序言演示文稿

序言演示文稿第1頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四明德厚學求是創(chuàng)新明白做人做事的道理和規(guī)則接受、傳承知識誠實、守信（敢為人先，做別人沒做的事）（前提）（基礎）（關鍵）（目的）（樹立正確世界觀、人生觀、價值觀）(樹立終生教育理念)(尊重事實、尊重科學)前進、發(fā)展第2頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四序言一、什么是數(shù)學？二、數(shù)學的特點三、什么是微積分學？四、微積分發(fā)展簡史五、學什么？怎么學？六、微積分學的主要內(nèi)容第3頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四一、什么是數(shù)學純數(shù)學是以現(xiàn)實世界的空間的形式和數(shù)量的關系為數(shù)學是研究現(xiàn)實世界中數(shù)量關系和空間形式的科學。是人類從自身的實際生活和科學研究的實踐中抽象出來的一門學科。

和其他所有科學一樣，數(shù)學是從人們的實際需要中對象的。這些資料表現(xiàn)于非常抽象的形式之中，這一事實只能表面地掩蓋它的來自現(xiàn)實世界的根源。產(chǎn)生的。第4頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四

數(shù)學是一切事物的本質,整個有規(guī)律的宇宙的組成,就是數(shù)以及數(shù)的關系和諧系統(tǒng)?！?/p>

畢達哥拉斯

和所有其他的思維領域一樣，從現(xiàn)實中抽象出來的規(guī)律，在一定的發(fā)展階段上就和現(xiàn)實世界相脫離，并且作為某種好似獨立的東西，好似從外面來的規(guī)律而與之相對立……僅僅因為如此，數(shù)學才能被一般地應用?！?/p>

恩格斯第5頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四

數(shù)學是一個重要的工具，比任何其他由于人的作用而得來的知識工具更為有力，因而他是所有其他知識工具的源泉。

數(shù)學是美的原型。數(shù)學是無窮的科學。數(shù)學的本質在于它的自由。——

笛卡爾——

開普勒——

赫爾曼外爾——

康托第6頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四

數(shù)學之所以在靈活性和重要性上遠遠超過那些依賴

哲學（自然）是寫在那本永遠在我們眼前的偉大書于它的科學，是因為它完全包括了這些科學的研究對象和許許多多的別的東西。——

笛卡爾本里的——我指的是宇宙，但是，我們?nèi)绻幌葘W會書里所用的語言，掌握書里的符號就不能了解它。這書是用數(shù)學語言寫出的，符號是三角形、圓形和別的幾何圖象，沒有它們的幫助，是連一個字也不會認識的；沒有它們，人就在一個黑暗的迷宮里勞而無功地游蕩著。——

伽利略第7頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四數(shù)學由一種“工具”一種“思維模式”；數(shù)學由一門“知識”一種“素養(yǎng)”；數(shù)學由一門“科學”一種“文化”。

數(shù)學是這樣一種東西：她提醒您有無限的靈魂，她賦予她所發(fā)現(xiàn)的真理以生命；她喚起心神，澄清智慧；她給我們的內(nèi)心思想添輝；她滌盡我們有生以來的蒙昧與無知。

——普瑞克斯第8頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四綜上所述：

能否運用數(shù)學觀念定量思維，是衡量一個民族科學文化素質的重要標志。在人類面向數(shù)字化時代的今天，數(shù)學教育在培養(yǎng)高素質科技人材中具有獨特的不可替代的重要作用。第9頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四二、數(shù)學的特點高度抽象性與本質客觀性；邏輯嚴密性與條件可變性；結構層次性與思維科學性；應用靈活性與結果可信性。第10頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四三、什么是微積分（高等數(shù)學）初等數(shù)學：

研究對象為常量，用靜止觀點研究問題高等數(shù)學：

研究對象為變量，以動態(tài)和辯證的思維研究問題笛卡兒的變量是數(shù)學中的轉折點.有了變量,運動進入了數(shù)學,有了變量，辯證法進入了數(shù)學,有了有了變量,微分和積分也就立刻成為必恩格斯的了,而它們也就立刻產(chǎn)生.

微積分是關于運動和變化的數(shù)學。那里有運動或增長、變力作功產(chǎn)生的加速度，那里要用到的數(shù)學就是微積分。微積分開創(chuàng)的初期是這樣，今天仍然是這樣。第11頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四四、微積分發(fā)展簡史1.

微積分思想萌芽

戰(zhàn)國時期名家的代表作《莊子?天下篇》惠施的一段話：

“

一尺之錘，日取其半，

劉徽生于公元250年左右，東漢三國后期魏國人，是中國古代杰出的數(shù)學家，也是中國古典數(shù)學理論的奠基者之一．劉徽在《九章算術注》的“割圓術”：

“

割之彌細，所失彌少，割萬世不竭?！?/p>

之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣?！?/p>

第12頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四安提芬(Antiphon）歐多克斯（EudoxusofCnidus)“窮竭法”古希臘早期十大最偉大的演說家之一

公元前（480-403）

公元前（408-355）

古希臘天文學家和數(shù)學家第13頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四名言：

“給我一個支點，我能撬動地球”

阿基米德(Archimedes）（約公元前287～212）

古希臘著名的數(shù)學家、物理學家，靜力學和流體靜力學的奠基人。借助于窮竭法解決了一系列幾何圖形的面積、體積計算問題。他的方法通常被稱為“平衡法”，實質上是一種原始的積分法。

除了偉大的牛頓和偉大的愛因斯坦，再沒有一個人象阿基米德那樣為人類的進步做出過這樣大的貢獻。即使牛頓和愛因斯坦也都曾從他身上汲取過智慧和靈感。第14頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四2.

十七世紀微積分的醞釀

微積分思想真正的迅速發(fā)展與成熟是在16世紀以后。

1400年至1600年的歐洲文藝復興，使得整個歐洲全面覺醒。一方面，社會生產(chǎn)力迅速提高，科學和技術得到迅猛發(fā)展；另一方面，社會需求的急需增長，也為科學研究提出了大量的問題。這一時期，對運動與變化的研究已變成自然科學的中心問題，以常量為主要研究對象的古典數(shù)學已不能滿足要求，科學家們開始由對以常量為主要研究對象的研究轉移到以變量為主要研究對象的研究上來，自然科學開始邁入綜合與突破的階段。

第15頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四

微積分的創(chuàng)立，首先是為了處理十七世紀的一系列主要的科學問題：(2)望遠鏡的設計需要確定透鏡曲面上任意一點的法線求任意曲線切線的連續(xù)變化問題。(1)如何確定非勻速運動物體的速度與加速度及瞬時變化率問題。(3)確定炮彈的最大射程及尋求行星軌道的近日點與遠日點等涉及的函數(shù)極大值、極小值問題。(4)行星沿軌道運動的路程、行星矢徑掃過的面積以及物體重心與引力的計算等。第16頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四

這一時期的幾位科學大師及其工作：

約翰尼斯·開普勒

（JohannesKepler）

（公元：1571-1630)

牛頓曾說過：“如果說我比別人看得遠些的話，是因為我站在巨人的肩膀上?！遍_普勒無疑是他所指的巨人之一。

德國天文學家、數(shù)學家。他用無數(shù)個同維無限小元素之和來確定曲邊形的面積及旋轉體的體積。第17頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四

卡瓦列里(B.Cavalieri）（公元：1598-1647

)

的基本結果，使早期積分突破體積計算的現(xiàn)實原型而向一般算法過渡。

Galileo的學生，意大利數(shù)學家，積分學先驅者之一。

他認為：“兩個等高的立體，如果它們的平行于底面且離開底面有相等距離的截面積之比為定值，那么這兩個立體的體積之間也有同樣的比”，利用這個原理他建立了等價于下列積分：第18頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四

伊薩克·

巴羅

(IsaacBarrow

）（公元：1630一1677)

十七世紀英國最著名的科學家和數(shù)學家，牛頓的老師。精于數(shù)學

和光學，對幾何學頗有建樹。巴羅與“微分三角形”：

該方法給出了求曲線切線的方法，這對于他的學生牛頓完成微積分理論起到了重要作用。第19頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四

（ReneDescartes）（公元：1596-1650

）勒奈·

笛卡爾

法國杰出的近代哲學家、一流的物理學家、近代生物學的奠基人、但只偶然的是位數(shù)學家。解析幾何的創(chuàng)始人。笛卡兒、費爾馬和坐標方法：

他們用代數(shù)方法處理問題，對推動微積分的早期發(fā)展產(chǎn)生了很大的影響，牛頓就是以此為起跑點而踏上研究微積分的道路。第20頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四

費爾馬

(PierredeFermat）

（公元：1601～1665）對費爾馬的評價：費爾馬一生從未受過專門的數(shù)學教育，數(shù)學研究也不過只是業(yè)余愛好。然而，在17世紀的法國還找不到哪位數(shù)學家可以與之匹敵：他是解析幾何的發(fā)明者之一；對于微積分誕生的貢獻僅次于牛頓、萊布尼茨，概率論的主要創(chuàng)始人，以及獨承17世紀數(shù)論天地的人。此外，費馬對物理學也有重要貢獻。

法國著名數(shù)學家，被譽為“業(yè)余數(shù)學家之王”。

沃利斯的“無窮算術”

沃利斯是在牛頓和萊布尼茨之前，將分析方法引入微積分貢獻最突出的數(shù)學家。在其著作《無窮算術》中，他利用算術不可分量方法獲得了一系列重要結果。第21頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四3.

微積分的創(chuàng)立—牛頓和萊布尼茨的工作

牛頓于1665年11月發(fā)明“正流數(shù)術”(微分法),1666年5月建立“反流數(shù)術”(積分法)。

1666年10月,牛頓將前兩年的的研究成果整理成一篇總結性論文—《流數(shù)簡論》，明確了現(xiàn)代微積分的基本方法,這是歷史上第一篇系統(tǒng)的微積分文獻。牛頓將自古希臘以來的求解無限小問題的各種技巧統(tǒng)一為兩類普通的算法——正、反流數(shù)術(流數(shù)就是微商)，并證明了二者的互逆關系，將這兩類運算進一步統(tǒng)一成整體，這是他超越前人的功績,也正是在這樣的定義下，我們說牛頓發(fā)明了微積分。1）牛頓的“流數(shù)術”

艾薩克·牛頓

（Isaacnewton）(1643年1月4日—1727年3月20日)

英國偉大的數(shù)學家、物理學家、天文學家和自然哲學家，同時他也是一個神學愛好者，晚年曾著力研究神學。牛頓在科學上最卓越的貢獻是創(chuàng)建了微積分和經(jīng)典力學。第22頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四2）萊布尼茨的微積分工作

與牛頓的切入點不同，萊布尼茨創(chuàng)立微積分首先是出于幾何問題的思考，尤其是特征三角形的研究。

1684年，萊布尼茨整理、概括自己1673年以來微積分研究的成果，在《教師學報》上發(fā)表了第一篇微分學論文《一種求極大值與極小值以及求切線的新方法》（簡稱《新方法》），它包含了微分記號

以及函數(shù)和、差、積、商、乘冪與方根的微分法則，還包含了微分法在求極值、拐點以及光學等方面的廣泛應用。

1686年，萊布尼茨又發(fā)表了他的第一篇積分學論文，這篇論文初步論述了積分或求積問題與微分或切線問題的互逆關系，包含積分符號

。

戈特弗里德·威廉·凡·萊布尼茨（GottfriendWilhelmvonLeibniz）

（1646.7.1.—1716.11.14.）

德國最重要的自然科學家、數(shù)學家、物理學家、歷史學家和哲學家，一個舉世罕見的科學天才，和牛頓同為微積分的創(chuàng)建人。他博覽群書，涉獵百科，對豐富人類的科學知識寶庫做出了不可磨滅的貢獻。

第23頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四

從17世紀到18世紀的過渡時期，法國數(shù)學家羅爾(M.Rolle

1652-1779)在其論文《任意次方程一個解法的證明》中給出了微分學的一個重要定理，也就是我們現(xiàn)在所說的羅爾微分中值定理。微積分的兩個重要奠基者是伯努利兄弟詹姆斯和約翰他們的工作構成了現(xiàn)今初等微積分的大部分內(nèi)容。其中，約翰給出了求未定型極限的一個定理，這個定理后由約翰的學生羅比達(L’Hospital,1661-1704)編入其微積分著作《無窮小分析》，現(xiàn)在通稱為羅比達法則。3）18世紀微積分的發(fā)展第24頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四

伯努利家族代表人物之一，數(shù)學家。他是最早使用“積分”這個術語的人，也是較早使用極坐標系的數(shù)學家之一。他研究了懸鏈線，還確定了等時曲線的方程。他也是概率論的創(chuàng)始人之一，我們現(xiàn)在教課書上的Bernoulli大數(shù)定律就是以他的名字命名的。

詹姆斯·伯努利的弟弟。最初學醫(yī)，同時研習數(shù)學。1691年到巴黎,曾為GuillaumeF.A.L’Hospital

羅比達的私人教師?，F(xiàn)今求不定式極限的羅比達法則，實出自約翰。1705年接替其兄詹姆斯任巴塞爾大學教授。1691年解出懸鏈線問題。

Euler

也是他的學生。

詹姆斯·伯努利

(JamesBernoulli

)?（1654年12月27日－1705年8月16日）

約翰·伯努利

(JohanBernoulli)

（1667年8月6日－1748年）第25頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四

布魯克·泰勒

(Brook.

Taylor)

(1685—

1731)

英國數(shù)學家，他主要以泰勒公式和泰勒級數(shù)出名。

科林·麥克勞林

（ColinMaclaurin)(1698－

1746）

18世紀英國最具有影響的數(shù)學家之一。麥克勞林得到泰勒公式在

0時的特殊情況，現(xiàn)代微積分教材中一直將這一特殊情形的泰勒級數(shù)稱為“麥克勞林級數(shù)”。

18世紀，微積分得到進一步深入發(fā)展。第26頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四

約瑟夫·

路易斯·拉格朗日

（Joseph-LouisLagrange1735~1813）法國數(shù)學家、物理學家。他最突出的貢獻是在把數(shù)學分析的基礎脫離幾何與力學方面起了決定性的作用．

18世紀最優(yōu)秀的數(shù)學家，也是歷史上最偉大的數(shù)學家之一，被稱為“分析的化身”。18世紀微積分最重大的進步是由歐拉作出的。他的《無限小分析引論》（1748）、《微分學原理》（1755）與《積分學原理》（1768~1770）都是微積分史上里程碑式的著作，在很長時間內(nèi)被當作標準教材而廣泛使用。萊昂哈德·

歐拉（LeonhardEuler)(1707-1783）第27頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四

4．微積分中注入嚴密性

微積分學創(chuàng)立以后，由于運算的完整性和應用的廣泛性，使微積分學成了研究自然科學的有力工具。但微積分學中的許多概念都沒有精確的定義，特別是對微積分的基礎—無窮小概念的解釋不明確，在運算中時而為零，時而非零，出現(xiàn)了邏輯上的困境。正因為如此，這一學說從一開始就受到多方面的懷疑和批評。

第28頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四

最令人震撼的抨擊是來自英國克羅因的主教貝克萊。

貝克萊集中攻擊了微積分中關于無限小量的混亂假設，他說：“這些消失的增量究竟是什么？它們既不是有限量，也不是無限小，又不是零，難道我們不能稱它們?yōu)橄Я康墓砘陠?？”這就是著名的“貝克萊悖論”。貝克萊的許多批評切中要害，客觀上揭露了早期微積分的邏輯缺陷，引起了當時不少數(shù)學家的恐慌。這也就是我們所說的數(shù)學發(fā)展史上的第二次“危機”。

第29頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四

第二次數(shù)學危機的實質是什么？應該說，是極限的概念不清楚，極限的理論基礎不牢固。也就是說，微積分理論缺乏邏輯基礎。

到19世紀，一批杰出數(shù)學家辛勤、天才的工作，終于逐步建立了嚴格的極限理論，并把它作為微積分的基礎。應該指出，嚴格的極限理論的建立是逐步的、漫長的。第30頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四

達朗貝爾

(d’Alembert,1717-1783)

在1754年指出，必須用可靠的理論去代替當時使用的粗糙的極限理論。但他本人未能提供這樣的理論。

完善時期的代表人物:

波爾查諾

(B.

Bolzano,1781-1848)

捷克數(shù)學家,19世紀初開始將嚴格的論證引入數(shù)學分析，他寫的《無窮的悖論》一書中包含許多真知灼見。第31頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四

做出決定性工作、可稱為分析學的奠基人的是法國數(shù)學家柯西。他在1821—1823年間出版的《分析教程》和《無窮小計算講義》是數(shù)學史上劃時代的著作。他對極限給出比較精確的定義，然后用它定義連續(xù)、導數(shù)、微分、定積分和無窮級數(shù)的收斂性，已與我們現(xiàn)在教科書上的差不太多了。

柯西（A.L.Cauchy,1789—1857）。第32頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四

另一位為微積分的嚴密性做出卓越貢獻的是德國數(shù)學家魏爾斯特拉斯(W.

Weierstrass,1815-1897)。魏爾斯特拉斯定量地給出了極限概念的定義。魏爾斯特拉斯用他創(chuàng)造的一套

語言重新定義了微積分中的一系列重要概念，終于使分析學從完全依靠運動學、直觀理解和幾何概念中解放出來，消除了“貝克萊悖論”?；谖籂査固乩乖诜治鰢栏窕矫娴呢暙I，在數(shù)學史上，他獲得了“現(xiàn)代分析之父”的稱號。

魏爾斯特拉斯(W.

Weierstrass)1815-1897第33頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四五、為什么學？學什么？怎樣學？1）數(shù)學的重要性:什么是高技術？——本質上就是數(shù)學技術。什么叫現(xiàn)代化？——在某種意義上說就是數(shù)學化。三大科學是什么？——數(shù)學科學、自然科學和社會科學成為當今的三大科學。尋找自然規(guī)律的數(shù)學表達式成為一種時尚，也是該學科成熟的標志。這種時尚發(fā)展到今天，就是非常熱門的話題——數(shù)學模型。微積分是現(xiàn)實世界的最出色的數(shù)學模型之一。為什么要學習微積分？第34頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四2）素質教育：數(shù)學不僅是一些知識，也是一種素質，即“數(shù)學素質”。

著名數(shù)學家李大潛院士指出：“數(shù)學教育本質上就是一種素質教育”。體現(xiàn)在①具有運用數(shù)學語言的能力；②具有處理數(shù)據(jù)和圖形的能力，重點是應用意識和數(shù)學建模的能力；③具有進行邏輯推理和選擇計算方法的能力；④具有判斷計算和推理結果正確性的能力；⑤具有自己主動學習、適應各種復雜環(huán)境的能力；⑥養(yǎng)成主動合作的團隊精神、堅韌不拔的科學態(tài)度；⑦具有高水平的審美觀。第35頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四3）微積分是學習專業(yè)技術課的基礎

微積分全國大學生數(shù)學競賽的內(nèi)容

微積分在研究生入學考試數(shù)學中占60%第36頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四怎么學習微積分、學什么？1.認識微積分學的重要性,培養(yǎng)學習興趣馬克思恩格斯

要辨證而又唯物地了解自然,

一門科學,只有當它成功地運用數(shù)學時,才能達到真正完善的地步。就必須熟悉數(shù)學。第37頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四2.學會讀書、注重培養(yǎng)自學能力

如果書中的內(nèi)容你不能