導(dǎo)數(shù)與微分計算題1答案

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計算題（共200小題）

f(x??x)?f(x)e3(x??x)?(x)??e3x1、f?limx?0?x??limx?0?x

?lime3x(e3?x?1)?3e3x?x?0?x.2、f(x??x)?f(x)(?limx?0?x??limx??x)3?2(x??x)?x3?2xx?0?x?3x2?2

3、f?(1)?f(1??x)?f(1)?limx?0?x

1x?1??lim1??x?0?x??lim?1x?01??x??1、f?(x)?2x??x?2x4?limx?0?x

?2x2?x?1e?xln2??limx1x?0?x?2?limx?0?x

?2xln2

?e(x??x)22、f?(x)?ex5?limx?0?x

22?ex(e2x?.?x??x??lim1)x?0?x?ex2?lim2x?x??x22x?0?x?2xex

6、f?(x)?limln1?5(x??x)?ln1?5x?x?0?x5分

10分6分

10分5分

7分10分5分

10分4分

10分5分

1?5x?5?x?lim5x?01?5xln1?5?x1?5x

?51?5x7、原式?limf(1?x)?f(1)x?0x?limf(1?x)f(1)x?0x??f?(1)?f?(1)??4

(注：這樣作：原式=2lim?f(1?x)?f(1?x)?x?0?2x?2limx?0f?(1?x)??4不給分)8、原式?lim???f(a?h)?f(a)f(a?2h)?f(a)?h?0??h?22h????f?(a)?2f?(a)??3b

(注：令a?h?t，則a?2h?t?3h.原式?limf(t?3h)?f(t)h?03h?(?3)??3b不給分)9、limf(1?2t)?f(1)5

t?1sin3t?limf(1?2t)?f(1)2tt?12tsin3t分

?43

10分

f?1?(xtgx?ex2?1)??f(1)10、原式?limx?0xtgx?ex2?1?xtgx?ex2?1x2?f?(1)?2?6

原式?1f(x0?1)?f(x011、2n)2limn??12n?12f?(x10)?2a12、limxf(x0)?x0f(x)?(x?x0)f(x0)x0?f(x0)?f(x)??x?xx?x?lim0???0x?x0?x?x0x?x0?

?f(x0)?x0f?(x0)

10分

5分10分

5分

10分

7分10分

5分

10分

4分

10分

13、

limx?0x?limf(x0?2x)?f(x0?x)x?01f(x0?2x)?f(x0)f(x0?x)?f(x0)?2?2x??x??1?2f?(x??1?1

0)?f?(x0)f?(x0)514、limf(x)?lim?(x)??(0)xx?0x?0x?sin1?e2x???(0)?(?112)??2??(0)

15、首先f(x)在x?1處連續(xù)

xlim?1?sinb(x?1)?limx?1?ln(x2?a2)?0得ln(a2?1)?0即a?0．

又：limf(x)?f(1)x?1?x?1?limlnx2?0x?1?x?1?2f(1)xlimf(x)??1?x?1?limsinb(x?1)x?1?x?1?b?b?2，a?0時f(x)在x?1處可導(dǎo)．

16、首先f(x)在x?0處連續(xù)

即lim(x?0?e2x?b)?limsinx?0?ax?0得b??1又f(x)?f(0)sinxlim?0?x?xlimax?0?x?af(x)?f(0xlim)?0?x?xlime2x?1?0?x?2?a?2，b??1，時f(x)在x?0處可導(dǎo)

17、xlim?0?f(x)?xlim?0?f(x)?f(0)得a?b?110分

6分10分

4分

10分3分

8分

10分4分

f(x)?f(0)cos3x?1?lim?0x?0x?0?xxlim?xlimf(x)?f(0)?0?x?xlimbex?a?1?0?x?b(ex?1)x?b?a?1，b?0時f(x)在x?0處可導(dǎo)．18、xlim?0?f(x)?xlim?0?f(x)?f(0)得b?1(x)?f(0)xlimf?0?x?xlimax?0?x?af(x)?f(0)e2xxlim?0?x?xlim?1?0?x?2?a?2，b?1，時f(x)在x?0處可導(dǎo)

19、首先連續(xù)xlim?0?f(x)?xlim?0?f(x)?f(0)得b?0在x?0可導(dǎo):

limf(x)?f(0)x?0?x?xlimax?0?x?af(x)?f(xlim0)?0?x?xlimln(1?x)?0?x?1?a?1，b?0時f(x)在x?0處可導(dǎo)．

20、f?(x)?limln?1?2(x??x)?ln(1?2x)??x?0?xln??2?x???1???lim1?2x?x?0?x1?2x?2?x?lim2?2?x?x?01?2xln??1?1?2x???21?2x

21、f?(x)??limtan(x??x)?tanxx?0?x

?lim1?tanx?tan?x?x?0?x??1?tanxtan?x?tanx????1?tan2xtan?limx?01?tanx?tan?x??x?x?1?tan2x?sec2x10分

3分6分

9分

10分3分

8分10分

5分

10分4分

10分

f?(x)?cos3(x??x)?cos322、x?limx?0?x

?2?lim?cos(x??x)?cosx?x?0?x?cos(x??x)?cos(x??x)cosx?cos2x???sinx?3cos2x

23、?(x)?limf(x?t)?f(x)t?0t?tsint?ex

?f?(x)?ex

24、?(x)?2x2f?(x)

??(x)?4xf?(x)?2x2f??(x)

25、x?0時f?(x)?11?x2x?0時f?(x)?ex

x?0處:f(x)?f(0)ex?xlim1?0?x?xlim?0?x?1f(x)?f(0)xlim?0?x?xlimarctgx?0?x?1?f?(0)?1?1f?(x)???1?x2，x?0，??ex，x?0．26、x?0時f?(x)?2xcos1x?sin1xx2cos1x?0時f?(0)?limf(x)?f(0)xx?0x?limx?0x?0

??f?(x)???2xcos1?sin1x?0?xx?0x?027、limf(x)?f(0)?(a?bx)??(a?bxx?0x?lim)?0x?0x?lim??(a?bx?(a?bx)??(a)?x?0??b)??(a)bx?b?bx???2b??(a)4分

10分6分10分6分10分4分

10分

3分

8分

10分4分

10分

28、首先在x?c處連續(xù)

xlim?c?sinx?xlim(?c?ax?b)?sinc得ac?b?sinc在x?c處可導(dǎo)limsinx?sincx?c?x?c?cosc

ax?b?sincax?b?acxlim?c?x?c?xlim?b?cxx?c?a?a?cosc，b?sinc?ccosc時f(x)在x?c處可導(dǎo)

29

、

x?0，0?x?1，x?1這三個區(qū)間上f(x)顯然處于可導(dǎo)．x?0點可導(dǎo),則xlimf(x)?f(0)?0?x?xlimx2?x?0?x?1

f(x)?f(0)ax3?bx2?cx?xlim?0?x?xlimd?0?x?1c?1，d?0在x?1處可導(dǎo)，則

limf(x)?f(1)x?1?x?1?limx2?xx?1?x?1?1limf(x)?f(1)ax3?bx2?cx?dx?1?x?1?limx?1?x?1?1則必有l(wèi)imx?1?(ax3?bx2?x)?a?b?1?0

?limax3?bx2?xax2?bxx?1?x?1?lim?1x?1?x?1?lim2ax?bx?1?1?2a?b?1得a?2，b??3．?a?2，b??3，c?1，d?0,時f(x)處于可導(dǎo)．

首先在x?0處連續(xù)30、

limb(1?x)2?limeax?1

x?0?x?0?得b?1

4分

10分5分

10分3分

在在得

在x?0處可導(dǎo):(1?x)2?1x2f0)?xlim?0?x?xlim?2xt?(?0?x??2

f(0)?eax?1ax??xlim?0?x?xlim?0?x?a?a??2，b?1，時,f(x)在x?0時可導(dǎo)

首先f(x)在x?0時處連續(xù)31、limx?0f(x)?limg(x)?cosxg?(x)?sinxx?0x?limx?01?g?(0)f(0)?a，?a?g?(0)在x?0處可導(dǎo):g(x)?cosxlimf(x)?f(0)x?g?(0)x?0x?limx?0x?limg(x)?cosx?g?(0)xg?(x)?sinx?g?(0)x?0x2?limx?02x?12g??(0)?12在x?0處f?(x)?x?g?(x)?sinx???g(x)?cosx?x232、首先f(0?0)?f(0)?f(0)得f(0)?0．

f(x??x)?f(x)exf(?x)?e?xf(x?limx?0?x?)?f(x)?limx?0?x?ex?f(?x)?f(0)?e?x??limx?0???1f(x)???x?x???exf?(0)?f(x)?ex?f(x)?f?(x)?ex?f(x)

g(x)cos133、f?(0)?limf(x)?f(0)xx?0x?limx?0x

?limg(x)?g(0)x?0xcos1x?0

10分

3分

8分

10分

2分

5分

10分

5分10分

34、limx?af(x)?f(a)?(x)ln(1?x?a)?limx?ax?ax?a5分8分10分

11f(a?)?f(a?)nn11f(a?)nn??(a)

?f?(a)??(a)

f(a?)??n11f(a?)?f(a?)??nn???11?f(a??)?f(a?)??????nn35、原式?lim??1???n??1????f(a?)?n???????????14分

1111??f(a?)?f(a?)f(a?)?f(a)f(a?)?f(a)????nnnn又：?lim?lim??1?n??n??111?????nnn???2f?(a)

?原式?ef(x)?f(a)g(x)?(x)?0?lim36、lim

x?ax?ax?ax?a2f?(a)f(a)8分10分5分

?limx?a?(x)?g(x)?g(a)?x?a??(a)?g?(a)?A?(a)

10分

37、x?0時f(1?0)?2f(0)得f(1)?2f(0)?2

3分

limx?0f(1?0)?f(1)2f(x)?2f(x)?f(0)?lim?2limx?0x?0xxx10分

x?2f?(0)?2c

38、y??ln2?2ln2?2x

39、y??cosx?sinx?scex?cscx?cscx?cotx40、y??2210分10分10分

11?x2?12chx41、y??12?secx?secxtanx21?xx10分10分

42、y??3e(shx?chx)?secxtanx

43、y???ax2?2bx?(1?lnx)44、y??ln3?11?x2?sec2x

45、y??axa?1?axlna

46、y??cosx?sinx?axlna．(a?0，a?1)．47、y???a?xlna?11?x2?cscx?cotx?12x(a?0)48、y???sinx(x?x3)?cosx(1?3x2)(x?x3)2?csc2xcosx(1?lnx)?1x(1?sinx)49、y??(1?lnx)2

50、y??3ex(cosx?sinx)?1xln2x

x(cosx?1)?sinx?lnx51、y??xx2352、y??sec2x?2?5xcosx?sinx5x?sinx?x2

53、y??1?lnx?1?lnxx2?ex、y??(3x?x2)ln4?(3xln3?2x)ln4x54(3x?x2)255、y?(t)?(1?sint)(tcost?sint)?tsint?cost(1?sint)2?tcost?sint?sin2t(1?sint)256、y??(1?cost)(cost?tsint)?tcostsint(1?cost)2

?cost?cos2t?tsint(1?cost)210分10分

10分10分10分

10分

10分

10分

10分

10分10分

10分8分

10分

8分

10分

57、y???csc2x(1?tanx)?(1?cotx)sec2x(1?tanx)258、y??3x2?shx?x3chxsh2x59、y??xsec2x?tanxx2?ex(cosx?sinx)?1ch2x(x?sinx)ax60、y??lna?ax(1?cosx)(x?sinx)2、y??x(axlna?bxlnb)?ax?bx61x262、x??(6t?2)logt212?(3t?2t)?tln263、y??9x2?1xln10?sec2x

64、y??ex(sinx?cosx)?1xln2

65、y??sec2x?chx(shx?tanx)2?1xln3?3xln366、y??secx?secx?tanx?lnx?12x?2x?2xx?x?ln267、y??11?x2?11?x2?2xln268、y??3xcscx?ln3?3x?cscxcotx?11?x2、y???12x691?x2?x?2xlnx?ln2

70、y???cscx?cotx?lnx?cscxx?11?x2?axlna71、y??(ae)x(1?lna)?1x?sec2xa?0．72、y??1(1?x)2?sinxx?cosx?lnx?axlnaa?0．73、y??(2x?3)(4x?5)?2(x?1)(4x?5)?4(x?1)(2x?3)10分

10分

10分

10分

10分10分10分10分

10分

10分

10分

10分

10分

10分

10分

10分

10分

140、y??1`xcos3x?32xsin3x?ln(2x)141、y??2(3)2x32ln2?12sec2x2142、y??10xtan2x?(2xsec22x?tan2x)?ln10

y??cos2x?sinxcosx?2sin2x?sin2x?2x?ln2143、222?1cos2x?sinx?2sin2x?sin2x?2x22ln2lnx144、y??ln3(1?lnx)xx2?3145、y??4sinhx?coshx1?sinh2x?4tanhx146、y??1?3sin(2tan3x)sec2cos2(tan3x)?3x??shx?cot(x?1)?chx?csc2(x?1)

147、y???extanex?sinx21?cosx?3csc3xcot3x

148、y??1x2?a2(a?0)

149、y??(xsin2x?1?cos2x)x(1?cos2x)

150、y??3x2?2xln211(x3?2x)ln2?2xxcosx(2?x)?exchex?1151、y??2xshex2x(2?x)2?1?x2

?2x(2?x)exchex?shex2x2x(2?x)2?1?x2152、y??11?x2

10分

10分10分

10分

10分10分5分

10分10分

10分

10分

10分

9分

10分

10分

1153、y??12sinx?2(x?x?2?1x)?(1?1?3112x2x2?x2)?3sec3

154、y??1x(1?x)2sin1?x1?x??2sec2xtanx?esec2x

155、y??(1?sinh2x?coshx)sec2(x?1sinh323x)?cosh22x156、y??6cos(3t?1)?csc2(cost)sint

157、y??1(x?1?x2)?23?(1?x1(x?1?x2)1331?x2)?3?(1?x2)12158、y???sinh(sinhx)?coshx?3cosh(sinhx)??e3x

159、y???2xsin2x?sin2x?cosx2sin2x12sin4x?14?sec2xtanx22??xsinx2sin2x?cosx2?cosxsin3x?12sinx

160、y??1(?cosx1?sinx?cosx1?sinx)?etanx?sec22x??1?etanxx?sec2cosx161、y???sin2x?cos(cos2x)cos(sin2x)?sin(cos2x)sin(sin2x)???sin2x?cos(cos2x?sin2x)??sin2x?cos(cos2x)

162、y??2x?1?x?x2?1esinx4x?1?x2xcosx?y?ecosxlnx?ln(cos2x?1?cos4x)163、y??xcosx(cosx

x?sinxlnx)?sin2x1?cos4x164、y?ln(?e2x?e4x?1)?e3xlnx

10分

5分

10分

10分10分

10分10分

9分

10分

8分10分9分10分

10分

6分

10分

2xy???2ee4x?1?3?x3x(1?lnx)

165、`y?ecosxln(sinx)?2tanx

y??(sinx)cosx??cos2x?sinx?sinxln(sinx)???

?sec2x?2tanx?ln2

166、y?exlnsinx?csc(2x)

6分

y??(sinx)x???(xcosxsinx?lnsinx)?csc(2x)?2xln2?csc(2x)cot(2x)???

167、y?esinxln(cosx)?sec3x

y??(cosx)sinx????sin2x??cosx?cosxln(cosx)???32xsec3xtan3x168、f(x),g(x)均為可導(dǎo)函數(shù),且f(g(x))與g(f(x))也在x可導(dǎo)

dd(esinxdx?f(g(x))??)?cosx?esinxdxdd

dx?g(f(x))??(sinex)?ex?cosexdxg??d?dxf(x)????sinex,f??d?dxg(x)????ecosxddx?f(g(x))??ddxg?f(x)??esinx?cosx?ex?cosexg?d?sinex?ecosx?dxf(x)???d???f??dxg(x)??4分

10分

6分

10分

分

6分

10分

2分

8分

10分

10f(0)?0169、

2f?e?x2??(0)?1xlim?0?0x??xlim1?e?x?0?0x2??1f??(0)?1f(x)在x?0處不可導(dǎo)

當(dāng)x?0時,f?(x)?xe?x21?e?x2170、limg(x)?g(0)x?0x?limx?0x(sin1x)132?0?g?(0)由g(0)?0和f?(0)?cosx?esinxx?0?1(存在)

df?(0)?g?(dxf?g(x)?0)?1?0?0x?0?xln2171、x?(y)?x3，x?0172、x??1yln3173、x?(y)?13x2?5cos5x,(??10?x??10)174、y??9x2?4ex?0

x?(y)?19x2?4ex175、y??ex?3x3x2?1?0,x?0

2x?(y)?3x?1ex3x2?1?3xx?0

176、y???e?x?3x2?0

x?(y)?1?(e?x?3x2)

177、y??cosx?3x2?0，?2?x?3?24分

6分

10分

3分

6分

10分

10分

10分

10分5分10分

5分

10分

5分10分

5分

x?(y)?1cosx?3x2，?2?x?3?2178、y???sinx?5x4?0，0?x??，

x?(y)?1?(sinx?5x4)，0?x??

179、y??cosx?sinx?0，??x?3?2x?(y)?1cosx?sinx，??x?3?2

180、x?(y)?(3x?cosx)2?3?sinx

181、x?(y)?xln2x?0182、y??2?cosx?sinx(2?cosx)?sinx(2?cosx)2?cosx?(2?cosx)2??4sinx?4?cos2x?00?x?2

x?(y)?4?cos2x??4sinx0?x?2

或y?ln(2?cosx)?ln(2?cosx)

y???sinxsix?42?cosx?2?cosx?sinx4?cos2x

x?(y)?cos2x?4?4sinx0?x?2

x183、

y??2x?2??2?xx2ln2?x?2?x(2?xln2)?0?0x?(y)?1x?2?x(2?xln2)，x?0184、y??100?x2x(x?100)2?0，0?x?100y)?2x(x?100)2x?(100?x0?x?100

10分5分

10分

5分10分

10分

10分6分

8分

10分

4分8分

10分

5分

10分

5分

10分

185、y??2(x?1)2?e?x?0x?(y)?(x?1)22?e?x(x?1)2186、y??2(lnx?1)ln2x?0，x?e

x?(y)?ln2x2(lnx?1)，x?e

xe?x187、y??2(2?x)?0,0?x?2

分

x?(y)?2xe?x(2?x),0?x?2

188、y??xn?1e?x(n?x)?00?x?n

x?(y)?1xn?1e?x(n?x)0?x?n189、y??1?x?(1?1?x?1?shx?x)shx1?x?0x?(y)??1?xx?(1?x)shx，x?0