第十章-第1講-橢圓

考試要求1.橢圓的實(shí)際背景，橢圓在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問題中的作用(A級(jí)要求)；2.橢圓的定義，幾何圖形，標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)(B級(jí)要求).第1講橢圓知

識(shí)

梳

理1.橢圓的概念

平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于F1F2)的點(diǎn)的軌跡叫做_______，兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2叫做橢圓的______，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距.

集合P＝{M|MF1＋MF2＝2a}，F(xiàn)1F2＝2c，其中a>0，c>0，且a，c為常數(shù)： (1)若_______，則集合P為橢圓； (2)若_______，則集合P為線段； (3)若_______，則集合P為空集.橢圓焦點(diǎn)a>ca＝ca<c2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)2a2b2ca2＝b2＋c21.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”) (1)平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是橢圓.(

) (2)橢圓的離心率e越大，橢圓就越圓.(

) (3)橢圓既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形.(

) (4)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲線是橢圓.(

)診

斷

自

測(cè)解析(1)由橢圓的定義知，當(dāng)該常數(shù)大于F1F2時(shí)，其軌跡才是橢圓，而常數(shù)等于F1F2時(shí)，其軌跡為線段F1F2，常數(shù)小于F1F2時(shí)，不存在這樣的圖形.答案(1)×

(2)×

(3)√

(4)√

(5)√解得m＝4或m＝8.答案4或83.(2018·全國Ⅱ卷改編)已知F1，F(xiàn)2是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是C上的一點(diǎn).若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，則C的離心率為________.所以直線與橢圓相交，即直線與橢圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2.答案2解析由點(diǎn)(m，n)在圓x2＋y2＝4外，得m2＋n2>4，解析設(shè)P(x，y)，由題意知c2＝a2－b2＝5－4＝1，考點(diǎn)一橢圓的定義及其應(yīng)用角度1橢圓定義的應(yīng)用【例1－1】(1)過橢圓4x2＋y2＝1的一個(gè)焦點(diǎn)F1的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，則A與B和橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)F2構(gòu)成的△ABF2的周長(zhǎng)為________. (2)與圓C1：(x＋3)2＋y2＝1外切，且與圓C2：(x－3)2＋y2＝81內(nèi)切的動(dòng)圓圓心P的軌跡方程為________. (3)已知F是橢圓5x2＋9y2＝45的左焦點(diǎn)，P是此橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，A(1，1)是一定點(diǎn)，則PA＋PF的最大值為________，最小值為________.∴橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a＝2，∴△ABF2的周長(zhǎng)為4a＝4.(2)設(shè)動(dòng)圓的半徑為r，圓心為P(x，y)，則有PC1＝r＋1，PC2＝9－r.所以PC1＋PC2＝10＞C1C2，即P在以C1(－3，0)，C2(3，0)為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10的橢圓上，又－AF1≤PA－PF1≤AF1(當(dāng)P，A，F(xiàn)1共線時(shí)等號(hào)成立)，設(shè)F1是橢圓的右焦點(diǎn)，則F1(2，0)，角度2焦點(diǎn)三角形問題(2)由題意得PF1＋PF2＝2a，又∠F1PF2＝60°，所以(PF1＋PF2)2－3PF1·PF2＝4c2，所以3PF1·PF2＝4a2－4c2＝4b2，規(guī)律方法橢圓定義的應(yīng)用技巧(1)橢圓定義的應(yīng)用主要有：求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)、面積及弦長(zhǎng)、最值和離心率等.(2)當(dāng)P在橢圓上時(shí)，與橢圓的兩焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2組成的三角形通常稱為“焦點(diǎn)三角形”，利用定義可求其周長(zhǎng)；利用定義和余弦定理可求PF1·PF2；通過整體代入可求其面積等.【訓(xùn)練1】(1)如圖，圓O的半徑為定長(zhǎng)r，A是圓O內(nèi)一個(gè)定點(diǎn)，P是圓上任意一點(diǎn)，線段AP的垂直平分線l和半徑OP相交于點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q的軌跡是________.解析(1)連接QA.由已知得QA＝QP.所以QO＋QA＝QO＋QP＝OP＝r.又因?yàn)辄c(diǎn)A在圓內(nèi)，所以O(shè)A＜OP，根據(jù)橢圓的定義，點(diǎn)Q的軌跡是以O(shè)，A為焦點(diǎn)，r為長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓.(2)如圖，設(shè)F1為橢圓的左焦點(diǎn)，右焦點(diǎn)為F2，根據(jù)橢圓的對(duì)稱性可知F1Q＝PF2，OP＝OQ，所以△PQF1的周長(zhǎng)為PF1＋F1Q＋PQ＝PF1＋PF2＋2PO＝2a＋2PO＝10＋2PO，易知2OP的最小值為橢圓的短軸長(zhǎng)，即點(diǎn)P，Q為橢圓的上下頂點(diǎn)時(shí)，

△PQF1即△PQF的周長(zhǎng)取得最小值為10＋2×4＝18.答案(1)橢圓(2)18考點(diǎn)二橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解析

(1)設(shè)橢圓方程為mx2＋ny2＝1(m，n>0，m≠n).規(guī)律方法

1.求橢圓方程的基本方法是待定系數(shù)法，先定位，再定量，即首先確定焦點(diǎn)所在位置，然后根據(jù)條件建立關(guān)于a，b的方程組.2.如果焦點(diǎn)位置不確定，可設(shè)橢圓方程為mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，求出m，n的值即可.【訓(xùn)練2】(1)已知F1(－1，0)，F(xiàn)2(1，0)是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，過F2且垂直于x軸的直線交C于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝3，則C的方程為________. (2)若橢圓經(jīng)過兩點(diǎn)(2，0)和(0，1)，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為________________.解析

(1)依題意，設(shè)橢圓C：＋＝1(a>b>0).過點(diǎn)F2(1，0)且垂直于x軸的直線被曲線C截得弦長(zhǎng)|AB|＝3，又由c＝1，得1＋b2＝a2.②法二設(shè)橢圓方程為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n).∵橢圓過(2，0)和(0，1)兩點(diǎn)，考點(diǎn)三橢圓的性質(zhì)角度1求離心率的值或范圍解析

(1)以線段A1A2為直徑的圓是x2＋y2＝a2，直線bx－ay＋2ab＝0與圓相切，(2)設(shè)左焦點(diǎn)為F0，連接F0A，F(xiàn)0B，則四邊形AFBF0為平行四邊形.∵AF＋BF＝4，∴AF＋AF0＝4，∴a＝2.角度2利用性質(zhì)求范圍∴0<m<3且m≤1，則0<m≤1.(2)①當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上，依題意得綜上，m的取值范圍是(0，1]∪[9，＋∞).答案(1)2

(2)(0，1]∪[9，＋∞)規(guī)律方法(1)利用橢圓幾何性質(zhì)的注意點(diǎn)及技巧①注意橢圓幾何性質(zhì)中的不等關(guān)系在求與橢圓有關(guān)的一些量的范圍，或者最大值、最小值時(shí)，經(jīng)常用到橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中x，y的范圍，離心率的范圍等不等關(guān)系.②利用橢圓幾何性質(zhì)的技巧求解與橢圓幾何性質(zhì)有關(guān)的問題時(shí)，要結(jié)合圖形進(jìn)行分析，當(dāng)涉及頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、長(zhǎng)軸、短軸等橢圓的基本量時(shí)，要理清它們之間的內(nèi)在聯(lián)系.(2)求橢圓的離心率問題的一般思路求橢圓的離心率或其范圍時(shí)，一般是依據(jù)題設(shè)得出一個(gè)關(guān)于a，b，c的等式或不等式，利用a2＝b2＋c2消去b，即可求得離心率或離心率的范圍.考點(diǎn)四直線與橢圓角度1弦及中點(diǎn)弦問題兩式相減得(x1－x2)(x1＋x2)＋2(y1－y2)(y1＋y2)＝0，角度2直線與橢圓的綜合(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過F的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線分別交直線l和AB于點(diǎn)P，C，若PC＝2AB，求直線AB的方程.當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，將AB的方程代入橢圓方程，得(1＋2k2)x2－4k2x＋2(k2－1)＝0，若k＝0，則線段AB的垂直平分線為y軸，與左準(zhǔn)線平行，不合題意.從而k≠0，故直線PC的方程為因?yàn)镻C＝2AB，解得k＝±1.此時(shí)直線AB的方程為y＝x－1或y＝－x＋1.規(guī)律方法

1.弦及弦中點(diǎn)問題的解決方法(1)根與系數(shù)的關(guān)系：直線與橢圓方程聯(lián)立，消元，利用根與系數(shù)關(guān)系表示中點(diǎn)；(2)點(diǎn)差法：利用弦兩端點(diǎn)適合橢圓方程，作差構(gòu)造中點(diǎn)、斜率.2.與橢圓有關(guān)的綜合問題，往往與其他知識(shí)相結(jié)合，解決這類問題的常規(guī)思路是聯(lián)立直線方程與橢圓方程，解方程組求出直線與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)所給的向量條件再建立方程，解決相關(guān)問題.涉及弦中點(diǎn)問題用“點(diǎn)差法”解決往往更簡(jiǎn)單.(1)求橢圓C及圓O的方程；(2)設(shè)直線l與圓O相切于第一象限內(nèi)的點(diǎn)P.①若直線l與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；因?yàn)閳AO的直徑為F1F