高考復(fù)習(xí)直線和圓的方程知識(shí)點(diǎn)歸納及相關(guān)歷年高考考題目匯總

本文格式為Word版，下載可任意編輯——高考復(fù)習(xí)直線和圓的方程知識(shí)點(diǎn)歸納及相關(guān)歷年高考考題目匯總2023屆高三沖刺數(shù)學(xué)：精彩十五天

第七章直線和圓的方程

一、考試內(nèi)容：

1．直線的傾斜角和斜率，直線方程的點(diǎn)斜式和兩點(diǎn)式．直線方程的一般式．2．兩條直線平行與垂直的條件．兩條直線的交角．點(diǎn)到直線的距離．3．用二元一次不等式表示平面區(qū)域．簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題．4．曲線與方程的概念．由已知條件列出曲線方程．5．圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程．圓的參數(shù)方程．二、考試要求：

1．理解直線的傾斜角和斜率的概念，把握過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式，把握直線方程的點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式、一般式，并能根據(jù)條件熟練地求出直線方程．

2．把握兩條直線平行與垂直的條件，兩條直線所成的角和點(diǎn)到直線的距離公式能夠根據(jù)直線的方程判斷兩條直線的位置關(guān)系．3．了解二元一次不等式表示平面區(qū)域．4．了解線性規(guī)劃的意義，并會(huì)簡(jiǎn)單的應(yīng)用．5．了解解析幾何的基本思想，了解坐標(biāo)法．

6．把握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程，了解參數(shù)方程的概念。理解圓的參數(shù)方程．

三、知識(shí)要點(diǎn)及重要思想方法：

（一）直線方程.

1．直線的傾斜角：一條直線向上的方向與軸正方向所成的最小正角叫做這條直線的傾斜角，其中直線與x軸平行或重合時(shí)，其傾斜角為0，故直線傾斜角的范圍是

0???180(0????).

??注：①當(dāng)??90?或x2?x1時(shí)，直線l垂直于x軸，它的斜率不存在.

②每一條直線都存在惟一的傾斜角，除與x軸垂直的直線不存在斜率外，其余每一條直線都有惟一的斜率，并且當(dāng)直線的斜率一定時(shí)，其傾斜角也對(duì)應(yīng)確定.2．直線方程的幾種形式：點(diǎn)斜式、截距式、兩點(diǎn)式、斜切式.

特別地，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)(a,0),(0,b)，即直線在x軸，y軸上的截距分別為

a,b(a?0,b?0)時(shí)，直線方程是：

xa?yb?1.

23注：若yy??23??23x?2是一直線的方程，則這條直線的方程是y??x?2，但若

x?2(x?0)則不是這條線.

附：直線系：對(duì)于直線的斜截式方程y?kx?b，當(dāng)k,b均為確定的數(shù)值時(shí)，它表示一條確

定的直線，假使k,b變化時(shí)，對(duì)應(yīng)的直線也會(huì)變化.①當(dāng)b為定植，k變化時(shí)，它們表示過(guò)定點(diǎn)（0，b）的直線束.②當(dāng)k為定值，b變化時(shí)，它們表示一組平行直線.3．⑴兩條直線平行：

l1∥l2?k1?k2兩條直線平行的條件是：①l1和l2是兩條不重合的直線.

②在l1和l2的斜率都存在的前提下得到的.

因此，應(yīng)特別注意，抽掉或忽視其中任一個(gè)“前提〞都會(huì)導(dǎo)致結(jié)論的錯(cuò)誤.

（一般的結(jié)論是：對(duì)于兩條直線l1,l2，它們?cè)趛軸上的縱截距是b1,b2，則l1∥l2?k1?k2，

且b1?b2或l1,l2的斜率均不存在，即A1B2?B1A2是平行的必要不充分條件，且C1?C2）推論：假使兩條直線l1,l2的傾斜角為?1,?2則l1∥l2??1??2.

⑵兩條直線垂直：兩條直線垂直的條件：

①設(shè)兩條直線l1和l2的斜率分別為k1和k2，則有l(wèi)1?l2?k1k2??1這里的前提是l1,l2的斜

率都存在.

②l1?l2?k1?0，且l2的斜率不存在或k2?0，且l1的斜率不存在.（即A1B2?A2B1?0是垂直的充要條件）

4．直線的交角：

⑴直線l1到l2的角（方向角）；直線l1到l2的角，是指直線l1繞交點(diǎn)依逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到

與l2重合時(shí)所轉(zhuǎn)動(dòng)的角?，它的范圍是(0,?)，當(dāng)??90?時(shí)tan??k2?k11?k1k2.

⑵兩條相交直線l1與l2的夾角：兩條相交直線l1與l2的夾角，是指由l1與l2相交所成的四個(gè)角中最小的正角?，又稱為l1和l2所成的角，它的取值范圍是??0,?????2?，當(dāng)??90?，則

有tan??k2?k11?k1k2.

5．過(guò)兩直線??l1:A1x?B1y?C1?0?l2:A2x?B2y?C2?0的交點(diǎn)的直線系方程A1x?B1y?C1??(A2x?B2y?C2)?0(?

為參數(shù)，A2x?B2y?C2?0不包括在內(nèi)）6．點(diǎn)到直線的距離：

⑴點(diǎn)到直線的距離公式：設(shè)點(diǎn)P(x0,y0)，直線l:Ax則有d注：

1．兩點(diǎn)P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的距離公式：|P1P2特例：點(diǎn)P(x,y)到原點(diǎn)O的距離：|OP|?|??Ax0?By0?CA?B22?By?C?0,P到l的距離為d，

.

(x2?x1)?(y2?y1)22.

22x?y2．定比分點(diǎn)坐標(biāo)分式。若點(diǎn)P(x,y)分有向線段P1P2所成的比為?即P1P??PP2,其中P1(x1,y1),P2(x2,y2).則x?x1??x21??,y?y1??y21??????????

特例，中點(diǎn)坐標(biāo)公式；重要結(jié)論，三角形重心坐標(biāo)公式。

3．直線的傾斜角（0°≤?＜180°＝、斜率:k?tan?4．過(guò)兩點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直線的斜率公式：k?y2?y1x2?x1.

(x1?x2)

當(dāng)x1?x2,y1?y2（即直線和x軸垂直）時(shí)，直線的傾斜角?＝90?，沒(méi)有斜率⑵兩條平行線間的距離公式：設(shè)兩條平行直線

l1:Ax?By?C1?0,l2:Ax?By?C2?0(C1?C2)，它們之間的距離為d，則有d?C1?C222.

A?B注：直線系方程

1．與直線：Ax+By+C=0平行的直線系方程是：Ax+By+m=0.(m?R,C≠m).2．與直線：Ax+By+C=0垂直的直線系方程是：Bx-Ay+m=0.(m?R)

3．過(guò)定點(diǎn)（x1,y1）的直線系方程是：A(x-x1)+B(y-y1)=0(A,B不全為0)4．過(guò)直線l1、l2交點(diǎn)的直線系方程：（A1x+B1y+C1）+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ?R)注：該直線系不含l2.

5．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱和關(guān)于某直線對(duì)稱：

⑴關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的兩條直線一定是平行直線，且這個(gè)點(diǎn)到兩直線的距離相等.

⑵關(guān)于某直線對(duì)稱的兩條直線性質(zhì)：若兩條直線平行，則對(duì)稱直線也平行，且兩直線到對(duì)稱直線距離相等.

若兩條直線不平行，則對(duì)稱直線必過(guò)兩條直線的交點(diǎn)，且對(duì)稱直線為兩直線夾角的角平分線.

⑶點(diǎn)關(guān)于某一條直線對(duì)稱，用中點(diǎn)表示兩對(duì)稱點(diǎn)，則中點(diǎn)在對(duì)稱直線上（方程①），過(guò)兩對(duì)稱點(diǎn)的直線方程與對(duì)稱直線方程垂直（方程②）①②可解得所求對(duì)稱點(diǎn).

注：①曲線、直線關(guān)于一直線（y??x?b）對(duì)稱的解法：y換x，x換y.例：曲線f(x,y)=0關(guān)于直線y=x–2對(duì)稱曲線方程是f(y+2,x–2)=0.

②曲線C:f(x,y)=0關(guān)于點(diǎn)(a,b)的對(duì)稱曲線方程是f(a–x,2b–y)=0.（二）圓的方程.

1．⑴曲線與方程：在直角坐標(biāo)系中，假使某曲線C上的與一個(gè)二元方程

f(x,y)?0的實(shí)數(shù)

建立了如下關(guān)系：

①曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解.

②以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn).

那么這個(gè)方程叫做曲線方程；這條曲線叫做方程的曲線（圖形）.

⑵曲線和方程的關(guān)系，實(shí)質(zhì)上是曲線上任一點(diǎn)M(x,y)其坐標(biāo)與方程f(x,y)?0的一種關(guān)系，曲線上任一點(diǎn)(x,y)是方程f(x,y)?0的解；反過(guò)來(lái)，滿足方程f(x,y)?0的解所對(duì)應(yīng)

的點(diǎn)是曲線上的點(diǎn).

注：假使曲線C的方程是f(x,y)=0，那么點(diǎn)P0(x0,y)線C上的充要條件是f(x0,y0)=02．圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：以點(diǎn)C(a,b)為圓心，r為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x?a)2?(y?b)2?r2.

特例：圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為r的圓的方程是：x2?y2?r2.注：特別圓的方程：①與軸相切的圓方程(x?a)2?(y?b)2?b2②與y軸相切的圓方程(x?a)2?(y?b)2?a2③與軸y軸都相切的圓方程(x?a)2?(y?a)2?a23．圓的一般方程：x2?y2?Dx?Ey?F?0

[r?b,圓心(a,b)或(a,?b)]

[r?a,圓心(a,b)或(?a,b)]

[r?a,圓心(?a,?a)]

.

E??D當(dāng)D?E?4F?0時(shí)，方程表示一個(gè)圓，其中圓心C??,??2??222，半徑r?D?E?4F222.

當(dāng)D2?E2?4F當(dāng)D2?E2?4F?0?0時(shí)，方程表示一個(gè)點(diǎn)????D2,?E??2?.

時(shí)，方程無(wú)圖形（稱虛圓）.

?x?a?rcos??y?b?rsin?注：①圓的參數(shù)方程：?②方程Ax222（?為參數(shù)）.

表示圓的充要條件是：B?0?Bxy?Cy2?Dx?Ey?F?0且A?C?0且

.

③圓的直徑或方程：已知A(x1,y1)B(x2,y2)?D?E?4AF?0(x?x1)(x?x2)?(y?y1)(y?y2)?0（用向量可

征）.

4．點(diǎn)和圓的位置關(guān)系：給定點(diǎn)M(x0,y0)及圓C:(x?a)2?(y?b)2?r2.

①M(fèi)在圓C內(nèi)?(x0?a)?(y0?b)?r222

②M在圓C上?（x0?a)2?(y0?b)2?r2③M在圓C外?(x0?a)?(y0?b)?r222

5．直線和圓的位置關(guān)系：設(shè)圓圓C：(x?a)2?(y?b)2?r2(r圓心C(a,b)到直線l的距離d①d?r?0)；直線l：Ax?By?C.

?0(A?B?0)；

22?Aa?Bb?CA?B22時(shí)，l與C相切；

相減為公切線方程.

22??x?y?D1x?E1y?F1?0?附：若兩圓相切，則?22??x?y?D2x?E2y?F2?0②d?r時(shí)，l與C相交；

附：公共弦方程：設(shè)C1:x2?y2?D1x?E1y?F1?

③d?r220有兩個(gè)交點(diǎn)，則其公共弦方程為(D1?D2)x?(E1?E2)y?(F1?F2)?0.

時(shí)，l與C相離.

相減為圓心O1O2的連線的中與線方程.

22??x?y?D1x?E1y?F1?0?附：若兩圓相離，則?22??x?y?D2x?E2y?F2?0C2:x?y?D2x?E2y?F2?0

222??(x?a)?(y?b)?r由代數(shù)特征判斷：方程組???Ax?Bx?C?0用代入法，得關(guān)于x（或y）的一元二次方

程，其判別式為?，則：

??0?l與C相切；

??0?l??0?l與C相交；與C相離.

注：若兩圓為同心圓則x2?y2?D1x?E1y?F1?0，x2?y2?D2x?E2y?F2?0相減，不表示直線.

6．圓的切線方程：圓x2?y2?r2的斜率為k的切線方程是y

x?y?Dx?Ey?F?0

22?kx?1?kr2過(guò)圓

上一點(diǎn)P(x0,y0)的切線方程為：x0x?y0y?Dx?x02?Ey?y02?F?0.

①一般方程若點(diǎn)(x0,y0)在圓上，則(x–a)(x0–a)+(y–b)(y0–b)=R2.特別地，過(guò)圓

x?y?r222上一點(diǎn)P(x0,y0)的切線方程為x0x?y0y?r2.

A?y1?y0?k(x1?x0)?b?y1?k(a?x1)②若點(diǎn)(x0,y0)不在圓上，圓心為(a,b)則?R??2R?1?，

BCD(a,b)聯(lián)立求出k?切線方程.

7．求切點(diǎn)弦方程：方法是構(gòu)造圖，則切點(diǎn)弦方程即轉(zhuǎn)化為公共弦方程.如圖：ABCD四類共

圓.已知

?O的方程

x?y?Dx?Ey?F?0222…①又以ABCD為圓為方程為

(x?xA)(x?a)?(y?yA)(x?b)?k2…②

R?(xA?a)?(yA?b)422…③，所以BC的方程即③代②，①②相切即為所求.

(三)曲線和方程

1．曲線與方程：在直角坐標(biāo)系中，假使曲線C和方程f(x,y)=0的實(shí)數(shù)解建立了如下的關(guān)系：1）曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程f(x,y)=0的解（純粹性）；

2）方程f(x,y)=0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線C上（完備性）。

則稱方程f(x,y)=0為曲線C的方程，曲線C叫做方程f(x,y)=0的曲線。2．求曲線方程的方法：.

1）直接法：建系設(shè)點(diǎn)，列式表標(biāo),簡(jiǎn)化檢驗(yàn)；2）參數(shù)法；3）定義法；4）待定系數(shù)法。

十年高考分類解析與應(yīng)試策略數(shù)學(xué)

第七章直線和圓的方程

●考點(diǎn)闡釋

解析幾何是用代數(shù)方法來(lái)研究幾何問(wèn)題的一門數(shù)學(xué)學(xué)科．在建立坐標(biāo)系后，平面上的點(diǎn)與有序?qū)崝?shù)對(duì)之間建立起對(duì)應(yīng)關(guān)系，從而使平面上某些曲線與某些方程之間建立對(duì)應(yīng)關(guān)系；使平面圖形的某些性質(zhì)（形狀、位置、大?。┛梢杂孟鄳?yīng)的數(shù)、式表示出來(lái)；使平面上某些幾何問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的代數(shù)問(wèn)題來(lái)研究．學(xué)習(xí)解析幾何，要特別重視以下幾方面：

（1）熟練把握?qǐng)D形、圖形性質(zhì)與方程、數(shù)式的相互轉(zhuǎn)化和利用；（2）與代數(shù)、三角、平面幾何密切聯(lián)系和靈活運(yùn)用．●試題類編一、選擇題

1.（2023北京春文12，理10）已知直線ax+by+c=0（abc≠0）與圓x2+y2=1相切，則三條邊長(zhǎng)分別為|a|，|b|，|c|的三角形（）A.是銳角三角形B.是直角三角形C.是鈍角三角形D.不存在

2.（2023北京春理，12）在直角坐標(biāo)系xOy中，已知△AOB三邊所在直線的方程分別為x=0，y=0，2x+3y=30，則△AOB內(nèi)部和邊上整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）的總數(shù)是（）A.95B.91C.88D.753.（2023京皖春文，8）到兩坐標(biāo)軸距離相等的點(diǎn)的軌跡方程是（）A.x－y=0B.x+y=0C.|x|－y=0D.|x|－|y|=0

?4.（2023京皖春理，8）圓2x2＋2y2＝1與直線xsinθ＋y－1＝0（θ∈R,θ≠2＋kπ，k∈Z）的位置關(guān)系是（）A.相交B.相切C.相離D.不確定的

5.（2023全國(guó)文）若直線（1+a）x+y+1=0與圓x2＋y2－2x＝0相切，則a的值為（）A.1，－1B.2，－2C.1D.－1

36.（2023全國(guó)理）圓（x－1）2＋y2＝1的圓心到直線y=3x的距離是（）

1A.2

3B.2

C.1

D.3

7.（2023北京，2）在平面直角坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)A（cos80°,sin80°）,B（cos20°，sin20°），則|AB|的值是（）

1A.2

2B.2

3C.2

D.1

8.（2023北京文，6）若直線l：y＝kx?

3與直線2x＋3y－6＝0的交點(diǎn)位于第一象限，則直

線l的傾斜角的取值范圍是（）

A.6[??,3))

B.6(??,2])C.3(??,2

D.6[??,2

5x29.（2023北京理，6）給定四條曲線：①x2＋y2＝2，②9?y2y2x24＝1，③x2＋4＝1，④4＋y2＝1．其中與直線x+y－5=0僅有一個(gè)交點(diǎn)的曲線是（）

A.①②③B.②③④C.①②④D.①③④10.（2023全國(guó)文，2）過(guò)點(diǎn)A（1，－1）、B（－1，1）且圓心在直線x＋y－2＝0上的圓的方程是（）

A.（x－3）2＋（y＋1）2＝4B.（x＋3）2＋（y－1）2＝4C.（x－1）2＋（y－1）2＝4D.（x＋1）2＋（y＋1）2＝411.（2023上海春，14）若直線x=1的傾斜角為α，則α（）

?A.等于0

B.等于4

?C.等于2

D.不存在

12.（2023天津理，6）設(shè)A、B是x軸上的兩點(diǎn)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2且|PA|=|PB|，若直線PA的方程為x－y+1=0，則直線PB的方程是（）A.x+y－5=0B.2x－y－1=0C.2y－x－4=0D.2x+y－7=0

13.（2023京皖春，6）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P在直線x=1上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．以O(shè)P為直角邊，點(diǎn)O為直角頂點(diǎn)作等腰Rt△OPQ，則動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是（）A.圓B.兩條平行直線C.拋物線D.雙曲線

14.（2000京皖春，4）以下方程的曲線關(guān)于x=y對(duì)稱的是（）A.x2－x＋y2＝1B.x2y＋xy2＝1C.x－y=1D.x2－y2＝115.（2000京皖春，6）直線（3?2）x+y=3和直線x+（2?3）y=2的位置關(guān)系是（）

A.相交不垂直B.垂直C.平行D.重合

16.（2000全國(guó)，10）過(guò)原點(diǎn)的直線與圓x2＋y2＋4x＋3＝0相切，若切點(diǎn)在第三象限，則該直線的方程是（）A.y=3x

B.y=－3x

3C.y=3x

3D.y=－3x

17.（2000全國(guó)文，8）已知兩條直線l1：y=x，l2：ax－y=0，其中a為實(shí)數(shù)，當(dāng)這兩條直線的

?夾角在（0，12）內(nèi)變動(dòng)時(shí)，a的取值范圍是（）

3A.（0，1）

B.（3,3）

3C.（3，1）∪（1，3）

D.（1，3）

18.（1999全國(guó)文，6）曲線x2+y2+22x－22y=0關(guān)于（）A.直線x=2軸對(duì)稱

B.直線y=－x軸對(duì)稱D.點(diǎn)（－2，0）中心對(duì)稱

C.點(diǎn)（－2，2）中心對(duì)稱

319.（1999上海，13）直線y=3x繞原點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)30°后所得直線與圓（x－2）2+y2=3的位置關(guān)系是（）A.直線過(guò)圓心B.直線與圓相交，但不過(guò)圓心C.直線與圓相切D.直線與圓沒(méi)有公共點(diǎn)

20.（1999全國(guó)，9）直線3x+y－23=0截圓x2＋y2＝4得的劣弧所對(duì)的圓心角為（）

?A.6

?B.4

?C．3

?D.2

21.（1998全國(guó)，4）兩條直線A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要條件是（）A.A1A2＋B1B2＝0B.A1A2－B1B2＝0

A1A2C.

B1B2??1

D.

B1B2A1A2=1

22.（1998上海）設(shè)a、b、c分別是△ABC中∠A、∠B、∠C所對(duì)邊的邊長(zhǎng)，則直線sinA2x+ay+c=0與bx－sinB2y+sinC=0的位置關(guān)系是（）A.平行B.重合C.垂直D.相交但不垂直

23.（1998全國(guó)文，3）已知直線x=a（a>0）和圓（x－1）2+y2=4相切，那么a的值是（）A.5B.4C.3D.2

24.（1997全國(guó)，2）假使直線ax+2y+2=0與直線3x－y－2=0平行，那么系數(shù)a等于（）

3A.－3

B.－6

C.－2

2D.3

25.（1997全國(guó)文，9）假使直線l將圓x2+y2－2x－4y=0平分，且不通過(guò)第四象限，那么直線l的斜率的取值范圍是（）A.［0，2］B.［0，1］

1C.［0，2］

1D.［0，2）

26.（1995上海，8）以下四個(gè)命題中的真命題是（）

A.經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P0（x0，y0）的直線都可以用方程y－y0=k（x－x0）表示B.經(jīng)過(guò)任意兩個(gè)不同的點(diǎn)P1（x1，y1）、P2（x2，y2）的直線都可以用方程（y－y1）2（x2－x1）=（x－x1）（y2－y1）表示

xC.不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線都可以用方程a?yb?1表示

D.經(jīng)過(guò)定點(diǎn)A（0，b）的直線都可以用方程y=kx+b表示

27.（1995全國(guó)文，8）圓x2＋y2－2x＝0和x2＋y2＋4y＝0的位置關(guān)系是（）A.相離B.外切C.相交D.內(nèi)切28.（1995全國(guó)，5）圖7—1中的直線l1、l2、l3的斜率分別為k1、k2、k3，則（）A.k1＜k2＜k3B.k3＜k1＜k2C.k3＜k2＜k1D.k1＜k3＜k2

29.（1994全國(guó)文，3）點(diǎn)（0，5）到直線y=2x的距離是（）

5A.2

B.5

圖7—13C.2二、填空題

5D.2

30.（2023上海春，2）直線y=1與直線y=3x+3的夾角為_____.

31.（2023上海春，7）若經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)A（－1，0）、B（0，2）的直線l與圓（x－1）2+（y－a）2=1相切，則a=_____.

32.（2023北京文，16）圓x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的動(dòng)點(diǎn)Q到直線3x＋4y＋8＝0距離的最小值為．

33.（2023北京理，16）已知P是直線3x+4y+8=0上的動(dòng)點(diǎn)，PA，PB是圓x2＋y2－2x－2y＋1＝0的兩條切線，A、B是切點(diǎn)，C是圓心，那么四邊形PACB面積的最小值為．34.（2023上海文，6）已知圓x2＋（y－1）2＝1的圓外一點(diǎn)P（－2，0），過(guò)點(diǎn)P作圓的切線，則兩條切線夾角的正切值是．

35.（2023上海理，6）已知圓（x＋1）2＋y2＝1和圓外一點(diǎn)P（0，2），過(guò)點(diǎn)P作圓的切線，則兩條切線夾角的正切值是．

36.（2023上海春，8）設(shè)曲線C1和C2的方程分別為F1（x，y）＝0和F2（x，y）＝0，則點(diǎn)P（a，b）?C1∩C2的一個(gè)充分條件為．

37.（2023上海，11）已知兩個(gè)圓：x2＋y2＝1①與x2＋（y－3）2＝1②，則由①式減去②式可得上述兩圓的對(duì)稱軸方程．將上述命題在曲線仍為圓的狀況下加以推廣，即要求得到一個(gè)更一般的命題，而已知命題應(yīng)成為所推廣命題的一個(gè)特例．推廣的命題為：

38.（2023上海春，6）圓心在直線y=x上且與x軸相切于點(diǎn)（1，0）的圓的方程為.39.（2000上海春，11）集合A＝｛（x，y）|x2＋y2＝4｝，B＝｛（x，y）|(x－3)2＋(y－4)2＝r2｝，

其中r＞0，若A∩B中有且僅有一個(gè)元素，則r的值是_____.

40.（1997上海）設(shè)圓x2+y2－4x－5=0的弦AB的中點(diǎn)為P（3，1），則直線AB的方程是.41.（1994上海）以點(diǎn)C（－2，3）為圓心且與y軸相切的圓的方程是.三、解答題

42.（2023京春文，20）設(shè)A（－c，0），B（c，0）（c>0）為兩定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P到A點(diǎn)的距離與到B點(diǎn)的距離的比為定值a（a>0），求P點(diǎn)的軌跡.43.（2023京春理，22）已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)P（1，0），且與定直線l：x=－1相切，點(diǎn)C在l上.（Ⅰ）求動(dòng)圓圓心的軌跡M的方程；

（Ⅱ）設(shè)過(guò)點(diǎn)P，且斜率為－3的直線與曲線M相交于A、B兩點(diǎn).

（i）問(wèn)：△ABC能否為正三角形？若能，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不能，說(shuō)明理由；（ii）當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)，求這種點(diǎn)C的縱坐標(biāo)的取值范圍.

44.（2023全國(guó)文，21）已知點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)M（－1，0）、N（1，0）距離的比為2，點(diǎn)N到直線PM的距離為1．求直線PN的方程．

45.（1997全國(guó)文，25）已知圓滿足：①截y軸所得弦長(zhǎng)為2；②被x軸分成兩段圓弧，其弧

5長(zhǎng)的比為3∶1；③圓心到直線l：x－2y=0的距離為5，求該圓的方程.

46.（1997全國(guó)理，25）設(shè)圓滿足：（1）截y軸所得弦長(zhǎng)為2；

（2）被x軸分成兩段圓弧，其弧長(zhǎng)的比為3∶1．在滿足條件（1）、（2）的所有圓中，求圓心到直線l：x－2y=0的距離最小的圓的方程.

47.（1997全國(guó)文，24）已知過(guò)原點(diǎn)O的一條直線與函數(shù)y=log8x的圖象交于A、B兩點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)A、B作y軸的平行線與函數(shù)y＝log2x的圖象交于C、D兩點(diǎn).（1）證明點(diǎn)C、D和原點(diǎn)O在同一條直線上.（2）當(dāng)BC平行于x軸時(shí)，求點(diǎn)A的坐標(biāo).

48.（1994上海，25）在直角坐標(biāo)系中，設(shè)矩形OPQR的頂點(diǎn)按逆時(shí)針順序依次為O（0，0），P（1，t），Q（1－2t，2+t），R（－2t，2），其中t∈（0，＋∞）.（1）求矩形OPQR在第一象限部分的面積S（t）.（2）確定函數(shù)S（t）的單調(diào)區(qū)間，并加以證明.

49.（1994全國(guó)文，24）已知直角坐標(biāo)平面上點(diǎn)Q（2，0）和圓C：x2+y2=1，動(dòng)點(diǎn)M到圓C的切線長(zhǎng)與|MQ|的比等于常數(shù)λ（λ>0）.求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，說(shuō)明它表示什么曲線.●答案解析1.答案：B

解析：圓心坐標(biāo)為（0，0），半徑為1.由于直線和圓相切.利用點(diǎn)到直線距離公式得：

|c|d=

a?b22=1，即a2+b2=c2.所以，以|a|，|b|，|c|為邊的三角形是直角三角形.

評(píng)述：要求利用直線與圓的基本知識(shí)，迅速找到a、b、c之間的關(guān)系，以確定三角形形狀.2.答案：B

22解析一：由y=10－3x（0≤x≤15，x∈N）轉(zhuǎn)化為求滿足不等式y(tǒng)≤10－3x（0≤x≤15，x∈

N）所有整數(shù)y的值.然后再求其總數(shù).令x=0，y有11個(gè)整數(shù)，x=1，y有10個(gè)，x=2或x=3時(shí)，y分別有9個(gè)，x=4時(shí)，y有8個(gè)，x=5或6時(shí)，y分別有7個(gè)，類推：x=13時(shí)y有2個(gè)，x=14或15時(shí)，y分別有1個(gè)，共91個(gè)整點(diǎn).應(yīng)選B.

解析二：將x=0，y=0和2x+3y=30所圍成的三角形補(bǔ)成一個(gè)矩形.如圖7—2所示.

對(duì)角線上共有6個(gè)整點(diǎn)，矩形中（包括邊界）共有16311=176.因此所

176?6求△AOB內(nèi)部和邊上的整點(diǎn)共有

2=91（個(gè)）

圖7—2評(píng)述：此題較好地考察了考生的數(shù)學(xué)素質(zhì)，特別是考察了思維的靈敏性與明了的頭腦，通過(guò)不等式解等知識(shí)摸索解題途徑.3.答案：D

解析：設(shè)到坐標(biāo)軸距離相等的點(diǎn)為（x，y）∴|x|＝|y|∴|x|－|y|＝04.答案：C

2解析：圓2x2＋2y2＝1的圓心為原點(diǎn)（0，0）半徑r為2，圓心到直線xsinθ＋y－1＝0的

d?距離為：

|1|sin??12?1sin??1

2?∵θ∈R，θ≠2＋kπ，k∈Z

2∴0≤sin2θ＜1∴d＞2∴d＞r

?∴圓2x2＋2y2＝1與直線xsinθ＋y－1＝0（θ∈R，θ≠2＋kπ，k∈Z）的位置關(guān)系是相離．5.答案：D

解析：將圓x2＋y2－2x＝0的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式：（x－1）2＋y2＝1∴其圓心為（1，0），半徑為1，若直線（1＋a）x＋y＋1＝0與該圓相切，則圓心到直線的距離d等于圓的半徑r

|1?a?1|∴

(1?a)?12?1∴a＝－1

6.答案：A

解析：先解得圓心的坐標(biāo)（1，0），再依據(jù)點(diǎn)到直線距離的公式求得A答案．7.答案：D

解析：如圖7—3所示，∠AOB＝60°，又|OA|＝|OB|＝1∴|AB|＝18.答案：B

方法一：求出交點(diǎn)坐標(biāo)，再由交點(diǎn)在第一象限求得傾斜角的范圍

圖7—3?3(2?3)x???y?kx?3?2?3k???6k?23?2x?3y?6?0?y??2?3k??3(2?3)?0??2?3k??6k?23?0?∴?2?3k

?x?0?y?0∵交點(diǎn)在第一象限，∴?

3∴k∈（3，＋∞）

??∴傾斜角范圍為（6,2）

方法二：如圖7—4，直線2x+3y－6=0過(guò)點(diǎn)A（3，0），B（0，2），直線l必過(guò)點(diǎn)（0，－3），當(dāng)直線過(guò)A點(diǎn)時(shí)，兩直線的交點(diǎn)在x軸，當(dāng)直線l

繞C點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，交點(diǎn)進(jìn)入第一象限，從而得出結(jié)果.

評(píng)述：解法一利用曲線與方程的思想，利用點(diǎn)在象限的特征求得，而解法二利用數(shù)形結(jié)合的思想，結(jié)合平面幾何中角的求法，可迅速、確鑿求圖7—4得結(jié)果.9.答案：D

解析：聯(lián)立方程組，依次考察判別式，確定D.10.答案：C

解析一：由圓心在直線x＋y－2＝0上可以得到A、C滿足條件,再把A點(diǎn)坐標(biāo)（1，－1）代入圓方程.A不滿足條件.∴選C.

解析二:設(shè)圓心C的坐標(biāo)為(a，b)，半徑為r,由于圓心C在直線x+y－2=0上,∴b=2－a.由|CA|=|CB|，得（a－1）2+（b+1）2=（a+1）2+（b－1）2，解得a=1，b=1因此所求圓的方程為（x－1）2+（y－1）2=4

評(píng)述：此題考察圓的方程的概念，解法一在解選擇題中有廣泛的應(yīng)用，應(yīng)引起重視.11.答案：C

解析：直線x=1垂直于x軸，其傾斜角為90°.12.答案：A

解析：由已知得點(diǎn)A（－1，0）、P（2，3）、B（5，0），可得直線PB的方程是x+y－5=0.評(píng)述：此題考察直線方程的概念及直線的幾何特征.13.答案：B

解析一：設(shè)P=1+bi，則Q=P（±i），∴Q=（1+bi）（±i）=±b?i，∴y=±1

解析二：設(shè)P、Q點(diǎn)坐標(biāo)分別為（1，t），（x，y），

ty

①

∵OP⊥OQ，∴12x=－1，得x+ty=0

∵|OP|=|OQ|，∴

1?t2?x?y22，得x2+y2=t2+1②

xx2212由①得t=－y，將其代入②，得x2+y2=y+1，（x2+y2）（1－y）=0.

1∵x2+y2≠0，∴1－y=0，得y=±1.

∴動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡為y=±1，為兩條平行線.評(píng)述：此題考察動(dòng)點(diǎn)軌跡的基本求法.14.答案：B

解析：∵點(diǎn)（x，y）關(guān)于x=y對(duì)稱的點(diǎn)為(y，x),可知x2y＋xy2＝1的曲線關(guān)于x=y對(duì)稱．15.答案：B解析：直線（3?＝3?22）x+y=3的斜率k1＝2?3，直線x+（2?3）y=2的斜率k2

2，∴k12k2＝(2?3)(3?2)＝－1．

16.答案：C

解析一：圓x2＋y2＋4x＋3＝0化為標(biāo)準(zhǔn)式（x+2）2＋y2＝1，圓心C（－2，0）．設(shè)過(guò)原點(diǎn)的直線方程為y=kx，即kx－y=0.

|?2k|由

23k?1＝1，解得k=±3，∵切點(diǎn)在第三象限，

3∴k＞0，所求直線方程為y=3x．

解析二：設(shè)T為切點(diǎn)，由于圓心C（－2，0），因此CT=1，OC=2，△OCT

3為Rt△.如圖7—5，∴∠COT=30°，∴直線OT的方程為y=3x.評(píng)述：此題考察直線與圓的位置關(guān)系，解法二利用數(shù)與形的完美結(jié)合，可迅速、確鑿得到結(jié)果.17.答案：C

圖7—5???????解析：直線l1的傾斜角為4，依題意l2的傾斜角的取值范圍為（4－12，4）∪（4，4+12）

????3即:（6，4）∪（4，3）,從而l2的斜率k2的取值范圍為:（3，1）∪（1,3）.評(píng)述：此題考察直線的斜率和傾斜角，兩直線的夾角的概念，以及分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.

18.答案：B

解析：由方程（x+2）2+（y－

2）2=4

圖7—6如圖7—6所示，故圓關(guān)于y=－x對(duì)稱應(yīng)選B.

評(píng)述：此題考察了圓方程，以及數(shù)形結(jié)合思想.應(yīng)注意任何一條直徑都是圓的對(duì)稱軸.19.答案：C

3解析：直線y=3x繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°所得的直線方程為：y=3x.已知圓的圓心（2，0）到y(tǒng)=3x的距離d=3，又因圓的半徑r=3，故直線y=3x與已知圓相切.評(píng)述：此題考察直線的斜率和傾斜角以及直線與圓的位置關(guān)系.20.答案：C

解析：如圖7—7所示，

??3x?y?23?0?22?x?y?4由?消y得：x2－3x+2=0∴x1=2，x2=1

∴A（2，0），B（1，3）∴|AB|=

圖7—7(2?1)?(0?23)2=2

又|OB|＝|OA|=2

?∴△AOB是等邊三角形，∴∠AOB=3，應(yīng)選C.

評(píng)述：此題考察直線與圓相交的基本知識(shí)，及正三角形的性質(zhì)以及規(guī)律思維能力和數(shù)形結(jié)合思想，同時(shí)也表達(dá)了數(shù)形結(jié)合思想的簡(jiǎn)捷性.假使注意到直線AB的傾斜角為120°.則等腰△OAB的底角為60°.因此∠AOB=60°.更加表達(dá)出平面幾何的意義.21.答案：A

A1解法一：當(dāng)兩直線的斜率都存在時(shí)，－

B1?2（

A2B2）＝－1，A1A2＋B1B2＝0.

?A1?0?A2?0或??B?0?B1?0當(dāng)一直線的斜率不存在，一直線的斜率為0時(shí)，?2，

同樣適合A1A2＋B1B2＝0，應(yīng)選A.解法二：取特例驗(yàn)證排除.

如直線x+y=0與x－y=0垂直，A1A2＝1，B1B2＝－1，可排除B、D.直線x=1與y=1垂直，A1A2＝0，B1B2＝0，可排除C，應(yīng)選A.

評(píng)述：此題重點(diǎn)考察兩直線垂直的判定、直線方程的一般式等基本知識(shí)點(diǎn)，重點(diǎn)考察分類探討的思想及規(guī)律思維能力.22.答案：C

sinA解析：由題意知a≠0，sinB≠0，兩直線的斜率分別是k1=－

b，k2=sinB.

asinA由正弦定理知k12k2=－

b2sinB=－1，故兩直線垂直.

a評(píng)述：此題考察兩直線垂直的條件及正弦定理.23.答案：C

解析:方程（x－1）2+y2=4表示以點(diǎn)（1，0）為圓心，2為半徑的圓，x=a表示與x軸垂直且與圓相切的直線，而此時(shí)的切線方程分別為x=－1和x=3，由于a>0，取a=3.應(yīng)選C.評(píng)述：此題考察圓的方程、圓的切線方程及圖象.利用數(shù)形結(jié)合較快完成此題.24.答案：B

a解析一：若兩直線平行，則3?2?1?2?2，

解得a＝－6，應(yīng)選B.

解析二：利用代入法檢驗(yàn)，也可判斷B正確.

評(píng)述：此題重點(diǎn)考察兩條直線平行的條件，考察計(jì)算能力.25.答案：A

解析：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（x－1）2+（y－2）2=5.圓過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn).直線l將圓平分，也就是直線l過(guò)圓心C（1，2），從圖7—8看到：當(dāng)直線過(guò)圓心與x軸平行時(shí)，或者直線同時(shí)過(guò)圓心與坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)都不通過(guò)第四象限，并且當(dāng)直線l在這兩條直線之間變化時(shí)都不通過(guò)第四象限.當(dāng)直線l過(guò)圓心與x軸平行時(shí)，k=0，

圖7—8當(dāng)直線l過(guò)圓心與原點(diǎn)時(shí)，k=2.∴當(dāng)k∈［0，2］時(shí)，滿足題意.

評(píng)述：此題考察圓的方程，直線的斜率以及規(guī)律推理能力，數(shù)形結(jié)合的思想方法.26.答案：B

解析：A中過(guò)點(diǎn)P0（x0，y0）與x軸垂直的直線x=x0不能用y－y0=k（x－x0）表示，由于其斜率k不存在；C中不過(guò)原點(diǎn)但在x軸或y軸無(wú)截距的直線y=b（b≠0）或x=a（a≠0）不能

x用方程a?yb=1表示；D中過(guò)A（0，b）的直線x=0不能用方程y=kx+b表示.

評(píng)述：此題考察直線方程的知識(shí)，應(yīng)熟練把握直線方程的各種形式的適用范圍.27.答案：C

解析：將兩圓方程分別配方得（x－1）2＋y2＝1和x2＋（y－2）2＝4，兩圓圓心分別為O1（1，0），O2（0，2），r1＝1，r2＝2，|O1O2|＝1?2?225，又1＝r2－r1＜5＜r1＋r2＝3，

故兩圓相交，所以應(yīng)選C.

評(píng)述：此題考察了圓的一般方程、標(biāo)準(zhǔn)方程及圓的關(guān)系以及配方法.28.答案：D

解析：直線l1的傾斜角α1是鈍角，故k1＜0，直線l2與l3的傾斜角α2、α3均為銳角，且α2＞α3，所以k2＞k3＞0，因此k2＞k3＞k1，故應(yīng)選D.

評(píng)述：此題重點(diǎn)考察直線的傾斜角、斜率的關(guān)系，考察數(shù)形結(jié)合的能力.29.答案：B

|?5|解析：直線方程可化為2x－y=0，d=

5?5.

評(píng)述：此題重點(diǎn)考察直線方程的一般式及點(diǎn)到直線的距離公式等基本知識(shí)點(diǎn)，考察運(yùn)算能力.30.答案：60°

解析：由于直線y=3x+3的傾斜角為60°，而y=1與x軸平行，所以y=1與y=3x+3的夾角為60°.

評(píng)述：考察直線方程的基本知識(shí)及幾何知識(shí)，考察數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.31.答案：a=4±5

解析：因過(guò)A（－1，0）、B（0，2）的直線方程為：2x－y+2=0.圓的圓心坐標(biāo)為C（1，a），半

|2?a?2|徑r=1.又圓和直線相切，因此，有：d=

5=1，解得a=4±5.

評(píng)述：此題考察直線方程、直線和圓的位置關(guān)系及點(diǎn)到直線的距離公式等知識(shí).32.答案：2

|3?4?8|解析：圓心到直線的距離d＝

5＝3

∴動(dòng)點(diǎn)Q到直線距離的最小值為d－r＝3－1＝233.答案：2

2

解法一：∵點(diǎn)P在直線3x+4y+8=0上.如圖7—9.

?2?∴設(shè)P（x，

34x），C點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1），

圖7—9S四邊形PACB＝2S△PAC

1＝2222|AP|2|AC|＝|AP|2|AC|＝|AP|

∵|AP|2＝|PC|2－|AC|2＝|PC|2－1

∴當(dāng)|PC|最小時(shí)，|AP|最小，四邊形PACB的面積最?。?/p>

325∴|PC|2＝（1－x）2＋（1＋2＋4x）2＝16x?252x?10?(54x?1)?9

2∴|PC|min＝3∴四邊形PACB面積的最小值為22．

解法二：由法一知需求|PC|最小值，即求C到直線3x+4y+8=0的距離，∵C（1，1），∴

|3?4?8||PC|=

54=3，SPACD=22.

34.答案：3

解法一：圓的圓心為（0，1）

設(shè)切線的方程為y＝k（x＋2）.如圖7—10.

圖7—10|2k?1|∴kx＋2k－y＝0∴圓心到直線的距離為

k?1＝1

24∴解得k＝3或k＝0，

4∴兩切線交角的正切值為3．解法二：設(shè)兩切線的交角為α

2tan?22?∵tan2?12，∴tanα＝

1?tan?2?11?14?43．

435.答案：3

解析：圓的圓心為（－1，0），如圖7—11.當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為y＝kx＋2∴kx－y＋2＝0

圖7—11|?k?2|∴圓心到切線的距離為

23k?1＝1∴k＝4，

3即tanα＝4

當(dāng)斜率不存在時(shí)，直線x＝0是圓的切線又∵兩切線的夾角為∠α的余角

4∴兩切線夾角的正切值為3

36.答案：F1（a，b）≠0，或F2（a，b）≠0，或F1（a，b）≠0且F2（a，b）≠0或C1∩C2=?或P?C1等

解析：點(diǎn)P（a，b）?C1∩C2，則可能點(diǎn)P不在曲線C1上；可能點(diǎn)P不在曲線C2上；

可能點(diǎn)P既不在曲線C1上也不在曲線C2上；可能曲線C1與曲線C2不存在交點(diǎn).

37.答案：可得兩圓對(duì)稱軸的方程2（c－a）x+2（d－b）y+a2+b2－c2－d2=0解析：設(shè)圓方程（x－a）2＋（y－b）2＝r2①（x－c）2＋（y－d）2＝r2②（a≠c或b≠d），則由①－②，得兩圓的對(duì)稱軸方程為：

（x－a）2－（x－c）2+（y－b）2－（y－d）2=0，即2（c－a）x+2（d－b）y+a2+b2－c2－d2=0.

評(píng)述：此題考察圓的方程、圓的公共弦方程的概念，考察抽象思維能力和推廣數(shù)學(xué)命題的能力.

38.答案：（x－1）2+（y－1）2=1解析一：設(shè)所求圓心為（a，b），半徑為r.由已知，得a=b，r=|b|=|a|.

∴所求方程為（x－a）2+（y－a）2=a2

又知點(diǎn)（1，0）在所求圓上，∴有（1－a）2+a2=a2，∴a=b=r=1.故所求圓的方程為：（x－1）2+（y－1）2=1.解析二：由于直線y=x與x軸夾角為45°.又圓與x軸切于（1，0），因此圓心橫坐標(biāo)為1，縱坐標(biāo)為1，r=1.

評(píng)述：此題考察圓的方程等基礎(chǔ)知識(shí)，要注意利用幾何圖形的性質(zhì)，迅速得到結(jié)果.39.答案：3或7

解析：當(dāng)兩圓外切時(shí)，r=3，兩圓內(nèi)切時(shí)r=7，所以r的值是3或7．

評(píng)述：此題考察集合的知識(shí)和兩圓的位置關(guān)系，要特別注意集合代表元素的意義.40.答案：x+y－4=0

解析一：已知圓的方程為（x－2）2+y2=9，可知圓心C的坐標(biāo)是（2，0），又知AB弦的中點(diǎn)

1?0是P（3，1），所以kCP=3?2=1，而AB垂直CP，所以kAB=－1.故直線AB的方程是x+y－4=0.解析二：設(shè)所求直線方程為y－1=k（x－3）.代入圓的方程，得關(guān)于x的二次方程：

6k?2k?4（1+k2）x2－（6k2－2k+4）x+9k2－6k－4=0，由韋達(dá)定理：x1+x2=

22①?(x?2)?y?9?11②?22??(x2?2)?y2?9②－①得（x2+x1－4）（x2－x1）+（y2－y1）（y2+y1）=0又AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（3，1），∴x1+x2=6，y1+y2=2.

21?k2=6，解得k=1.

解析三：設(shè)所求直線與圓交于A、B兩點(diǎn)，其坐標(biāo)分別為A（x1，y1）、B（x2，y2），則有

y2?y1∴

x2?x1=－1，即AB的斜率為－1，故所求方程為x+y－4=0.

評(píng)述：此題考察直線的方程與圓的有關(guān)知識(shí).要特別注意圓所特有的幾何性質(zhì).41.答案：（x+2）2+（y－3）2=4解析：由于圓心為（－2，3），且圓與y軸相切，所以圓的半徑為2.故所求圓的方程為（x+2）2+（y－3）2=4.

42.解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（x，y）

|PA|由

(x?c)?y=a（a>0），得

22|PB|(x?c)?y22=a，化簡(jiǎn)，

得：（1－a2）x2+2c（1+a2）x+c2（1－a2）+（1－a2）y2=0.

2c(1?a)當(dāng)a≠1時(shí)，得x2+

21?a2x+c2+y2=0.整理，

1?a222ac2得：（x－a?1c）2+y2=（a?1）2當(dāng)a=1時(shí)，化簡(jiǎn)得x=0.

a?1222ac2所以當(dāng)a≠1時(shí)，P點(diǎn)的軌跡是以（a?1c，0）為圓心，|a?1|為半徑的圓；

當(dāng)a=1時(shí)，P點(diǎn)的軌跡為y軸.

評(píng)述：此題考察直線、圓、曲線和方程等基本知識(shí)，考察運(yùn)用解析幾何的方法解決問(wèn)題的能力.

43.（Ⅰ）解法一，依題意，曲線M是以點(diǎn)P為焦點(diǎn)，直線l為準(zhǔn)線的拋物線，所以曲線M的方程為y2=4x.

解法二：設(shè)M（x，y），依題意有|MP|=|MN|，所以|x+1|=

(x?1)?y22.化簡(jiǎn)得：y2=4x.

（Ⅱ）（i）由題意得，直線AB的方程為y=－3（x－1）.

??y??3(x?1),?2?y?4x.由?消y得3x2－10x+3=0，

圖7—121解得x1=3，x2=3.

123,3）所以A點(diǎn)坐標(biāo)為（3，B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，－23），

16|AB|=x1+x2+2=3.

假設(shè)存在點(diǎn)C（－1，y），使△ABC為正三角形，則|BC|=|AB|且|AC|=|AB|，即

162?22(3?1)?(y?23)?(),?3??122162?(?1)2?(y?)?().?33?3

①②423）2，

由①－②得42+（y+23）2=（3）2+（y－3143解得y=－

9.

143但y=－

9不符合①，

所以由①，②組成的方程組無(wú)解.

因此，直線l上不存在點(diǎn)C，使得△ABC是正三角形.

?y??3(x?1),?x??1.（ii）解法一：設(shè)C（－1，y）使△ABC成鈍角三角形，由?得y=23，

即當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（－1，23）時(shí)，A、B、C三點(diǎn)共線，故y≠23.

1又|AC|2=（－1－3）2+（y－

23328）2=9?43y3+y2，

|BC|2=（3+1）2+（y+23）2=28+43y+y2，

16256|AB|2=（3）2=9.

|AB|?|AC|?|BC|當(dāng)∠CAB為鈍角時(shí)，cosA=即|BC|2>|AC|2+|AB|2，即

2222|AB|?|AC|93時(shí)，∠CAB為鈍角.

當(dāng)|AC|2>|BC|2+|AB|2，即

289?433y?y?28?43y?y?22256109，即y|AC|2+|BC|2，即9?232892?43y3?y?28?43y?y，

y?即

2433y?43?0,(y?)?0.

該不等式無(wú)解，所以∠ACB不可能為鈍角.

因此，當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)y的取值范圍是

y??1033或y?239(y?23).

52解法二：以AB為直徑的圓的方程為（x－3）2+（y+338）2=（3）2.

5圓心（3,?2338）到直線l：x=－1的距離為3，

23所以，以AB為直徑的圓與直線l相切于點(diǎn)G（－1，－

3）.

當(dāng)直線l上的C點(diǎn)與G重合時(shí)，∠ACB為直角，當(dāng)C與G點(diǎn)不重合，且A、B、C三點(diǎn)不共線時(shí)，∠ACB為銳角，即△ABC中，∠ACB不可能是鈍角.

因此，要使△ABC為鈍角三角形，只可能是∠CAB或∠CBA為鈍角.

y?過(guò)點(diǎn)A且與AB垂直的直線方程為

233?33(x?13.

)23令x=－1得y=9.

3?過(guò)點(diǎn)B且與AB垂直的直線方程為y+2

33（x－3）.

10令x=－1得y=－33.

?y??3(x?1),?x??1.又由?解得y=23，

所以，當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（－1，23）時(shí)，A、B、C三點(diǎn)共線，不構(gòu)成三角形.

103因此，當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)y的取值范圍是y9（y≠

3評(píng)述：該題全面綜合了解析幾何、平面幾何、代數(shù)的相關(guān)知識(shí)，充分表達(dá)了“重視學(xué)科知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系〞.題目的設(shè)計(jì)別致脫俗，能較好地考察考生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力.比較深刻地考察了解析法的原理和應(yīng)用，以及分類探討的思想、方程的思想.該題對(duì)思維的目的性、規(guī)律性、周密性、靈活性都進(jìn)行了不同程度的考察.對(duì)運(yùn)算、化簡(jiǎn)能力要求也較高，有較好的區(qū)分度.

|PM|44.解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），由題設(shè)有|PN|即

?2，

(x?1)?y22?2?(x?1)?y22．

整理得x2+y2－6x+1=0．①

由于點(diǎn)N到PM的距離為1，|MＮ|＝2，

3所以∠PMN＝30°，直線PM的斜率為±3，

3直線PM的方程為y=±3（x＋1）．②將②式代入①式整理得x2－4x＋1＝0．解得x＝2＋3，x＝2－3．

代入②式得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2＋3，1＋3）或（2－3，－1＋3）；（2＋3，－1－3）或（2－3，1－3）．

直線PN的方程為y=x－1或y=－x+1．

45.解：設(shè)圓的方程為（x－a）2+（y－b）2=r2.令x=0，得y2－2by+b2+a2－r2=0.|y1－y2|=

(y1?y2)?4y1y2?2r?a222=2，得r2=a2+1①

令y=0，得x2－2ax+a2+b2－r2=0，|x1－x2|=

(x1?x2)?4x1x2?2r?b?2222r，得r2=2b2②

由①、②，得2b2－a2=1

5又由于P（a，b）到直線x－2y=0的距離為5，

|a?2b|得d=

52?55，即a－2b=±1.

222?2b?a?1,?2b?a?1?a??1?a?1????a?2b?1;a?2b??1b??1b?1綜上可得?或?解得?或?

于是r2=2b2=2.

所求圓的方程為（x+1）2+（y+1）2=2或（x－1）2+（y－1）2=2.46.解：設(shè)所求圓的圓心為P（a，b），半徑為r，則P到x軸、y軸的距離分別為|b|、|a|.由題設(shè)圓P截x軸所得劣弧所對(duì)圓心角為90°，圓P截x軸所得弦長(zhǎng)為2r，故r2＝2b2，

又圓P截y軸所得弦長(zhǎng)為2，所以有r2＝a2＋1，從而有2b2－a2＝1

|a?2b|又點(diǎn)P（a，b）到直線x－2y=0距離為d＝

5，

所以5d2＝|a－2b|2＝a2＋4b2－4ab≥a2＋4b2－2（a2＋b2）＝2b2－a2＝1當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)上式等號(hào)成立，此時(shí)5d2＝1，從而d取得最小值，

?a?b?a?1?a??1?2??22b?a?1b?1b??1由此有?解方程得?或?由于r2＝2b2，知r＝2，

于是所求圓的方程為（x－1）2＋（y－1）2＝2或（x＋1）2＋（y＋1）2＝2

評(píng)述：此題考察了圓的方程，函數(shù)與方程，求最小值問(wèn)題，進(jìn)一步考察了待定系數(shù)法、函數(shù)與方程思想.題中求圓的方程給出的三個(gè)條件比較別致脫俗，靈活運(yùn)用幾何知識(shí)和代數(shù)知識(shí)將條件恰當(dāng)轉(zhuǎn)化，推演，即貼合規(guī)律、說(shuō)理充分、陳述嚴(yán)謹(jǐn).

47.（1）證明：設(shè)A、B的橫坐標(biāo)分別為x1，x2，由題設(shè)知x1＞1，x2＞1，點(diǎn)A（x1，log8x1），B（x2，log8x2）.

log8x1由于A、B在過(guò)點(diǎn)O的直線上，所以

x1?log8x2x2，

又點(diǎn)C、D的坐標(biāo)分別為（x1，log2x1），（x2，log2x2）

log8x1由于log2x1＝

log＝3log8x1，log2x2＝

8x2＝3log8x2，

log82log82所以O(shè)C的斜率和OD的斜率分別為

kOC?log2x1x1?3log8x1x1,kOD?log2x2x2?3log8x2x2.

由此得kOC＝kOD，即O、C、D在同一條直線上.

（2）解：由BC平行于x軸，有l(wèi)og2x1＝log8x2，解得x2＝x13

log8x1將其代入

x1?log8x2x2，得x13log8x1＝3x1log8x1.

由于x1＞1，知log8x1≠0，故x13＝3x1，x1＝3，于是點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，log83）.評(píng)述：本小題主要考察對(duì)數(shù)函數(shù)圖象、對(duì)數(shù)換底公式、對(duì)數(shù)方程、指數(shù)方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考察運(yùn)算能力和分析問(wèn)題的能力.

148.解：（1）當(dāng)1－2t＞0即0＜t＜2時(shí)，如圖7—13，點(diǎn)Q在第一象限時(shí)，此時(shí)S（t）為四邊形OPQK的面積，直線QR的方程為y－2=t（x+2t）.令x=0，得y=2t2＋2，點(diǎn)K的坐標(biāo)為（P，2t2＋2）.

SOPQK?SOPQR?SOKR?2(1?t)?2212(2t?2)?2t

2圖7—13?2(1?t?t?t)

23

1當(dāng)－2t+1≤0，即t≥2時(shí)，如圖7—14，點(diǎn)Q在y軸上或其次象限，S

1（t）為△OPＬ的面積，直線PQ的方程為y－t=－t（x－1），令x=0得

(t?)?1ty=t+t，點(diǎn)L的坐標(biāo)為（0，t+t），S△OPL＝2?11(t?)2t

1111圖7—141?232(1?t?t?t)0?t???2??1(t?1)t?1?t2所以S（t）＝?2

11（2）當(dāng)0＜t＜2時(shí)，對(duì)于任何0＜t1＜t2＜2，有S（t1）－S（t2）＝2（t2－t1）［1－（t1＋t2）＋（t12＋t1t2＋t22）］＞0，即S（t1）＞

1S（t2），所以S（t）在區(qū)間（0，2）內(nèi)是減函數(shù).

1111t1t2），

當(dāng)t≥2時(shí)，對(duì)于任何2≤t1≤t2，有S（t1）－S（t2）＝2（t1－t2）（1－

1所以若2≤t1≤t2≤1時(shí)，S（t1）＞S（t2）；若1≤t1≤t2時(shí)，S（t1）＜S（t2），所以S（t）

1111在區(qū)間［2，1］上是減函數(shù)，在區(qū)間［1，＋∞)內(nèi)是增函數(shù)，由2［12＋（2）2－(2)3］

5115＝4＝S（2）以及上面的證明過(guò)程可得，對(duì)于任何0＜t1＜2≤t2＜1，S（t2）＜4≤S（t1），于是S（t）的單調(diào)區(qū)間分別為（0，1］及［1，＋∞)，且S（t）在（0，1]內(nèi)是減函數(shù)，在［1，＋∞)內(nèi)是增函數(shù).

49.解：如圖7—15，設(shè)直線MN切圓于N，則動(dòng)點(diǎn)M組成的集合是：

P={M||MN|=λ|MQ|}，（λ>0為常數(shù)）

由于圓的半徑|ON|=1，所以|MN|2=|MO|2－|ON|2=|MO|2－1.

圖7—15設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），則

x?y?1??22(x?2)?y22

整理得（λ2－1）（x2+y2）－4λ2x+（1+4λ2）=0

55當(dāng)λ=1時(shí)，方程化為x=4，它表示一條直線，該直線與x軸垂直，交x軸于點(diǎn)（4，0）；

2?21?3?222?222(??1)??1??1，0）當(dāng)λ≠1時(shí)，方程化為（x－）2+y2=它表示圓心在（，半徑為

1?3?22|??1|的圓.

評(píng)述：此題考察曲線與方