最佳線性濾波器

最佳線性濾波器第1頁，共68頁，2023年，2月20日，星期五最佳線性濾波概述最優(yōu)估計：在許多實際問題中，需要研究隨時間變化的隨機變量或隨機矢量的估計問題，即：按照某種最優(yōu)準則對隨時間變化的隨機變量或隨機矢量作出估計。

——在信息與通信工程領域常稱為“波形估計”；

——在控制科學與工程領域常稱為“狀態(tài)估計”。第2頁，共68頁，2023年，2月20日，星期五最優(yōu)準則：包括最大后驗準則、最大似然準則、均方準則、線性均方準則等。最佳線性濾波器采用線性均方準則，通常稱為“最小均方誤差（LMS）”和“最小二乘（LS）”準則。統(tǒng)計均方意義下的準則，要求輸入為隨機過程（序列），通常假定“平穩(wěn)”和“各態(tài)歷經(jīng)”。第3頁，共68頁，2023年，2月20日，星期五最佳線性濾波器結構LTI(h(n))+第4頁，共68頁，2023年，2月20日，星期五第5頁，共68頁，2023年，2月20日，星期五第三章最佳線性濾波器最佳線性濾波概述Wiener-Hopf方程及其求解Wiener濾波的性能互補Wiener濾波器設計卡爾曼濾波器的遞推算法卡爾曼濾波器的應用第6頁，共68頁，2023年，2月20日，星期五第7頁，共68頁，2023年，2月20日，星期五………+-+++第8頁，共68頁，2023年，2月20日，星期五Toeplitz對稱陣第9頁，共68頁，2023年，2月20日，星期五第10頁，共68頁，2023年，2月20日，星期五觀測信號為：，試中是方差為0.45的零均值白噪聲，它與s(n）統(tǒng)計獨立。設計一個長為N=3的FIR濾波器來處理x(n)，使得其輸出與s(n)的差的均方值最小。例：設信號s(n)的自相關序列為：解：第11頁，共68頁，2023年，2月20日，星期五第12頁，共68頁，2023年，2月20日，星期五解：試設計一個長為N=4的FIR濾波器對x(n)進行濾波得到，使得例：在測試某正弦信號的過程中疊加有零均值、方差的白噪聲，即測試結果為：它與的誤差的均方值最小。求該濾波器的沖激響應并估計誤差平均功率（與不相關）。第13頁，共68頁，2023年，2月20日，星期五第14頁，共68頁，2023年，2月20日，星期五第15頁，共68頁，2023年，2月20日，星期五第16頁，共68頁，2023年，2月20日，星期五Wiener-Hopf方程：雙邊Z變換在z域有最佳系統(tǒng)傳輸函數(shù)：第17頁，共68頁，2023年，2月20日，星期五Wiener-Hopf方程：因i取值范圍的原因，直接求解求hopt(i)非常困難。為此，令：輸入第18頁，共68頁，2023年，2月20日，星期五一般情況，x(n)不為白噪聲，需經(jīng)兩步獲得因果IIR傳輸函數(shù)：（1）利用譜分解得到（2）由第19頁，共68頁，2023年，2月20日，星期五將因果IIR濾波器看成兩部分級聯(lián)白化濾波器白噪聲最小相位LTI系統(tǒng)第20頁，共68頁，2023年，2月20日，星期五兩端進行Z變換得：第21頁，共68頁，2023年，2月20日，星期五歸納起來，因果IIR維納濾波器設計步驟：第22頁，共68頁，2023年，2月20日，星期五例：觀測信號，式中是零均值、方差為1的白噪聲。期望信號s(n)是一個AR(1)過程：式中是零均值、方差的白噪聲。期望信號s(n)與噪聲不相關，噪聲與不相關。試設計一因果IIR維納濾波器對觀測信號進行濾波，并求的估計。解：期望信號s(n)的功率譜為AR功率譜，即：第23頁，共68頁，2023年，2月20日，星期五第24頁，共68頁，2023年，2月20日，星期五第25頁，共68頁，2023年，2月20日，星期五第26頁，共68頁，2023年，2月20日，星期五第27頁，共68頁，2023年，2月20日，星期五第三章最佳線性濾波器最佳線性濾波概述Wiener-Hopf方程及其求解Wiener濾波的性能互補Wiener濾波器設計卡爾曼濾波器的遞推算法卡爾曼濾波器的應用第28頁，共68頁，2023年，2月20日，星期五Wiener濾波器為最佳線性濾波，對應最小均方誤差：(1).對IIR維納濾波器均方誤差的z域計算1.誤差性能第29頁，共68頁，2023年，2月20日，星期五第30頁，共68頁，2023年，2月20日，星期五第31頁，共68頁，2023年，2月20日，星期五(2).FIR維納濾波器均方誤差的時域計算舉例：在上例中，F(xiàn)IR維納濾波器的時域計算第32頁，共68頁，2023年，2月20日，星期五以非因果IIR線性濾波器為例，可分析和說明Wiener濾波器實現(xiàn)了最佳的線性濾波：第33頁，共68頁，2023年，2月20日，星期五2.實現(xiàn)問題問題一：實現(xiàn)精確度。Wiener濾波器最優(yōu)權系數(shù)需要由輸入信號的自相關函數(shù)矩陣以及輸入信號與期望輸出的互相關函數(shù)矩陣進行計算。實際中，這兩個參數(shù)是未知的，需要通過估計得到，而一致性估計需要觀測無限長信號；問題二：計算復雜度。求最優(yōu)濾波器單位脈沖響應時需要矩陣求逆，其計算復雜度量級是濾波器長度的三次方。第34頁，共68頁，2023年，2月20日，星期五解決辦法：改進算法。由于存在這些問題，實際實現(xiàn)Wiener濾波時，并不是直接計算得到最優(yōu)Wiener濾波器的抽頭系數(shù)，而是代之以LMS,RLS,Kalman等自適應濾波器。Kalman濾波器的主要特點：Kalman濾波是Wiener濾波的發(fā)展,它最早用于隨機過程的參數(shù)估計,并在各種最佳濾波器和最佳控制中獲得極其廣泛的應用。其主要特點是：

(1)采用遞推算法結構。

(2)具有RLS類自適應濾波器的框架。

(3)具有標量型和矢量型兩種結構，由標量型地推算法可直接寫出矢量型算法的矩陣形式。第35頁，共68頁，2023年，2月20日，星期五第三章最佳線性濾波器最佳線性濾波概述Wiener-Hopf方程及其求解Wiener濾波的性能互補Wiener濾波器設計卡爾曼濾波器的遞推算法卡爾曼濾波器的應用第36頁，共68頁，2023年，2月20日，星期五高通(HP)低通(LP)第37頁，共68頁，2023年，2月20日，星期五第38頁，共68頁，2023年，2月20日，星期五第39頁，共68頁，2023年，2月20日，星期五第三章最佳線性濾波器最佳線性濾波概述Wiener-Hopf方程及其求解Wiener濾波的性能互補Wiener濾波器設計卡爾曼濾波器的遞推算法卡爾曼濾波器的應用第40頁，共68頁，2023年，2月20日，星期五第41頁，共68頁，2023年，2月20日，星期五第42頁，共68頁，2023年，2月20日，星期五第43頁，共68頁，2023年，2月20日，星期五第44頁，共68頁，2023年，2月20日，星期五第45頁，共68頁，2023年，2月20日，星期五第46頁，共68頁，2023年，2月20日，星期五第47頁，共68頁，2023年，2月20日，星期五請推導第48頁，共68頁，2023年，2月20日，星期五第49頁，共68頁，2023年，2月20日，星期五第50頁，共68頁，2023年，2月20日，星期五第51頁，共68頁，2023年，2月20日，星期五第52頁，共68頁，2023年，2月20日，星期五第53頁，共68頁，2023年，2月20日，星期五n0010.50.50.5x(1)20.680.4050.4050.405x(2)+0.238x(1)70.60.3750.3750.375x(7)+0.1875x(6)+......第54頁，共68頁，2023年，2月20日，星期五與本PPT

P31結果一致。即：Wiener濾波輸出是Kalman濾波的穩(wěn)態(tài)解。第55頁，共68頁，2023年，2月20日，星期五第56頁，共68頁，2023年，2月20日，星期五第57頁，共68頁，2023年，2月20日，星期五第58頁，共68頁，2023年，2月20日，星期五標量矩陣第59頁，共68頁，2023年，2月20日，星期五標量型矢量型第60頁，共68頁，2023年，2月20日，星期五第三章最佳線性濾波器最佳線性濾波概述Wiener-Hopf方程及其求解Wiener濾波的性能互補Wiener濾波器設計卡爾曼濾波器的遞推算法卡爾曼濾波器的應