工程數(shù)學(xué)教案

-WUHANCOLLEGEOFINDUSTRIALTECHNOLOGY

課程教案

201L2012學(xué)年第一學(xué)期

課程編號(hào)

課程名稱工程數(shù)學(xué)

主講教師胡麗姣

職稱助教

系（部）名稱公共課部

2011年09月28日

2

課程編號(hào)課程名稱工程數(shù)學(xué)

公共課（J）職業(yè)基礎(chǔ)課（）

課程類型職業(yè)技術(shù)課（）職業(yè)技能課（）

專業(yè)選修課（）

授課班級(jí)

焊接11011102模具11011102

及人數(shù)

總學(xué)分殍期

總學(xué)時(shí)岸期學(xué)時(shí)483

學(xué)分

學(xué)時(shí)分配理論講授學(xué)時(shí)：48實(shí)訓(xùn)（實(shí)驗(yàn)）學(xué)時(shí)：0

考核方式考試（J）考查（）

考核形式閉卷（J）開卷（）口試（）上機(jī)（）其它（）

教材名稱工程數(shù)學(xué)

教

1、《高等數(shù)學(xué)》主編：朱永銀、肖業(yè)勝；武漢大學(xué)出

學(xué)

版社；2004年6月第1版。

參

a《工程數(shù)學(xué)》主編：夏建軍；華中科技大學(xué)出版社；

考

2007年8月第1版。

書

3

題目：數(shù)列極限的定義函數(shù)的極限

課時(shí)：2

教學(xué)目的、要求：

理解數(shù)列極限的概念，會(huì)用數(shù)列極限的性質(zhì)求?些數(shù)列的極限，理解函數(shù)極限的概

念；會(huì)用函數(shù)極限的定義和性質(zhì)求一些函數(shù)在某點(diǎn)處的極限；

重點(diǎn)：數(shù)列極限的定義，用數(shù)列極限的性質(zhì)求一些數(shù)列的極限，函數(shù)極限的定義，求函

數(shù)在某點(diǎn)處的極限；

難點(diǎn)：計(jì)算數(shù)列極限，函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)處的極限的概念的理解。

內(nèi)容：

1.數(shù)列的定義

無(wú)窮多個(gè)數(shù)^，々，^，…""，…按某些規(guī)律一個(gè)一個(gè)地進(jìn)行排列，互為數(shù)列的第n項(xiàng)，又

是通項(xiàng)。

fl].11111

H：1,不彳,…lim—=0

例：（1）[nJ234n,趨近于0

1]1,1,1.1..f,.

s1H---\：2,1H----,1d---,1d----，…,1H----，…lilYl1d---=1

（21#234〃；趨近于in）

（3）｛2n｝：2,4,6,8,???,2〃,???

（4）｛1+（-1產(chǎn)｝：2,0,2,0,…,2,0」..

⑸｛C｝:C,C,…,C,…（。是常數(shù)）叩°=c

分析以上五個(gè)數(shù)列的特性，得出數(shù)列的極限概念。

2、極限的定義：設(shè)有數(shù)列長(zhǎng)/,A為常數(shù)，當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，X,,無(wú)限趨近于A,則數(shù)列極

限存在或收斂，極限是A或kJ收斂于A。記為

limxH=A或x〃—>A（n—>8）

n—8

若｛xJ極限不存在，則｛xJ發(fā)散。

數(shù)列的幾何解釋：將A及玉，*2，X3,…，X",…在數(shù)軸上一一表示出來(lái)，當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，數(shù)

列長(zhǎng)“｝對(duì)應(yīng)的點(diǎn)血聚集在A點(diǎn)附近且無(wú)限趨近于A點(diǎn)。

單調(diào)數(shù)列：匹…"X"W…，則｛x.｝單調(diào)增加;

4

X1—x2—X3——Xn—?jiǎng)t｛xj單調(diào)減少；

3<X3<-<X?<-,則｛xJ嚴(yán)格單調(diào)增加;

X|>*2>“3>-->Xn>…，則｛xj嚴(yán)格單調(diào)減少。

3、數(shù)列極限的性質(zhì)：（1）若收斂，則極限唯一。

（2）若數(shù)列收斂，則有界。

｛1+(-1)叫。

注：有界數(shù)列不一定有極限，如

（3）單調(diào)有界數(shù)列必存在極限。

limxn=A,limy?=B,

4、收斂數(shù)列運(yùn)算法則：（1）若〃-8則

lim(xzr+y〃)=limxn+lim=A+8

〃一>8n—>0°zi—>°°

n

lim

例：…n+1

,、，imx“=A,limy“=8lim(x“y“)=(limx“)(limy“)=A5

(2)若>8〃一>8則n—>OO”T8

lim4-lim=;（c為常數(shù)，k為正整數(shù)）

例：推廣：“T8”

xlimx“A

lim(T=“—>8

lim=A,limyn=B0,limy,,B

（3）若〃一>8n—?°°則,〃―?8

2n2+3n-2

lim

2

例AT8n+1

..ank1+ciiik+■,■+a

lim-Q------2k,(k,tn€N+,k<m),a,b(i=0,l,2,---k,j=0,1,2,

mlm2ij

hQn-\-h｝n"i+b2n-+---+bm

…，加）是與n無(wú)關(guān)的常數(shù)，a。H0,%H0.

.X-?X。時(shí)函數(shù)/（x）的極限

討論拋物線y=/在x=2處的切線的斜率問(wèn)題。

定義：設(shè)函數(shù)/（x）在X。的附近（在點(diǎn)X。也可以無(wú)意義）有定義，A是一個(gè)

確定的常數(shù).若當(dāng)x無(wú)限趨近于X。時(shí)，函數(shù)/（x）無(wú)限趨近于常數(shù)A,則稱A是

5

函數(shù)“X)在點(diǎn)/的極限(或“X)在點(diǎn)/的極限存在),記為

lim/(%)=A或/(x)—>A(x—>x0).

XTXQ

兩個(gè)常用結(jié)論：(I)limC=C(C為常數(shù))；

?r—x0

(2)limx=x0.

X—X。

x-41

例：(1)lim-----(2)limsinx(3)limsin—

x—4x-16.t-a.r—>0x

2.單側(cè)極限

左極限如果函數(shù)/(x)當(dāng)x從x0的左側(cè)(即x<x°)趨于x。時(shí)以A為極限，則

A稱為/(x)在/的左極限.記作

lim/(x)=A或f(x0-0)=A.

lx。-

右極限如果函數(shù)當(dāng)x從Xo的右側(cè)(即x>x°)趨于x0時(shí)以A為極限，則

A稱為/(%)在

X。的右極限.記作

lim./(x)=A或f(x0+0)=A.

.If

左極限與右極限皆稱為單側(cè)極限,它與函數(shù)極限(雙側(cè)極限)有如下關(guān)系：

lim/(x)=A的充要條件是-0)=f(x0+0)=A.

XT*。

3.x78時(shí)函數(shù)/(x)的極限

例。討論函數(shù)f(x)=L當(dāng)(1)xe(0,-H?)；(2)XG(-<x>,0);(3)xe(-oo,-H?)

X

的變化情況。

函數(shù)在正無(wú)窮遠(yuǎn)處的極限：lim/(x)=A或者/(x)7A(X7+°?)。

X—>+oo

函數(shù)在負(fù)無(wú)窮遠(yuǎn)處的極限：limf(x)~A或者f(x)->A(x->-8)。

XT-8

函數(shù)在負(fù)無(wú)窮遠(yuǎn)處的極限：lim/(x)=A或者(x—8)。

K—>8

6

題目：無(wú)窮大與無(wú)窮小，函數(shù)極限的運(yùn)算法則，符合函數(shù)的極限，兩個(gè)重要極限。

課時(shí)：2

重點(diǎn)：掌握極限的性質(zhì)及四則運(yùn)算法則。

了解極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則，并會(huì)利用它們求極限，掌握利用兩個(gè)重要極限求極限的方

法。

理解無(wú)窮小、無(wú)窮大的概念，掌握無(wú)窮小的比較方法，會(huì)用等價(jià)無(wú)窮小求極限。

難點(diǎn)：無(wú)窮小的比較方法，兩個(gè)重要極限的靈活運(yùn)用。

內(nèi)容：

1.無(wú)窮小的定義：如果在自變量X的某種趨向下，函數(shù)/(x)以0為極限，則稱在x的這種

趨向下，函數(shù)/(X)是無(wú)窮小量。(書中例子)

注意：無(wú)窮小時(shí)個(gè)以0為極限的函數(shù)，不能把它與很小的常數(shù)等同，在常數(shù)中(除0外)

沒(méi)有無(wú)窮小

無(wú)窮小的性質(zhì)：

(1)有限個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和是無(wú)窮小。

(2)有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積還是無(wú)窮小。

2.無(wú)窮大的定義：如果在自變量x的某種趨向下，函數(shù)/(x)的絕對(duì)值以8為極限，則稱在

X的這種趨向下，函數(shù)/(X)是無(wú)窮大量。(書中例子)

注：這時(shí)函數(shù)的極限不存在但仍記做lim/(x)=8,表示函數(shù)在X的變化過(guò)程中的變化趨

XTXo

勢(shì)。

無(wú)窮大的性質(zhì)：

(1)兩個(gè)無(wú)窮大的乘積仍然是無(wú)窮大。

(2)有界函數(shù)與無(wú)窮大的和是無(wú)窮大；

(3)無(wú)窮小和無(wú)窮大的關(guān)系

在自變量的同一變化過(guò)程中，如果/(x)為無(wú)窮大，則」一為無(wú)窮??；反之，如果“X)

“X)

為無(wú)窮小，且/(X)豐0則」一為無(wú)窮大

/(x)

即：非零的無(wú)窮小量與無(wú)窮大量是倒數(shù)關(guān)系：當(dāng)時(shí)：有

7

lim=0=lim—=g

X-8X—>8X

3.無(wú)窮小的比較：

設(shè)/(x)和g(x)都是同一變化過(guò)程下的無(wú)窮小，且g(x)H0。

(1)若lim/?=0,則稱f(x)是關(guān)于g(x)的高階無(wú)窮小，記為f(x)=o((g(x)),

g(x)

也稱g(x)是關(guān)于/(X)的低階無(wú)窮??；

(2)若lim幺則稱/(x)和g(x)是同階無(wú)窮小，特別當(dāng)lim幺2=1,則

g(x)g(x)

稱/(X)和g(x)是等價(jià)無(wú)窮小，記為/(X)?g(x)。

分析書中例題。

4.函數(shù)極限的運(yùn)算法則

定理1.9若lim/(x)=A,limg(jc)=B,則有:

XT."X—>A0

lim(/(x)±g(x))=lim/(x)±limg(x)=A±B；

X—>X0Xf%

lim(/(x)-g(x))=lim/(%)-limg(x)=AB；

XT%x->.r0x—>x0

(lim/(x)4

lim-------=-(limg(x)=8H0)。

xTx°(g(九limg(x)B

XT%

推論1.3

黑板演示書中例題1.10,1.11,1.12.

5.復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則

回憶初等函數(shù)，復(fù)合函數(shù)的概念

設(shè)函數(shù)y=/[g(x)｝是由函數(shù)y=/Q)與"=g(x)復(fù)合而成，/[g(x)]在點(diǎn)/的某

0

去心鄰域內(nèi)有定義，若limg(x)=M(),lim/(?)=A,且存在H)>0,當(dāng)xe

時(shí)，有g(shù)(x)*u0,則

\imf[g(x)]=limf(u)=A

X-^CQ“TUQ

8

6.兩個(gè)重要極限

通過(guò)書中的表格分析推出該結(jié)論。

..sinx,

(1)lim-----=1

x

..tanx1-cosx

例：!^—lim------——

IOX

..arcsinx

lim--------

XT°X

(2)lim(l+—

%T8X

例：lim(l-—)A,lim(l+x)v

x—>8x.v-?O

分析書中例題。

9

題目：函數(shù)的連續(xù)性

課時(shí)：2

重點(diǎn)：理解函數(shù)連續(xù)性的概念(含左連續(xù)與右連續(xù))，會(huì)判別函數(shù)間斷點(diǎn)的類型。

了解連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性，了解閉區(qū)間上.連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)(有界性、

最大值和最小值定理、介值定理)，并會(huì)應(yīng)用這些性質(zhì)。

難點(diǎn)：判別函數(shù)間斷點(diǎn)的類型，應(yīng)用函數(shù)的性質(zhì)解題。

內(nèi)容：

1.左連續(xù)，右連續(xù)

左連續(xù)的定義：若函數(shù)/在點(diǎn)/有/(x0-0)=/(x0),則稱函數(shù)/在點(diǎn)x0左連續(xù)；

右連續(xù)的定義：若函數(shù)/在點(diǎn)X。有/(x0+0)=/(/)，則稱函數(shù)/在點(diǎn)Xo右連續(xù)；

連續(xù)的定義：函數(shù)/在點(diǎn)X。連續(xù)，當(dāng)且僅當(dāng)該點(diǎn)的函數(shù)值/(x°)、左極限/(X。-0)與右

極限/(公+0)三者相等：

/(x0-0)=/(x°)=/(x0+0)

或者：當(dāng)且僅當(dāng)函數(shù)/在點(diǎn)X。有極限且此極限等于該點(diǎn)的函數(shù)值。

lim/(x)=/(x0)

XT/

函數(shù)在區(qū)間(a,b)連續(xù)指：區(qū)間中每一點(diǎn)都連續(xù)。

函數(shù)在區(qū)間［a,b］連續(xù)指在區(qū)間(a,b)連續(xù)，且在左端點(diǎn)處右連續(xù)，在右端點(diǎn)處左連

續(xù)。

注：左右連續(xù)，在區(qū)間上連續(xù)(注意端點(diǎn))

連續(xù)函數(shù)的圖像是??條連續(xù)且不間斷的曲線

連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算：

1).lim/(%)=/(%o)且limg(x)=g(x0),

x—?xo

nlim{a-/(%)+/?-g(x)}=af(x0)+/3g(x0)

2).lim/(x)=1/■(/)且limg(x)=g(x0),

=>lim{〃x)*g(x)}=〃Xo)*g(Xo)

Ho

3).lim/(x)=)且limg(x)=g(x0)H0,

XT%Kf%

10

^Vimrn=fM

f。g(x)g&o)

2.反函數(shù)連續(xù)定理：如果函數(shù)/:y=/(x)XGDf是嚴(yán)格單調(diào)增加(減少)并且連續(xù)的,

則存在它的反函數(shù)x=f-\y)ywO,并且/t也是嚴(yán)格單調(diào)增加(減少)并且

連續(xù)的。

注：1)反函數(shù)的定義域就是原來(lái)的值域。

2)通常慣用X表示自變量，丫表示因變量。反函數(shù)也可表成

3.復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性定理：

設(shè)函數(shù)7和g滿足復(fù)合條件爪,u。/,若函數(shù)g在點(diǎn)X。連續(xù)；g(x0)=〃o,又若

函數(shù)f在點(diǎn)人連續(xù)，則復(fù)合函數(shù)fog在點(diǎn)X。連續(xù)。

注：復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性可以保證極限號(hào)與函數(shù)符號(hào)的交換：

lim/(g(x))=/(limg(x))

x—>xoX—>工0

從這些基本初等函數(shù)出，通過(guò)若干次四則運(yùn)算以及復(fù)合，得到的種種函數(shù)統(tǒng)稱為初等函數(shù)，

并且：初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)。

4.間斷點(diǎn)

若：/(%-0)=/(/)=/(/+0)中有某一個(gè)等式不成立，就間斷，分為：

1、第一類間斷點(diǎn)：

/(公+。)。f(xo~0)

即函數(shù)在點(diǎn)的左右極限皆存在但不相等，曲線段上出現(xiàn)一個(gè)跳躍。

例：見教材。

2、第二類間斷點(diǎn)與：左極限-0)與右極限/(%+0)兩者之中至少有一個(gè)不

存在

例：見教材。

11

3.若/(Xo-O)=/(xo+0),但/(x0-0)^/(x0),且f(x0+0)，/(項(xiàng)))，則稱X。是函

數(shù)/(x)的可去間斷點(diǎn)。

例：見教材。

5.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

1)、(有界性定理)：如果函數(shù)/在閉區(qū)間［a,“上連續(xù)，則它在上有界。

2).(最大、最小值定理)設(shè)函數(shù)：y=/(x),xe。在上有界，現(xiàn)在問(wèn)在值域

={y|y=/(x),xeD}

中是否有一個(gè)最大的實(shí)數(shù)？如果存在，譬如說(shuō)它是某個(gè)點(diǎn)與￡D的函數(shù)值%=/(x0),

則記方=max{/(x)》叫做函數(shù)在D上的最大值。

xeD

類似地，如果0f中有一個(gè)最小實(shí)數(shù)，譬如說(shuō)它是某個(gè)點(diǎn)/eOf的函數(shù)值

%=/(%2)，則記為=mjn{/(x)}稱為函數(shù)在上的最小值。

xeDf

零點(diǎn)定義：若Xo使/(x0)=0,則稱X。為函數(shù)的零點(diǎn)

3).(零點(diǎn)定理)：如果函數(shù)/在閉區(qū)間［a,“上連續(xù)，且/在區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)異號(hào)：

/(a)*/(b)<0則至少有一個(gè)零點(diǎn)(a,b),使/(J)=0

4).(中值定理)：如果函數(shù)/在閉區(qū)間［凡“上連續(xù)，則/在以,以上能取到它的最大值

和最小值之間的任何一個(gè)中間值。

作業(yè)：見課后各章節(jié)練習(xí)。

12

題目：導(dǎo)數(shù)的概念

課時(shí)：2

教學(xué)目的、要求：

理解導(dǎo)數(shù)的概念和函數(shù)變化率的思想，會(huì)用導(dǎo)數(shù)定義求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù),

基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的定義，用導(dǎo)數(shù)的定義求一些函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

難點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)作為變化率的概念的理解

引入：物體沿直線運(yùn)動(dòng)的在某一時(shí)刻的瞬時(shí)速度問(wèn)題

設(shè)某點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)，于時(shí)刻f在直線上的位置的坐標(biāo)為S,這樣，運(yùn)動(dòng)

完全由某個(gè)函數(shù)s=/(f)所確定，這個(gè)函數(shù)稱為位置函數(shù)。對(duì)于最簡(jiǎn)單的情形，

即該動(dòng)點(diǎn)在某一時(shí)間內(nèi)做勻速直線運(yùn)動(dòng)，那么它的速度就是鬻黑黑，如果

所花的時(shí)間

運(yùn)動(dòng)不是勻速的，首先取從時(shí)刻到f這樣的一個(gè)時(shí)間間隔，在這段時(shí)間內(nèi)，動(dòng)

點(diǎn)從位置5。=f(t0)移動(dòng)到S=/(f)的平均速度就是三&=削二"$)，如果時(shí)

t1=to

間間隔很短，這個(gè)比值也可用來(lái)說(shuō)明動(dòng)點(diǎn)在時(shí)刻，。的速度。但對(duì)于動(dòng)點(diǎn)在時(shí)刻『°

的速度的精確概念來(lái)說(shuō)，這樣做是不夠的，而更確切的應(yīng)當(dāng)這樣：令取

上式的極限，如果這個(gè)極限存在，設(shè)為v,即v=二"8),v稱為動(dòng)點(diǎn)在

t-10

時(shí)刻%的(瞬時(shí))速度。

1.導(dǎo)數(shù)的定義從上面討論的問(wèn)題看出，非勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度和切線的斜率

問(wèn)題都?xì)w結(jié)為如下的極限：

lim△止3,(*)

XTX。X-Xo

這里X-Xo和“X)-/(x0)分別是函數(shù)/(x)的自變量的增量Av和函數(shù)的增量

△y：Ar=x-Xo，Ay=/(x)-/(x0)=/(x0+Ax)-/(x0),

13

因X-%相當(dāng)于心一0,故（*）式也可以寫成

lim包或1而/（、。+&）7（%）。

小TO△%加TOAX

由以上內(nèi)容，我們得出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)概念。

定義：設(shè)函數(shù)y=〃x）在點(diǎn)x。的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量x在/處取得增量

Ar（點(diǎn)x°+Ar仍在該鄰域內(nèi)）時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)取得增量Ay=/（與+&）-/（/）

如果Ay和Ax之比當(dāng)AxfO時(shí)的極限存在，則稱函數(shù)），=/（x）在點(diǎn)/處可導(dǎo)，

并稱這個(gè)極限為函數(shù)y=/（x）在點(diǎn)/處的導(dǎo)數(shù)，記為廣（公）,即

八%）=1而包=1而當(dāng)之包^^,

-0Ar-0Ax

也可記作/!…祟二或甯二。

注：（1）可導(dǎo)的等價(jià)概念

函數(shù)/（X）在點(diǎn)X。處可導(dǎo)Q函數(shù)/（X）在點(diǎn)/具有導(dǎo)數(shù)或?qū)?shù)存在。

（2）導(dǎo)數(shù)常見的不同形式的定義式

/Vo）=lim"*。+"）—"/）或/Vo）=lim"防一”"。）。

20hoX-XQ

（3）如果極限不存在，就說(shuō)函數(shù)函數(shù)/*）在點(diǎn)x0處不可導(dǎo)。

2.由定義求導(dǎo)數(shù)的步驟：

（1）求增量Ay=/（x0+Ax）-/（x0）;

（2）算比值包=/（/+&）T（x。）

MAx

⑶求極限y-lim—.

AioAX

習(xí)題：求一些函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

（1）、/a）=c（c為常數(shù)）

（2）、求函數(shù)/（x）=x"（〃cN*）在x=a處的導(dǎo)數(shù)。

(3)、/(x)=sin(x)

14

3.函數(shù)的變化率問(wèn)題

因變量增量與自變量增量之比”是因變量y在以%和x0+Ar為端點(diǎn)的區(qū)間

Ar

上的平均變化率，而導(dǎo)數(shù)/'(X。)則是因變量在點(diǎn)X。處的變化率，它反應(yīng)了因變量

隨自變量的變化而變化的快慢程度。

4.導(dǎo)函數(shù)的概念

如果函數(shù)y=/(幻在開區(qū)間/內(nèi)的每一點(diǎn)處都可導(dǎo)，就稱函數(shù)“X)在開區(qū)間

/內(nèi)可導(dǎo)。這時(shí)，對(duì)于任一XG/,都對(duì)應(yīng)著/(X)的一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)值，這樣就構(gòu)

成了一個(gè)新的函數(shù)，這個(gè)函數(shù)叫做原來(lái)函數(shù)y=/(x)的導(dǎo)鯉。

導(dǎo)函數(shù)的定義式

y，=+—)―/(x)或廣(x)=+(X)

AT。Arjioh

可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系：若函數(shù)/(x)在X。處可導(dǎo)，則函數(shù)/(X)在點(diǎn)X。處連續(xù)，反

之不然，函數(shù)/(X)在不連續(xù)點(diǎn)上一定不可導(dǎo)。

5.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

⑴、/(x)=C(C為常數(shù))

(2)、求函數(shù)/(x)-x"(neN*)在x=a處的導(dǎo)數(shù)。

(3)、/(x)=sin(x)

(4)、y=a'(a>0且aW1)

15

題目：導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算，復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)求導(dǎo)法則

課時(shí)：2

教學(xué)目的、要求：

熟練掌握導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，了解導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和一階

了解高階導(dǎo)數(shù)的概念，會(huì)求某些簡(jiǎn)單函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)，會(huì)求反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

教學(xué)重難點(diǎn)：

重點(diǎn)：用導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

難點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

內(nèi)容：

1.導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則：

和的求導(dǎo)法則：設(shè)函數(shù)"(x),v(x)在點(diǎn)x處都可導(dǎo)，則函數(shù)y=〃(x)+v(x)在點(diǎn)x處

可導(dǎo)，且導(dǎo)數(shù)為yr-"(x)'+v(x)'或(M(X)+v(x))z=〃(x)'+v(x)z。

積的求導(dǎo)法則：設(shè)函數(shù)〃(x),v(x)在點(diǎn)x處都可導(dǎo)，則函數(shù)y=“(x)n(x)在點(diǎn)x處

可導(dǎo)，且導(dǎo)數(shù)為y'="(x)'n(x)+v(x)'〃(x)o

商的求導(dǎo)法則：設(shè)函數(shù)“(x),v(x)在點(diǎn)x處都可導(dǎo)，且v(x)H0則函數(shù)？=嗎在

心)

/

點(diǎn)X處可導(dǎo)，且導(dǎo)數(shù)為了=(3]="(x)，(x)「“(x)y(x)’。

?lv(x)JV2(x)

2.反函數(shù)的求導(dǎo)法則：設(shè)函數(shù)y=/(x)在點(diǎn)x的某個(gè)鄰域內(nèi)連續(xù)且嚴(yán)格單調(diào)增加

(減少),/'(彳)存在，且/”(I)。0,則函數(shù)y=/(x)的反函數(shù)x=Q(y)在點(diǎn)y處

可導(dǎo)，且d(y)=」一，即反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是其原函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)。

/(x)

3.導(dǎo)數(shù)基本公式表(見教材)。

4.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：u=(p(x)在X有導(dǎo)數(shù)出，y=f(u)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)u有導(dǎo)數(shù)苴，

dxdu

則復(fù)合函數(shù)y=f[(p(x)]在X處也有導(dǎo)數(shù)，即曳=曳.生=f/何)./(x)。

dxdudx

注：熟練掌握復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)運(yùn)算方法后，中間變量可以不寫出，只要分清函數(shù)的

復(fù)合關(guān)系并暗記心中，就能直接計(jì)算出復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

對(duì)數(shù)求導(dǎo)法：有些函數(shù)用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo)非常簡(jiǎn)便，其原理和方法由接下來(lái)

的例題說(shuō)明。

16

5,高階導(dǎo)數(shù)：二階導(dǎo)數(shù):

/"(X)=*=lim

Ar->0/\y

axx=xQ

limfix)--%)

X—>XQX—XQ

同理函數(shù)/'（X）在點(diǎn)X處的導(dǎo)數(shù)為函數(shù)），=/（X）的三階導(dǎo)數(shù)記為了“（X）。

以此類推，函數(shù)y=/（x）在點(diǎn)x處的n-1階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)為函數(shù)y=/（x）在點(diǎn)x處

的n階導(dǎo)數(shù)。

二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù)。

例：自由落體運(yùn)動(dòng)瞬時(shí)速度和加速度的問(wèn)題。

17

題目：微分

課時(shí)：2

教學(xué)目的，要求

理解導(dǎo)數(shù)和微分的概念與微分的關(guān)系，了解微分的四則運(yùn)算法則和?階微分形式的

不變性，會(huì)求函數(shù)的微分。

重點(diǎn)：微分的概念，微分的運(yùn)算法則。

難點(diǎn)：微分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，--階微分形式不變性

內(nèi)容：

1.微分：討論當(dāng)AcTO時(shí)，/(x°+Ax)的近似求法.

先看一個(gè)例子：設(shè)y=/(x)=x2,在點(diǎn)與的領(lǐng)域內(nèi)給一增量Ax,計(jì)算/(x)的增量Ay。

323

Ay=/(x0+Ax)—/(x0)=(x0+Ar)—x；=?Ax+3x0?(Ar)+(Ax)

??Ax(當(dāng)Ar—>0).

這是因?yàn)閘im3x()?(一)+(加9=Hm[3x()?Ar+(Ax)2]=0?即3x()?(Acf+(Ar)3是

Av->0A,Ar->0

關(guān)于Ar的高階無(wú)窮小(當(dāng)Ar70)。亦即Ay—3x；?Ax=3x0?(Ar)2+(Ac)、是無(wú)窮小

(當(dāng)Av7O),用3x；?At代替△)，，計(jì)算方便且誤差很小。

定義2.2若y=/(x)在點(diǎn)X。的領(lǐng)域內(nèi)給一增量Ar,相應(yīng)的函數(shù)y=/(x)的增量可表

示為：

Av=/(x0+Ax)-/(x0)=Ax+0(Ax)(Ax—>0).

其中,A是與Ar無(wú)關(guān)的常數(shù)，lim處。=0,o(Ar)是關(guān)于Ac的高階無(wú)窮小(Ax70)。

?70△%

則稱函數(shù)/(X)在點(diǎn)X。處可微，A?Ax稱為函數(shù)/(x)在點(diǎn)/處的微分，記為dy或力1(x),

B|idy=A*Axo

注意A?AA?是關(guān)于Ax的?次函數(shù)，當(dāng)Ax—?0n寸，Ay?=A?Ax也稱為

△y=4?Ax+(?(Ax)的線性主要部分。

可微與可導(dǎo)的關(guān)系

設(shè)y=/(x)在點(diǎn)X。出可微，則有

△y=A?Ax+o(Ax),

Ay40(Ax)

所rc以rl~^A+—~~-,

ArAx

18

lim—=lim(A+°℃)=limA+lim"加)=A。

Ax->0ArAx->0ArAA—>0AXTOAr

由導(dǎo)數(shù)的定義，則有

f'(x0)=A

從而有

dy=A?Ax=/(x0)Ar。

反過(guò)來(lái)，若1而包=/'(x0),則有包=f\x0)+a.當(dāng)(Ar70時(shí)，a70：這是收

AS0ArAx

斂極限的一個(gè)定理，僅在此說(shuō)明)

所以Ay=/(Xo)Ar+a?Ax。(當(dāng)Ar―0時(shí)，a-0)

ry?Ar

因?yàn)閘im2上=lime=0,由微分定義，有

—AxAVTO

dy=

綜合以上情況，歸納出以下定理。

定理2.3函數(shù)y=/(x)在點(diǎn)x0可微的充要條件是y=/(x)在點(diǎn)X?？蓪?dǎo)，且

dy^f\x0)^x.

解析例2.23

一般地，函數(shù)y=/(x)在任意點(diǎn)x的微分dy=/'(Xo)Ar.稱為函數(shù)的微分。

解析例y=5x7

微分的幾何意義。(見教材)

2.微分的運(yùn)算法則和公式見教材。

3.一階微分形式的不變性：

設(shè)復(fù)合函數(shù)y=/(〃),〃=9(x),于是按復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式，有

dydydu...A，/、..r...

丁=十?丁=/5)夕(x)=f［奴幻］9(x),

axduax

所以

dy-f［(pkxS\(p(x)dx-f(u)?udx-f\u)du.

可以看出，不論是自變量U,還是函數(shù)〃=9(x),都有力=/'(M)疝，這一特征稱為一階

微分形式的不變性。這在不定積分的湊微分法中常需用到。

注：可導(dǎo)Q可微

解析例2.24

19

題目：中值定理與洛必達(dá)法則

課時(shí)：2

教學(xué)目的與要求：

掌握并會(huì)應(yīng)用羅爾定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理，掌握用洛必達(dá)法則求未定

式極限的方法。

教學(xué)重點(diǎn)：羅爾定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理的運(yùn)用。

難點(diǎn)：中值定理的靈活運(yùn)用。

一、中值定理，泰勒公式(放入泰勒級(jí)數(shù)中講)

1.(羅爾定理):如f(x)滿足:⑴在［a,b］連續(xù).(2)在(a,b)可導(dǎo).⑶f(a)=f(b)

則至少存在點(diǎn)(a,b),使f/(&)=0

例設(shè)g(x)=x(x+l)(2x+l)(3x-l)，則

在區(qū)間(T,0)內(nèi)，方程g'(x)=0

有2個(gè)實(shí)根；在(-1,1)內(nèi)g〃(x)=0有2個(gè)根

2.(拉格朗日中值定理)：如f(x)滿足：①在［a,以連續(xù)；②在(a,b)連續(xù)，

則存在(a,b),使f(b)-f(a)=f?/⑥(b-a)。

推論：如果在區(qū)間I上f1x)三0,則f(x)=c。

注：在拉格朗日中值定理中，如果/0)三/⑷，則拉格朗日中值定理就轉(zhuǎn)化成了羅爾中值定

理，所以羅爾中值定理是拉格朗日中值定理的特例。

3.(柯西中值定理)如果函數(shù)/(x),g(x)滿足：(1)在閉區(qū)間以㈤上連續(xù)；(2)在開區(qū)

間(應(yīng)6)內(nèi)可導(dǎo)且g(x)H0，則在開區(qū)間㈤內(nèi)至少存在一點(diǎn)Je(a,b),使得

g(a)-g(b)g'4)

顯然，當(dāng)g(x)=x時(shí)，柯西中值定理即為拉格朗日中值定理，所以拉格朗日中值定理是柯西

中值定理的特例。

4.洛必達(dá)法則：如下的函數(shù)極限都是未定形。

0...x-sinx",

1、一型：如：lim--------型：

0sotanx-x

2、一型：如：lim--a>0

ooxa

3、0*8型：如：limxa?\nxa>0

XT+oo

20

4、oo-oo型：如：lim(-------)

sinxx

5、0°型：limxarclanx

x->+0

1

6、8°型：如:lim(ctgx)inx

XT+0

7,r型：如：lim(處33

10x

它們的計(jì)算不能用函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則,

且它們只表示類型，沒(méi)有具體意義。

003

l)s-(一)型的洛必達(dá)法則XTa(同理X78)

08

定理：對(duì)函數(shù)/(X),g(x),如果：

(1)lim/(x)=0,limg(x)=0

xTax-

(x->8)(x—?oo)

(2)在某個(gè)鄰域N(a,3)內(nèi)(x>X后)有導(dǎo)數(shù)和g',且g'(x)內(nèi)0；

(3)lim/3存在(或無(wú)窮)，則成立：

(X)g(X)

Um出Jm小

(X)8(x)說(shuō)工)g(x)

2)、其它類型

OO

1)。一2

?，1

0

110-0

2)8—OO->-----------<--------

000x0

3)y=0"TIny=OxlnO(0,°°型)

1oo0

4)y=i,y=8解法同3)

定理：對(duì)函數(shù)/(x),g(x),如果:

21

(1)lim/(x)=8,limg(x)=oo.

x—>ax—>a

(x—>8)(x-?<x>)

(2)在某個(gè)鄰域N(a,3)內(nèi)(x>X后)有導(dǎo)數(shù)7和g',且g'(x)HO；

(3)lim.(),存在(或無(wú)窮)，則成立：

jg'(x)

lim也Jim加

儲(chǔ)L)g(x)沈篙g(x)

0OO

注：(1)洛必達(dá)法則可以連續(xù)使用，但每次使用法則前，必須檢驗(yàn)是否屬于Y型或一型,

08

若不是，就不能使用洛必達(dá)法則。

(2)如果有可約因子，或有非零極限的乘積因子，則可先約去或提出，以簡(jiǎn)化演算步驟;

(3)當(dāng)rhm$/—V)不存在時(shí)，并不能斷r定興也不存在，此時(shí)應(yīng)使用其他方法求。

g(%)g(x)

22

題目：函數(shù)的單調(diào)性和極值

課時(shí)：2

教學(xué)目的和要求:理解函數(shù)的極值概念，掌握用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和求函數(shù)極值的方法,

掌握函數(shù)最大值和最小值的求法及其簡(jiǎn)單應(yīng)用。

重點(diǎn)：函數(shù)最大最小值的求法，判斷函數(shù)的單調(diào)性

難點(diǎn)：求函數(shù)極值的方法，函數(shù)最值的簡(jiǎn)單應(yīng)用

內(nèi)容：

1.函數(shù)的單調(diào)性：

定理2.6設(shè)函數(shù)y=/(x)在［a,b］上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則有下述結(jié)論成立。

(1)如果在(a,b)內(nèi)/'(x)>0,那么，函數(shù)y=/(x)在［a,b］上嚴(yán)格單調(diào)增加；

(2)如果在(a,b)內(nèi)「(幻<0,那么，函數(shù)y=/(x)在［a,b］上嚴(yán)格單調(diào)減少。

黑板演示證明過(guò)程

根據(jù)上面定理，判定函數(shù)/(x)的單調(diào)性，就可按下列步驟來(lái)進(jìn)行。

(1)確定/(x)的定義域。

(2)令求出使/'(x)=0和/'(X)不存在的點(diǎn)x,并以這些點(diǎn)為分界點(diǎn)，將定義

域分為若干個(gè)子區(qū)間。

(3)確定了'(X)在各個(gè)子區(qū)間內(nèi)的符合(通常采用列表法討論)，從而判定出/(x)的單調(diào)

性(若r(x)>0,那么函數(shù)在這區(qū)間內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)增加；若/'(x)<0,那么函數(shù)在這區(qū)間內(nèi)

嚴(yán)格單調(diào)減少)。

解析例3.3?3.6

2.函數(shù)的極大、極小值：

1)定義：如在X。鄰域內(nèi)，恒有f(x)〈f(xo),(f(x)>f(x0)),則稱f(x())為

函數(shù)f(x)的一個(gè)極大(小)值。

可能極值點(diǎn)，f/(x)不存在的點(diǎn)與f/(x)=O的點(diǎn)。(駐點(diǎn))

駐點(diǎn)一極值點(diǎn)

3.判別方法

函數(shù)極值的必要條件：設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)X。處可導(dǎo)，并且在點(diǎn)X。處有極值(極大值

23

或者極小值)，貝ij必有f'(x)=O

函數(shù)極值的第一充分條件：設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)，在點(diǎn)X。的某一空心鄰域內(nèi)

可導(dǎo)：則有下列結(jié)論成立.

(1)如果f/(x)在X。的左側(cè)恒為正，在右側(cè)恒為負(fù)，那么，函數(shù)/(X)在點(diǎn)X。處

取得極大值/(X。)；

(2)如果f/(x)在X。的左側(cè)恒為負(fù)，在右側(cè)恒為正，那么，函數(shù)/(X)在點(diǎn)X。處

取得極大值/(與)；

函數(shù)極值的第二充分條件：設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)X。處具有一階，二階導(dǎo)數(shù)，且/'(%)=0,

/(/)。0,那么有以下結(jié)論成立：

(1)如果/(%)>0,則f(x)在點(diǎn)X。有極小值〃與)；

(2)如果/"(/)<0,則f(x)在點(diǎn)X。有極大值了(%)；

求函數(shù)極值的步驟：(1)確定函數(shù)/(x)的定義域；

(2)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，確定駐點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)；

(3)用極值的第一充分條件或第二充分條件確定極值點(diǎn)；

(4)把極值點(diǎn)代入/(x),求出極值并指出極大(小)值。

解析例3.7-3.10

1.函數(shù)的最大值和最小值

設(shè)函數(shù)y=/(x)在閉區(qū)間［a,b］上連續(xù)，根據(jù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的特性可知，函數(shù)

/(外在［a,b］上一定有最大值和最小值。如果最大值和最小值在區(qū)間內(nèi)取得，那么這個(gè)最大

值或最小值一定是函數(shù)的極大值或極小值。此外,最大值或最小值也可能在區(qū)間的端點(diǎn)取得,

所以求/(x)在［a,b］上的最大值和最小值的方法是：求出可能極值點(diǎn)的函數(shù)值，并把它們與

端點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行比較，其中最大的便是函數(shù)的最大值，最小的便是函數(shù)的最小值。

用以上方法解析例3.11-3.16

2、曲線的凹凸、拐點(diǎn)及漸近線

24

在I上f(x)可導(dǎo)如f〃(x)>o(<o)則曲線y=f(x)是凹(凸)的，在連續(xù)曲線上凹凸部分

的分界點(diǎn)稱為曲線的拐點(diǎn)?？赡艿墓拯c(diǎn)為f"(x)=0的解和函數(shù)f"(x)無(wú)意義的點(diǎn)

例、/(X)」，？)設(shè),試討論f(x)的性態(tài)。

f,(x)=(x-*+2),…印

XX

f/(x>0x=l,x=-2,f(x>Qx=l

X(-8,-2)-2(-2,0)0(0,1)1(1,+

°°)

y+0-間+0+

y”---斷一0+

y單調(diào)增極大值單減單增拐單增

上凸/(-2)=上凸上凸點(diǎn)下凸

(1,

_27

0)

~~4

漸近線：若曲線C上的動(dòng)點(diǎn)P沿著曲線無(wú)限遠(yuǎn)離遠(yuǎn)點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P與某-固定直線L的距離趨近

于零，則稱直線L為曲線C的漸近線。

如上f(x)=a則稱y=a為水平漸近線

(X—>-oo)

如XJ-ijPf(x)=8則稱X=XoV為垂直漸近線

儀-?一或乂-?6)

漸近線可能沒(méi)有，或多條。

25

題目：不定枳分的概念和性質(zhì)

課時(shí)：2

教學(xué)目的和要求：理解原函數(shù)概念、不定積分的概念，掌握不定積分的性質(zhì)。

重點(diǎn)：原函數(shù)和不定積分的概念

難點(diǎn)：不定積分的性質(zhì)

內(nèi)容：

原函數(shù)、不定積分

在區(qū)間I上,如F(x)=f(x),稱f(x)為F(x)的導(dǎo)函數(shù)，稱F(x)為f(x)的原函

數(shù)，原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)是一種互逆關(guān)系。

如F(x)為f(x)的一個(gè)原函數(shù)，則F(x)+C為f(x)的全體原函數(shù)。

記為Jf(x)dx,即Jf(x)dx=F(x)+C

不定積積分性質(zhì)

⑴(|f(x)dx)=f(x)或dJf(x)dx=f(x)dx

(2)|F(x)dx=F(x)+C

(3)|kf(x)dx=kjf(x)dx

(4)J(f(x)±g(x))dx=jf(x)dx±jg(x)dx

:原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)有互逆關(guān)系，

...由導(dǎo)數(shù)表可得積分表。

例、已知F(x)是見上的一個(gè)原函數(shù)，

X

求：dF(sinx)

解：F'(x)=^

X

皿.、dF(sinx)..Insinx1

dF(sinx)=----------dsinx=--------cosxdx

dsinxsinx

例、f(x)的導(dǎo)函數(shù)是sinx，則f(x)的原函數(shù)

-sinx+c.x+c^(J、為任意常數(shù))

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題目：第一類換元法，第二類換元法，分部積分法

課時(shí)：4

教學(xué)目的和要求：掌握不定積分的基本公式，掌握不定積分的性質(zhì)，掌握換元積分法與分部

積分法。

重點(diǎn)：換元法與分部積分法的運(yùn)用

難點(diǎn)：區(qū)分兩種換元法的作用

內(nèi)容：

計(jì)算方法

先考察不定積分Jcos2xJx。顯然，不能直接利用基本積分公式

[cosxJx=sinx+Co令2冗=%,BPx=—,dx=-du0于是被積函數(shù)化為

J22

cos2x=cosu,從而jcos2xdx=-jcosudu。

1廣1

此時(shí)，右端的不定積分一卜=—sin〃+C,再將〃換回為2x,從而得到

2」2

[cos2xdx=-sin2x+Co

J2

第一類換元法(湊微分法)：若Jf(〃)d〃=E5+C,又〃=8(x)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則

Jf[p(x)]8'(x)dx=F[(p{x)\+C