非線性方程（組）數(shù)值解法

本文格式為Word版，下載可任意編輯——非線性方程（組）數(shù)值解法第七章非線性方程（組）數(shù)值解法

教學(xué)目的1.把握解非線性方程（組）的二分法和插值法；2.把握解非線性方程（組）的一般迭代法及有關(guān)收斂性的證明與牛頓法；3.把握解非線性方程（組）的牛頓法4.了解加速收斂的方法。

教學(xué)重點及難點重點是解非線性方程（組）的牛頓法；難點是迭代法的收斂性的證明。

教學(xué)時數(shù)14學(xué)時教學(xué)過程

§1基本知識

1.1非線性方程，非線性方程組

好多科學(xué)理論和工程技術(shù)問題都最終化成非線性方程f(x)?0或非線性方程組

F(x)?0的求解。下面舉一些應(yīng)用例子。

例1

對理論數(shù)據(jù)或觀測數(shù)據(jù)

yk?f(xk),k?1,2,?,m的

和選定的擬合函數(shù)g(x,a1,a2,?,an)(n?m),要求確定參數(shù)a1,a2,?,an使目標(biāo)函數(shù)

***1mI(a1,?,an)??[g(xi,a1,?,an)?yi]2

2i?1達(dá)到最?。?/p>

***I(a1,a2,?,an)?min?I(a1,?an)ak?R,k?1,?,n?(1.1)

這是一個典型的最小二乘問題。當(dāng)g(x,a1,?,an)不是a1,?,an的線性函數(shù)時，微小化問題（1.1）不能通過解線方程組而直接求解。

假設(shè)g(x,a1,?,an)關(guān)于參數(shù)a1,?,an連續(xù)可微，并記

n?I(a1,?,an)?g(xi,a1,?,an)fi(a1,?,an)???[g(xi,a1,?,an)?yi]

?aj?aji?1j?1,2,?,n

微小化問題（1.1）轉(zhuǎn)化成了非線性方程式：

?f1(a1,?,an)?0?????f(a,?,a)?0n?n1或gradI(a1,?,an)?0

（1.2）

若（1.1）有解a1,?an,則a1,?an,也是（1.2）的解，但（1.2）還可能有其它解。方程組（1.2）是一典型的非線性方程組。

例2

設(shè)f(x,y,y?)是y,y?的非線性函數(shù)，用差分法解二階常微分邊值問題

****?y???f(x,y,y?),??y(0)??,y(1)??取h?0?x?1(1.2)

1,xi?ih,i?0,1,?,n?1,用yi的似y(xi)，用中心差分n?1yi?1?yi?1y?2yi?yi?1和i?122hh分別近似y?(xi)和y??(xi),我們可得方程組

?y0???yi?1?yi?1?2y?2y?y?hf(x,y,),i?1,?,n?i?1ii?1ii2h???yn?1??（1．4）

這是一個關(guān)于y1,y2,?,yn的非線性方程組。

將非線性積分方程用數(shù)值求積公式進(jìn)行離散，將非線性偏微分方程用差分法或有限元法

進(jìn)行離散，都最終化成非線性方程組。

1．2非線性方程（組）求解的特點

線性方程組Ax?b解的存在性、唯一性很簡單（至少在理論上）判斷：即detA?0則解存在唯一；rank(A,b)?rank(A)則無解；detA?0且rank(A,b)?rank(A)，則解存在不唯一。對非線性方程組F(x)?0是否有解，解是否唯一都不易確定；此外，除極少數(shù)狀況外，沒有類似于解一元二次方程的求根公式或類似于解線性方程組的直接解法。

非線性方程（組）的求解方法是從一個初始近似解出發(fā)，重復(fù)某種計算過程來不斷改進(jìn)似解，類似于解線性方程組的迭代法。期望在有限次改進(jìn)后，能計算出一個滿足誤差要求的近似值。這種不斷改進(jìn)近似解的過程稱為迭代過程，這種求解方法稱為迭法。

為了保證迭代過程能進(jìn)行下去，近似解向確鑿解收斂，要求迭代法有好的迭代公式，好的初始解。在選擇迭代法時要考慮計算效率和數(shù)值穩(wěn)定性。

1.3映射的Jacobi陣和F導(dǎo)數(shù)

n設(shè)fi(x1,?,xn)i?1,?,n是D?R上的n個多元函數(shù)。對任意

x?(x1,?,xn)T?D,F(x)?(f1(x),?,fn(x))T是Rn中的一個向量。我們稱

?f1(x)?F(x)??????x1?,x?????D(1.6)

????fn(x)?????xn??為映射F(x)在點x的Jacobi陣。

定義1設(shè)x是D的一個內(nèi)點，F(xiàn)(x)在x點有Jacobi陣J(x),若對任意??0，存在

??0成立

F(x)?F(x)?J(x)(x?x)??x?x,?x?D,x?x??

我們就稱F(x)的Jacobi陣J(x)為F(x)在x點的F導(dǎo)數(shù)（Fretcher導(dǎo)數(shù)），并記為

F?(x)。

可以證明，若

?fi?x,1?i,j?nj在x鄰近都存在而且在x點連續(xù)，則F(x)的Jacobi陣J(x)是F(x)的F導(dǎo)數(shù)。當(dāng)F(x)在x存在F導(dǎo)數(shù)時，仿射映射

L(x)?F(x)?F?(x)(x?x)(1.8)

是映射F(x)在x鄰近的一個很好的迫近。1.4收斂性和收斂階

解非線性方程（組）的迭代法產(chǎn)生迭代序列{x(k)}?k?0,x(k)?(x(k)(k)T1,?,xn)。

定義2若存在x*?(x**T(k)1,?,xn)，點列{x}?k?0成立

limx(k)k???x*?0(1.9)

我們就稱點列{x(k)}?k?0收斂于點

x*。并且記為：

limk??x(k)?x*,或x(k)?x*,當(dāng)k??

收斂序列的收斂速度用收斂階來刻劃。

定義3若limk??x(k)?x*,x(k)?x*,k?0,1,?,我們稱{x(k)}?k?0收斂于x*是：

（1）線性的，若

(1.7)limx(k?1)?x*x(k)k???x*?C?(0,1)

（2）超線性的，若limx(k?1)?x*x(k)k???x*?0

（3）p階收斂的，若

limx(k?1)?x*x(k)k???x*p?C?0,p?1

二階收斂也稱平方收斂。在本章中，我們只探討解非線性方程（組）的一般方法，既適用于代數(shù)多項式方程（組），也適用于超越方程（組）。求解代數(shù)多項式方程有一些特別方法，我們不作探討?！?非線性方程的二分法和插值法2.1二分法給定非線性方程

f(x)?0

假設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，而且f(a)f(b)?0。由連續(xù)函數(shù)介值定理知，至少存在某個x*?(a,b)使f(x*)?0即[a,b]內(nèi)至少有方程（2.1）的一個根。我們稱[a,b]為f(x)的一個含根區(qū)間。顯然對（2.1）在[a,b]中的任一根x*來說有

x*?a?bb?a?22二分法是一個把含根區(qū)間不斷縮短，使含根區(qū)間中點成為一個滿足誤差要求的近似解的

方法。具體過程描述如下：

令a0?a,b0?b,h?b?a。設(shè)已得含根區(qū)間[ai,bi]，i?0,1,?,kl滿足

?(1)[ai,bi]?[ai?1,bi?1],i?1,?,k??i?(2)bi?ai?2h,i?0,1,?,k?(3)f(a)f(b)?0,i?0,1,?,kii?1令xk?(ak?bk),計算fk?f(xk)，取

2ak?1?xk,bk?1?bk,若fkf(ak)?0或

(2.2)

(2.3)?

ak?1?ax,bk?1?xk,若fkf(ak)?0顯然（2.2）對i?k?1仍成立。

(2.3)??

重復(fù)由[ak,bk]生成[ak?1,bk?1]的上述過程，就生成了近似解序列?xk?k?0。當(dāng)m?n時，

?xn,xm?[an,bn],xm?xn?2?n?1h，從而?xk?k?0是收斂序列，記其極限為x*。顯然

?f(x*)?0,且x*?xn?2?n?1h。

對給定允許誤差界??0，只要2?n?1(b?a)??就有

(2.4)

x*?xn??二分法算法：

f(x)?C[a,b],f(a)f(b)?0,??0為給定允許誤差。

1?令s=sign(f(a)),h?(b?a)/2,x?a?h;2?若h??，則輸出x，停機(jī)；

3?計算f(x)，置h:?h/2；

4?若s?f(x)?0,置x:?x?h，否則置x:x?h;

5?轉(zhuǎn)2?。

例3

用二分法解方程x?cosx?0,??