《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》習(xí)題及答案 第三章

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《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》習(xí)題及答案

第三章

1．?dāng)S一枚非均質(zhì)的硬幣，出現(xiàn)正面的概率為p(0?p?1)，若以X表示直至擲到正、反面都出現(xiàn)時為止所需投擲次數(shù)，求X的分布列。

解(X?k)表示事件：前k?1次出現(xiàn)正面，第k次出現(xiàn)反面，或前k?1次出現(xiàn)反面，第k次出現(xiàn)正面，所以P(X?k)?pk?1(1?p)?(1?p)k?1p,k?2,3,?.

2．袋中有b個黑球a個白球，從袋中任意取出r個球，求r個球中黑球個數(shù)X的分布列。

解從a?b個球中任取r個球共有Ca?b種取法，r個球中有k個黑球的取法有CbCakr?kr，所以X的分布列為

CbCarkr?kP(X?k)?Ca?b，k?max(0,r?a),max(0,r?a)?1,?,min(b,r)，

此乃由于，假使r?a，則r個球中可以全是白球，沒有黑球，即k?0；假使r?a則r個球中至少有r?a個黑球，此時k應(yīng)從r?a開始。

3．一實習(xí)生用一臺機器接連生產(chǎn)了三個同種零件，第i個零件是不合格品的概率pi?列。

解設(shè)Ai?‘第i個零件是合格品’i?1,2,3。則P(X?0)?P(A1A2A3)?1111???，234241i?1(i?1,2,3)，以X表示三個零件中合格品的個數(shù)，求X的分布

P(X?1)?P(A1A2A3?A1A2A3?A1A2A3)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?1111211136?????????，23423423424P(X?2)?P(A1A2A3?A1A2A3?A1A2A3)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?12?2111312311?????????，3423423424·19·

P(X?3)?P(A1A2A3)?即X的分布列為

X0124162421124312?23?34?624.

P6.244．一汽車沿一街道行駛，需通過三個設(shè)有紅綠信號燈的路口，每個信號燈為紅或綠與其他信號燈為紅或綠相互獨立，且每一信號燈紅綠兩種信號顯示的概率均為

12，以X表示該汽車首次遇到紅燈前已通過的路口的個數(shù)，求X的概率

分布。

解P(X?0)?P(第一個路口即為紅燈)?12,

12?12?14P(X?1)?P(第一個路口為綠燈，其次個路口為紅燈)?依此類推，得X的分布列為

X01211421831.8，

P5．將一枚硬幣連擲n次，以X表示這n次中出現(xiàn)正面的次數(shù)，求X的分布列。

解X為n重貝努里試驗中成功出現(xiàn)的次數(shù)，故X~B(n,列為

P(X?k)?Cnk12)，X的分布

?1????k?0,1,?2?nn,

6．一電話交換臺每分鐘接到的呼叫次數(shù)聽從參數(shù)為4的泊松分布，求（1）每分鐘恰有8次呼叫的概率；（2）每分鐘的呼叫次數(shù)大于10的概率。解設(shè)X為每分鐘接到的呼叫次數(shù)，則X~P(4)（1）P(X?8)?48?8!?e?4?k?k?8?44k?k!e?4??k?q4kk!e?4?0.2977

（2）P(X?10)??k?114k!e?0.00284.

7．某商店每月銷售某種商品的數(shù)量聽從參數(shù)為5的泊松分布，問在月初至

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少庫存多少此種商品，才能保證當(dāng)月不脫銷的概率為0.99977以上。解設(shè)X為該商品的銷售量，N為庫存量，由題意

??0.99977?P(X?N)?1?P(X?N)?1?即

??K?N?1P(X?K)?1??K?N?15kk!e?5

?K?N?15Kk!e?5?0.00023查泊松分布表知N?1?15，故月初要庫存14件以上，才能保證當(dāng)月不脫銷的概率在0.99977以上。

8．已知離散型隨機變量X的分布列為：P(X?1)?0.2,P(X?2)?0.3，

P(X?3)?0.5，試寫出X的分布函數(shù)。

解X的分布列為XP10.220.330.5所以X的分布函數(shù)為

?0,??0.2,F(x)???0.5,?1,?x?1,1?x?2,2?x?3,x?3.

9．設(shè)隨機變量X的概率密度為f(x)????csinx,0,0?x??,其他.

求：（1）常數(shù)C；（2）使P(X?a)?P(X?a)成立的a.解（1）1???????f(x)dx?c??sinxdx??ccosx0?0?2c，c???121212；

（2）P(X?a)?P(X?a)???1212sinxdx??sinxdx??1212cosxcosx?a??1212cosa，cosa,

aa0a0可見cosa?0，?a??2。

10．設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)為F(x)?A?Barcta，nx???x??，

求：（1）系數(shù)A與B；（2）P(?1?X?1)；（3）X的概率密度。

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解（1）由分布函數(shù)的性質(zhì)

??0?F(??)?A?B???2?

?1?F(??)?A?B????2于是A?12，B?1?，所以X的分布函數(shù)為

12?1arctanx???x12?1?F(x)????，??(12?1?（2）P(?1?X?1)?F(1)?F(?1)?（3）X的概率密度為

f(x)?F?(x)?1?4?4??)?12；

?(1?x)2，???x??.?11．已知隨機變量X的概率密度為

f(x)?12e?|x|，???x???.

求X的分布函數(shù).解

?1??2f(u)du??????xx?0??edu,??ux?0,xF(x)????12edx?x?12

e?udu,x?0,0?1xe,??2???1?1e?x,??2x?0,

x?0.12．設(shè)隨機變量X的概率密度為

?x,?f(x)??2?x,??0,0?x?1,1?x?2,其他.求X的分布函數(shù).

解f(x)的圖形為X的分布函數(shù)為

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F(x)??0??f(x)?????(1，1)???1?,xx???f(u)dux?0,0?x?1,udu,01x

xdx?0?(2?u)du,11?x?2,,x?2.x?0,0?x?1,?0,?2?x,012x?2??2?x??2x?1,?2??1,

1?x?2,x?2.13．設(shè)電子管壽命X的概率密度為

?100?2,f(x)??x?0,?x?100,x?100.

若一架收音機上裝有三個這種管子，求（1）使用的最初150小時內(nèi)，至少有兩個電了管被燒壞的概率；（2）在使用的最初150小時內(nèi)燒壞的電子管數(shù)Y的分布列；（3）Y的分布函數(shù)。

解Y為在使用的最初150小時內(nèi)燒壞的電子管數(shù)，Y~B(3,p)，其中p?P(X?150)?150?100x2dx?13，

23100?1?2?1?（1）所求