數(shù)齊線性方程其中是常數(shù)。此時(shí)，稱（4.19）為n階常系數(shù)齊線性方程。若齊線性方程（4.2）的所有系數(shù)都是常數(shù)，即原方程可以寫為如下形式：第46頁(yè)，共120頁(yè)，2023年，2月20日，星期四3、歐拉（Euler）待定指數(shù)函數(shù)法引子：一階微分方程解形式的啟示有指數(shù)形式的解：對(duì)于n階齊線性方程（4.19）是否也有類似形式的解？下面用試探法進(jìn)行討論。提問(wèn)第47頁(yè)，共120頁(yè)，2023年，2月20日，星期四假如有下面形式（4.20）是方程（4.19）的解于是有：要（4.20）是方程（4.2）的解的充要條件為：稱（4.21）是方程（4.19）的特征方程，它的根稱為特征根。第48頁(yè)，共120頁(yè)，2023年，2月20日，星期四求解常系數(shù)線性微分方程問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解一個(gè)代數(shù)方程問(wèn)題。第49頁(yè)，共120頁(yè)，2023年，2月20日，星期四設(shè)是特征方程（4.17）的n個(gè)彼此不相等的根，則相應(yīng)地方程（4.16）有如下n個(gè)解：可以證明這n個(gè)解在區(qū)間上線性無(wú)關(guān)（？），從而組成方程（4.19）的基本解組。如果均為實(shí)數(shù)，則(4.22)是方程(4.19)的n個(gè)線性無(wú)關(guān)的實(shí)值解，而方程(4.19)的通解可表示為:其中為任意常數(shù)。3.1特征根是單實(shí)根的情形第50頁(yè)，共120頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例1

求方程的通解。解：(單實(shí)根)特征方程為：特征根：通解：對(duì)應(yīng)的基本解組：第51頁(yè)，共120頁(yè)，2023年，2月20日，星期四3.2特征根是單虛根的情形設(shè)有單復(fù)根，此時(shí)，由定理8，可以求得實(shí)值解：第52頁(yè)，共120頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例2求方程的通解解：(復(fù)單根)特征方程為：特征根通解對(duì)應(yīng)的基本解組第53頁(yè)，共120頁(yè)，2023年，2月20日，星期四3.3特征根是重根的情形設(shè)特征方程有k重根，由代數(shù)學(xué)基本知識(shí)有：下面分三步來(lái)討論基本解組的構(gòu)成：先討論，此時(shí)，有線性無(wú)關(guān)的函數(shù)組：討論把這種情況通過(guò)變換化為第一種情況。再構(gòu)成線性無(wú)關(guān)的函數(shù)組：第54頁(yè)，共120頁(yè)，2023年，2月20日，星期四特征根的重?cái)?shù)分別為：則有線性無(wú)關(guān)的函數(shù)組：第55頁(yè)，共120頁(yè)，2023年，2月20日，星期四對(duì)于特征方程有復(fù)重根的情況，結(jié)合前面的兩種情況就可以討論了。譬如假設(shè)是k重特征根，則也是k重特征根，仿1一樣處理，將得到方程（15）的2k個(gè)實(shí)值解：第56頁(yè)，共120頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例3求方程的通解特征方程：解：復(fù)重根的情形對(duì)應(yīng)的基本解組：通解：特征根：是2重根。第57頁(yè)，共120頁(yè)，2023年，2月20日，星期四4、歐拉方程定義：形如的方程被稱為歐拉方程。歐拉方程的求解方法是通過(guò)變換變?yōu)槌Ｏ禂?shù)齊線性方程，因而求解問(wèn)題很容易解決。引進(jìn)變換：得到常系數(shù)齊線性微分方程：

利用齊線性方程的求解方法可求得其解，然后帶回變量變換即可完成歐拉方程的求解。第58頁(yè)，共120頁(yè)，2023年，2月20日，星期四及由數(shù)學(xué)歸納法，不難證明其中都是常數(shù)。事實(shí)上，由，有注：如果，則用所得結(jié)果一樣，為方便，設(shè)，但最后結(jié)果應(yīng)以代回。第59頁(yè)，共120頁(yè)，2023年，2月20日，星期四于是對(duì)應(yīng)于歐拉方程（4.23）的齊線性方程有形如的解，從歐拉方程有形如的解。若以代入歐拉方程，得到其對(duì)應(yīng)的特征方程：方程（4.25）的m重實(shí)根，對(duì)應(yīng)于方程（25）的m個(gè)解方程4.25的m重復(fù)根，對(duì)應(yīng)于方程（4.23）的2m個(gè)實(shí)值解歐拉方程的解第60頁(yè)，共120頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例5求解方程解：分析原方程為歐拉方程，于是有：得到確定的代數(shù)方程：方程的通解為其中是任意常數(shù)。特征根為二重實(shí)根：尋找方程的形式解，法一：利用歐拉方程求解過(guò)程進(jìn)行求解；法二：可以直接利用歐拉方程的求解方法求解：第61頁(yè)，共120頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例6求解方程解：分析可知，這個(gè)方程是一個(gè)典型的常系數(shù)齊線性微分方程，于是由歐拉待定指數(shù)方法求解。特征方程為：或特征根為：第62頁(yè)，共120頁(yè)，2023年，2月20日，星期四于是可以寫出這個(gè)方程的一個(gè)基本解組為：于是可以寫出這個(gè)方程的通解為：其中是任意常數(shù)。第63頁(yè)，共120頁(yè)，2023年，2月20日，星期四4.2.3非齊次線性微分方程的解法：比較系數(shù)法和拉普拉斯變換法——求特解考慮常系數(shù)非齊線性方程其實(shí)，該方程（4.26）的求解問(wèn)題已經(jīng)解決，因?yàn)樵谇懊嬉呀?jīng)解決了（4.1）的求解問(wèn)題，即比（4.26）更一般的微分方程（4.1）的通解問(wèn)題是這樣解決的：（常數(shù)變易法）用先求出對(duì)應(yīng)齊線性方程（4.2）的一個(gè)基本解組，然后找出（4.1）的某一個(gè)解，根據(jù)前面的定理7就可以寫出（4.1）的通解。于是也就完成了（4.26）的求解問(wèn)題，只是用常數(shù)變易法來(lái)求解，求解步驟比較繁瑣，并且要用到積分運(yùn)算。（注：大家必須掌握常數(shù)變易法求解高階微分方程，因?yàn)樗鼛в衅毡樾浴＃┑?，在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，往往要解決一些比較簡(jiǎn)單的微分方程，即帶有特殊形式的微分方程，為此，在這里，介紹兩種常用的方法：比較系數(shù)法和拉普拉斯變換法，它們的共同特點(diǎn)是不需要通過(guò)積分而用代數(shù)運(yùn)算方法即可求得非齊線性方程的特解。第64頁(yè)，共120頁(yè)，2023年，2月20日，星期四類型Ⅰ那么，方程（4.26）有形如①如果不是特征根是特征根②如果作變量變換，（4.26）化為特征方程的根對(duì)應(yīng)于（4.27）的特征方程的零根，并且重?cái)?shù)相同。于是利用上面的結(jié)論有：的特解。其中k為特征方程的根的重?cái)?shù)而是待定系數(shù)，可以通過(guò)比較系數(shù)來(lái)確定。一、求特解--比較系數(shù)法第65頁(yè)，共120頁(yè)，2023年，2月20日，星期四①如果不是特征根,取k=0,有如下形式的特解：則比較t的同次冪的系數(shù)，得到常數(shù)應(yīng)滿足的方程組為第66頁(yè)，共120頁(yè)，2023年，2月20日，星期四②如果是k重特征根，即，方程（4.26）將為作變換：，則方程（4.28）化為對(duì)于（4.29），已不是它的特征根。因此，由前面的討論，有形如下列形式的特解。第67頁(yè)，共120頁(yè)，2023年，2月20日，星期四這表明是t的m+k次多項(xiàng)式，其中t的冪次的項(xiàng)帶有任意常數(shù)。但因只需要知道一個(gè)特解就夠了。特別地取這些任意常數(shù)均為零，于是得到方程（4.28）（或方程（4.26））的一個(gè)特解因而方程（4.28）有特解滿足：第68頁(yè)，共120頁(yè)，2023年，2月20日，星期四③如果作變量變換，（4.26）化為特征方程的根對(duì)應(yīng)于（4.27）的特征方程的零根，并且重?cái)?shù)相同。于是利用上面的結(jié)論有：在不是特征方程的根的情形，（4.26）有特解：在是特征方程的根的情形，（4.26）有特解：其中k為重?cái)?shù).第69頁(yè)，共120頁(yè)，2023年，2月20日，星期四利用比較系數(shù)法求解非齊線性常系數(shù)微分方程的一般步驟：1、求對(duì)應(yīng)齊線性常系數(shù)微分方程的特征根；2、分析f(t)的形式；3、判定上述f(t)中的指數(shù)是否為特征根？4、然后利用比較系數(shù)法求得.第70頁(yè)，共120頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例7求解方程解：對(duì)應(yīng)齊線性方程的通解為再求非齊線性方程的一個(gè)特解。這里并且不是特征根，故可取特解形如將代入原方程，得到：比較系數(shù)得原方程的通解為第71頁(yè)，共120頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例8求方程通解分析:主要目的-求一特解。故根據(jù)比較系數(shù)法有特解形如，通過(guò)代入，化簡(jiǎn)求得于是原方程的通解為：這里，且，特征根為：其中正是單特征根:第72頁(yè)，共120頁(yè)，2023年，2月20日，星期四類型Ⅱ設(shè)，其中為常數(shù)，而是帶實(shí)系數(shù)的t的多項(xiàng)式，其中一個(gè)的次數(shù)為m，而另一個(gè)的次數(shù)不超過(guò)m，那么有如下結(jié)論：方程（4.22）有形如的特解。這里k為特征根的重?cái)?shù)，而P(t)，Q(t)均為待定的實(shí)系數(shù)的次數(shù)不高于m關(guān)于t的多項(xiàng)式，可以通過(guò)比較系數(shù)的方法來(lái)確定。第73頁(yè)，共120頁(yè)，2023年，2月20日，星期四的解之和必為方程（4.26)的解。與則根據(jù)非齊線性方程的疊加原理有：通過(guò)分析,（4.26）有解形如：改寫f(t)的形式如下其中第74頁(yè)，共120頁(yè)，2023年，2月20日，星期四利用非齊線性方程的疊加原理和類型I類型II的求解思想注意：正確寫出特解形式是待定系數(shù)法的關(guān)鍵問(wèn)題。第75頁(yè)，共120頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例9求方程通解解：很容易求得原方程對(duì)應(yīng)齊線性方程的通解為：再求非齊線性方程的一個(gè)特解。因?yàn)椴皇翘卣鞲?，求形如的特解，將它代入原方程并化?jiǎn)得到通過(guò)比較同類項(xiàng)的系數(shù)，得到原方程的通解：第76頁(yè)，共120頁(yè)，2023年，2月20日，星期四類型Ⅱ的特殊情形例10用復(fù)數(shù)法求解例9解：由例9已知對(duì)應(yīng)齊線性方程的通解為：為求非齊線性方程的一個(gè)特解,先求方程的特解。這屬于類型Ⅰ，而2i不是特征根，故可設(shè)特解為：將它代入方程并消去因子得，因而，由定理9，這是原方程的特解，于是原方程的通解為于是：復(fù)數(shù)法求解第77頁(yè)，共120頁(yè)，2023年，2月20日，星期四二、拉普拉斯變換法定義（拉普拉斯變換）：由積分

設(shè)給定微分方程及初始條件其中是常數(shù)，而f(t)為連續(xù)函數(shù)且滿足原函數(shù)的條件。所定義的確定于復(fù)平面上的復(fù)變數(shù)s的函數(shù)F(s)，稱為函數(shù)的拉普拉斯變換，其中于有定義，且滿足不等式這里為某兩個(gè)正常數(shù)，將稱為原函數(shù)，而稱F(s)為象函數(shù)。第78頁(yè)，共120頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

拉普拉斯變換法主要是借助于拉普拉斯變換把常系數(shù)線性微分方程（組）轉(zhuǎn)換成復(fù)變數(shù)的代數(shù)方程（組）。通過(guò)一些代數(shù)運(yùn)算，一般地利用拉普拉斯變換表，很容易求出微分方程（組）的解。方法十分簡(jiǎn)單，為工程技術(shù)人員所普遍采用。當(dāng)然，方法本身也有一定的局限性，它要求所考察的微分方程的右端函數(shù)必須是原函數(shù)，否則方法就不再適用了。第79頁(yè)，共120頁(yè)，2023年，2月20日，星期四那么，按原函數(shù)微分性質(zhì)有可以證明，如果函數(shù)是方程（4.22）的任意解，則x(t)及其各階導(dǎo)數(shù)均是原函數(shù)。記第80頁(yè)，共120頁(yè)，2023年，2月20日，星期四于是，對(duì)方程（4.22）兩端施行拉普拉斯變換,并利用線性性質(zhì)得到這就是方程（4.22）的滿足所給定初始條件的解的象函數(shù)。即或第81頁(yè)，共120頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例11求方程滿足初始條件的解。解：對(duì)方程兩端施行拉普拉斯變換，得到方程的解的象函數(shù)所滿足的方程：所以，利用初始條件有：直接利用拉普拉斯變換表，可得的原函數(shù)分別是。因此，利用拉普拉斯變換的線性性質(zhì)得的原函數(shù)為即為原方程的解。第82頁(yè)，共120頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例12

求解方程解：由于初始條件不在零點(diǎn)，所以先作平移變換：于是有再對(duì)新方程施行拉普拉斯變換，得到還原變量代換得原方程的通解：有于是第83頁(yè)，共120頁(yè)，2023年，2月20日，星期四借助于拉普拉斯變換把常系數(shù)線性微分方程（組）轉(zhuǎn)換成復(fù)變數(shù)S的代數(shù)方程（組）。優(yōu)點(diǎn)：通過(guò)一些代數(shù)運(yùn)算，一般地再利用拉普拉斯變換表，即可求出微分方程（組）的解。方法簡(jiǎn)便，為工程技術(shù)工作者所普遍采用。缺點(diǎn)：要求微分方程右端的函數(shù)是一個(gè)原函數(shù)(滿足條件（*）)。拉普拉斯變換法的主要思想注意：拉普拉斯變換存在是有條件的。第84頁(yè)，共120頁(yè)，2023年，2月20日，星期四§4.3高階微分方程的降階和冪級(jí)數(shù)解法

第85頁(yè)，共120頁(yè)，2023年，2月20日，星期四一、可降階的一些方程類型

n階微分方程的一般形式:

1不顯含未知函數(shù)x,或更一般不顯含未知函數(shù)及其直到k-1(k>1)階導(dǎo)數(shù)的方程是若能求得(4.58)的通解對(duì)上式經(jīng)過(guò)k次積分,即可得(4.57)的通解即第86頁(yè)，共120頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

解題步驟:第一步:第二步:求以上方程的通解即第三步:對(duì)上式求k次積分,即得原方程的通解第87頁(yè)，共120頁(yè)，2023年，2月20日，星期四解令則方程化為這是一階方程,其通解為即有對(duì)上式積分4次,得原方程的通解為例1第88頁(yè)，共120頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

2不顯含自變量t的方程,

一般形式:因?yàn)榈?9頁(yè)，共120頁(yè)，2023年，2月20日，星期四用數(shù)學(xué)歸納法易得:將這些表達(dá)式代入(4.59)可得:即有新方程它比原方程降低一階第90頁(yè)，共120頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

解題步驟:第一步:第二步:求以上方程的通解第三步:解方程即得原方程的通解第91頁(yè)，共120頁(yè)，2023年，2月20日，星期四解令則方程化為從而可得及這兩方程的全部解是例2再代回原來(lái)變量得到所以得原方程的通解為第92頁(yè)，共120頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

3已知齊線性方程的非零特解,進(jìn)行降階的非零解令則代入(4.69)得即第93頁(yè)，共120頁(yè)，2023年，2月20日，星期四引入新的未知函數(shù)方程變?yōu)槭且浑A線性方程,解之得因而則第94頁(yè)，共120頁(yè)，2023年，2月20日，星期四因此(4.69)的通解為第95頁(yè)，共120頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

解題步驟:第一步:第二步:解之得即第96頁(yè)，共120頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第三步:第四步:(4.69)的通解為注一般求(4.69)的解直接用公式(4.70)第97頁(yè)，共120頁(yè)，2023年，2月20日，星期四解這里由(4.70)得例3第98頁(yè)，共120頁(yè)，2023年，2月20日，星期四代入(4.2)得第99頁(yè)，共120頁(yè)，2023年，2月20日，星期四事實(shí)上第100頁(yè)，共120頁(yè)，2023年，2月20日，星期四若則即因此,對(duì)(4.67)仿以上做法,第101頁(yè)，共120頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第102頁(yè)，共120頁(yè)，2023年，2月20日，星期四二、二階線性方程的冪級(jí)數(shù)解法對(duì)二階變系數(shù)齊線性方程其求解問(wèn)題,歸結(jié)為尋求它的一個(gè)非零解.下面考慮該方程及初始條件用級(jí)數(shù)表示解?第103頁(yè)，共120頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例

求方程的滿足初始條件y(0)=0的解。解：分析：設(shè)y可以表示成級(jí)數(shù)形式：為方程的解，這里是待定系數(shù)，由此有將

的表達(dá)式代入方程，并比較x的同次冪的系數(shù)，得到第104頁(yè)，共120頁(yè)，2023年，2月20日，星期四及y(0)=0，就有,利用數(shù)學(xué)歸納法可以推得，一般地代入（4.71）得這就是所求的解。事實(shí)上，方程是一階線性的，容易求得它的通解而由條件y(0)=0,確定常數(shù)c=-1，即得方程的解為。第105頁(yè)，共120頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例

求方程的滿足初始條件y(0)=0的解。解：以代入原方程并比較的同次冪的系數(shù)。并利用初始條件，有于是有此級(jí)數(shù)對(duì)任何都是發(fā)散的，故，所給問(wèn)題沒(méi)有形如假設(shè)形式的級(jí)數(shù)解。第106頁(yè)，共120頁(yè)，2023年，2月20日，星期四注意：并不是所有的微分方程的解都能表示成x的冪級(jí)數(shù)形式，它們或者因?yàn)榧?jí)數(shù)的系數(shù)無(wú)法確定，或者因?yàn)樗眉?jí)數(shù)不收斂。究竟方程應(yīng)該滿足什么條件才能保證它的解可用冪級(jí)數(shù)來(lái)表示？級(jí)數(shù)的形式如何？其收斂區(qū)間如何？等等這些問(wèn)題，在微分方程解析理論中有完滿的解答，在此不作介紹?？蓞㈤喨~彥謙翻譯的《高等數(shù)學(xué)教程》第三卷第三分冊(cè)第五章。這里只提一下Bessel方程和Bessel函數(shù)。第107頁(yè)，共120頁(yè)，2023年，2月20日，星期四定理10第108頁(yè)，共120頁(yè)，2