數(shù)值分析第六章解線性方程組的迭代法

數(shù)值分析第六章解線性方程組的迭代法第1頁(yè)，共70頁(yè)，2023年，2月20日，星期五2/68鄭州大學(xué)研究生2011-2012學(xué)年課程數(shù)值分析

NumericalAnalysis第六章解線性代數(shù)方程組的迭代法

§6.1引言§6.2幾種常用的迭代格式§6.3迭代法的收斂性及誤差估計(jì)§6.4判別收斂的幾個(gè)常用條件§6.5迭代法收斂判定的應(yīng)用舉例第2頁(yè)，共70頁(yè)，2023年，2月20日，星期五3/68鄭州大學(xué)研究生2011-2012學(xué)年課程數(shù)值分析

NumericalAnalysis§6.1引言

線性方程組的數(shù)值解法有：直接法和迭代法。直接法：在假定沒(méi)有舍入誤差的情況下，經(jīng)過(guò)有限次運(yùn)算可以求得方程組的精確解；迭代法：從一個(gè)初始向量出發(fā)，按照一定的迭代格式，構(gòu)造出一個(gè)趨向于真解的無(wú)窮序列。第3頁(yè)，共70頁(yè)，2023年，2月20日，星期五4/68鄭州大學(xué)研究生2011-2012學(xué)年課程數(shù)值分析

NumericalAnalysis§6.1引言當(dāng)A為稀疏矩陣時(shí)，直接法將破壞矩陣A的稀疏性。系數(shù)矩陣的分類第一類：低階稠密方程組，即系數(shù)矩陣的階數(shù)不高，含零元素很少，在線性代數(shù)等課程學(xué)習(xí)中通常見(jiàn)到的，都屬這類方程組；第二類：高階稀疏方程組，系數(shù)矩陣的階數(shù)很高，如幾百階、甚至成千上萬(wàn)階，其中零元素成片分布，數(shù)量上絕對(duì)占優(yōu)。第4頁(yè)，共70頁(yè)，2023年，2月20日，星期五5/68鄭州大學(xué)研究生2011-2012學(xué)年課程數(shù)值分析

NumericalAnalysis迭代法適用于解大型稀疏方程組(萬(wàn)階以上的方程組,系數(shù)矩陣中零元素占很大比例,而非零元按某種模式分布)問(wèn)題:(1)如何構(gòu)造迭代格式？

(2)迭代格式是否收斂？

(3)如何進(jìn)行誤差估計(jì)？§6.1引言第5頁(yè)，共70頁(yè)，2023年，2月20日，星期五6/68鄭州大學(xué)研究生2011-2012學(xué)年課程數(shù)值分析

NumericalAnalysis§6.1引言迭代法的基本思想迭代法的基本思想是將線性方程組轉(zhuǎn)化為便于迭代的等價(jià)方程組，對(duì)任選一組初始值，按某種計(jì)算規(guī)則，不斷地對(duì)所得到的值進(jìn)行修正，最終獲得滿足精度要求的方程組的近似解。

第6頁(yè)，共70頁(yè)，2023年，2月20日，星期五7/68鄭州大學(xué)研究生2011-2012學(xué)年課程數(shù)值分析

NumericalAnalysis設(shè)非奇異，，則線性方程組

有惟一解，經(jīng)過(guò)變換構(gòu)造出一個(gè)等價(jià)同解方程組將上式改寫成迭代式選定初始向量,反復(fù)不斷地使用迭代式逐步逼近方程組的精確解,直到滿足精度要求為止。這種方法稱為迭代法第7頁(yè)，共70頁(yè)，2023年，2月20日，星期五8/68鄭州大學(xué)研究生2011-2012學(xué)年課程數(shù)值分析

NumericalAnalysis

如果向量序列存在極限則稱迭代法是收斂的，否則就是發(fā)散的。收斂時(shí)，在迭代公式中當(dāng)時(shí)，,則故是方程組的解。對(duì)于給定的方程組可以構(gòu)造各種迭代公式。并非全部收斂。第8頁(yè)，共70頁(yè)，2023年，2月20日，星期五9/68鄭州大學(xué)研究生2011-2012學(xué)年課程數(shù)值分析

NumericalAnalysis§6.2幾種常用的迭代格式雅可比(Jacobi)迭代格式例6.2.1

建立迭代格式求解方程組

方程組的精確解x*=(3,2,1)T。

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NumericalAnalysis§6.2幾種常用的迭代格式建立迭代公式

第10頁(yè)，共70頁(yè)，2023年，2月20日，星期五11/68鄭州大學(xué)研究生2011-2012學(xué)年課程數(shù)值分析

NumericalAnalysis取初始向量進(jìn)行迭代,可以逐步得出一個(gè)近似解的序列：（k=1,2,…）直到求得的近似解能達(dá)到預(yù)先要求的精度，則迭代過(guò)程終止，以最后得到的近似解作為線性方程組的解。當(dāng)?shù)降?0次有計(jì)算結(jié)果表明，此迭代過(guò)程收斂于方程組的精確解x*=(3,2,1)T。

第11頁(yè)，共70頁(yè)，2023年，2月20日，星期五12/68鄭州大學(xué)研究生2011-2012學(xué)年課程數(shù)值分析

NumericalAnalysis考察一般的n元線性方程組

寫成第12頁(yè)，共70頁(yè)，2023年，2月20日，星期五13/68鄭州大學(xué)研究生2011-2012學(xué)年課程數(shù)值分析

NumericalAnalysis若,分離出變量第13頁(yè)，共70頁(yè)，2023年，2月20日，星期五14/68鄭州大學(xué)研究生2011-2012學(xué)年課程數(shù)值分析

NumericalAnalysis§6.2幾種常用的迭代格式（Jacobi迭代公式）(k=0,1,2,…)第14頁(yè)，共70頁(yè)，2023年，2月20日，星期五15/68鄭州大學(xué)研究生2011-2012學(xué)年課程數(shù)值分析

NumericalAnalysis§6.2幾種常用的迭代格式（Jacobi迭代公式）據(jù)此建立迭代公式上式稱為解方程組的Jacobi迭代公式。也稱為簡(jiǎn)單迭代法。第15頁(yè)，共70頁(yè)，2023年，2月20日，星期五16/68鄭州大學(xué)研究生2011-2012學(xué)年課程數(shù)值分析

NumericalAnalysis雅可比迭代法的矩陣表示

設(shè)方程組的系數(shù)矩陣A非奇異，且主對(duì)角元素，則可將A分裂成

記作A=L+D+U第16頁(yè)，共70頁(yè)，2023年，2月20日，星期五17/68鄭州大學(xué)研究生2011-2012學(xué)年課程數(shù)值分析

NumericalAnalysis則等價(jià)于因?yàn)?/p>

，則這樣便得到一個(gè)迭代公式§6.2幾種常用的迭代格式（Jacobi迭代公式）第17頁(yè)，共70頁(yè)，2023年，2月20日，星期五18/68鄭州大學(xué)研究生2011-2012學(xué)年課程數(shù)值分析

NumericalAnalysis其中

令則有（k=0,1,2…）稱為雅可比迭代公式,B稱為雅可比迭代矩陣§6.2幾種常用的迭代格式（Jacobi迭代公式）第18頁(yè)，共70頁(yè)，2023年，2月20日，星期五19/68鄭州大學(xué)研究生2011-2012學(xué)年課程數(shù)值分析

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雅可比迭代法的算法實(shí)現(xiàn)

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NumericalAnalysis§6.2幾種常用的迭代格式（Jacobi迭代公式）functionX=jacobi(A,B,P,delta,max)%求解AX=B，A是非奇N階方陣dleta是誤差界，max是最大迭代次數(shù)N=length(B);fort=1:maxfork=1:NX(k)=(B(k)-A(k,[1:k-1,k+1:N])*P([1:k-1,k+1:N]))/A(k,k);enderr=abs(norm(X'-P));if(err<delta)break;endendX=X';第20頁(yè)，共70頁(yè)，2023年，2月20日，星期五21/68鄭州大學(xué)研究生2011-2012學(xué)年課程數(shù)值分析

NumericalAnalysis§6.2幾種常用的迭代格式高斯-塞德?tīng)枺℅auss-Seidel）迭代法在Jacobi迭代法中，每次迭代只用到前一次的迭代值，若每次迭代充分利用當(dāng)前最新的迭代值，即在求時(shí)用新分量代替舊分量第21頁(yè)，共70頁(yè)，2023年，2月20日，星期五22/68鄭州大學(xué)研究生2011-2012學(xué)年課程數(shù)值分析

NumericalAnalysis§6.2幾種常用的迭代格式Gauss-Seidel迭代法(i=1,2,…,n

k=0,1,2,…)高斯-賽德?tīng)柕ǖ牡ǜ袷綖椋旱?2頁(yè)，共70頁(yè)，2023年，2月20日，星期五23/68鄭州大學(xué)研究生2011-2012學(xué)年課程數(shù)值分析

NumericalAnalysis§6.2幾種常用的迭代格式Gauss—Seidel迭代法的矩陣表示將A分裂成A=L+D+U，則等價(jià)于

(L+D+U)x=b

于是,則高斯—塞德?tīng)柕^(guò)程

第23頁(yè)，共70頁(yè)，2023年，2月20日，星期五24/68鄭州大學(xué)研究生2011-2012學(xué)年課程數(shù)值分析

NumericalAnalysis§6.2幾種常用的迭代格式Gauss—Seidel迭代法的矩陣表示因?yàn)?所以

故則高斯-塞德?tīng)柕问綖椋毫畹?4頁(yè)，共70頁(yè)，2023年，2月20日，星期五25/68鄭州大學(xué)研究生2011-2012學(xué)年課程數(shù)值分析

NumericalAnalysis§6.2幾種常用的迭代格式高斯-塞德?tīng)柕ǜ咚埂聽(tīng)柕惴▽?shí)現(xiàn)高斯-塞德?tīng)柕惴ǖ挠?jì)算步驟與流程圖與雅可比迭代法大致相同，只是一旦求出變?cè)哪硞€(gè)新值后,就改用新值替代老值進(jìn)行這一步剩下的計(jì)算。

第25頁(yè)，共70頁(yè)，2023年，2月20日，星期五26/68鄭州大學(xué)研究生2011-2012學(xué)年課程數(shù)值分析

NumericalAnalysis§6.2幾種常用的迭代格式functionX=gseid(A,B,P,delta,max)%求解AX=B，A是非奇N階方陣dleta是誤差界，max是最大迭代次數(shù)N=length(B);fort=1:max

fork=1:Nifk==1X(1)=(B(1)-A(1,2:N)*P(2:N))/A(1,1);elseifk==NX(N)=(B(N)-A(N,1:N-1)*(X(1:N-1))')/A(N,N);elseX(k)=(B(k)-A(k,1:k-1)*X(1:k-1)'-A(k,k+1:N)*P(k+1:N))/A(k,k);endend

err=abs(norm(X'-P));if(err<delta)break;endendX=X';高斯-塞德?tīng)柕ǖ?6頁(yè)，共70頁(yè)，2023年，2月20日，星期五27/68鄭州大學(xué)研究生2011-2012學(xué)年課程數(shù)值分析

NumericalAnalysis例6.2.2，按高斯-塞德?tīng)柕降?次，得，

用高斯-塞德?tīng)柕ń庀旅婢€性方程組第27頁(yè)，共70頁(yè)，2023年，2月20日，星期五28/68鄭州大學(xué)研究生2011-2012學(xué)年課程數(shù)值分析

NumericalAnalysis

由此例可知，用高斯-塞德?tīng)柕?，雅可比迭代法解線性方程組(且取)均收斂.

而高斯-塞德?tīng)柕ū妊趴杀鹊ㄊ諗枯^快(即取相同，達(dá)到同樣精度所需迭代次數(shù)較少).

但這結(jié)論只當(dāng)滿足一定條件時(shí)才是對(duì)的.且第28頁(yè)，共70頁(yè)，2023年，2月20日，星期五29/68鄭州大學(xué)研究生2011-2012學(xué)年課程數(shù)值分析

NumericalAnalysis§6.2幾種常用的迭代格式超松弛迭代法（SOR方法）

使用迭代法的困難在于難以估計(jì)其計(jì)算量。有時(shí)迭代過(guò)程雖然收斂，但由于收斂速度緩慢，使計(jì)算量變得很大而失去使用價(jià)值。因此，迭代過(guò)程的加速具有重要意義。

逐次超松弛迭代（SuccessiveOverrelaxaticMethod，簡(jiǎn)稱SOR方法）法，可以看作是帶參數(shù)的高斯—塞德?tīng)柕ǎ瑢?shí)質(zhì)上是高斯-塞德?tīng)柕囊环N加速方法。

第29頁(yè)，共70頁(yè)，2023年，2月20日，星期五30/68鄭州大學(xué)研究生2011-2012學(xué)年課程數(shù)值分析

NumericalAnalysis§6.2幾種常用的迭代格式超松弛迭代法的基本思想

超松弛迭代法目的是為了提高迭代法的收斂速度，在高斯—塞德?tīng)柕降幕A(chǔ)上作一些修改。這種方法是將前一步的結(jié)果與高斯-塞德?tīng)柕椒ǖ牡颠m當(dāng)加權(quán)平均，期望獲得更好的近似值。是解大型稀疏矩陣方程組的有效方法之一，有著廣泛的應(yīng)用。

第30頁(yè)，共70頁(yè)，2023年，2月20日，星期五31/68鄭州大學(xué)研究生2011-2012學(xué)年課程數(shù)值分析

NumericalAnalysis§6.2幾種常用的迭代格式SOR方法⑴用高斯—塞德?tīng)柕ǘx輔助量。⑵把取為與的加權(quán)平均，即

合并表示為：

第31頁(yè)，共70頁(yè)，2023年，2月20日，星期五32/68鄭州大學(xué)研究生2011-2012學(xué)年課程數(shù)值分析

NumericalAnalysis§6.2幾種常用的迭代格式SOR方法式中系數(shù)ω稱為松弛因子，為了保證迭代過(guò)程收斂，要求0<ω<2。

當(dāng)ω=1時(shí)，便為高斯-塞德?tīng)柕ā．?dāng)0<ω<1時(shí)，低松弛法；當(dāng)1<ω<2時(shí)稱為超松弛法。但通常統(tǒng)稱為超松弛法(SOR)。

第32頁(yè)，共70頁(yè)，2023年，2月20日，星期五33/68鄭州大學(xué)研究生2011-2012學(xué)年課程數(shù)值分析

NumericalAnalysis§6.2幾種常用的迭代格式故

令則超松弛迭代公式可寫成SOR迭代法的矩陣表示第33頁(yè)，共70頁(yè)，2023年，2月20日，星期五34/68鄭州大學(xué)研究生2011-2012學(xué)年課程數(shù)值分析

NumericalAnalysis§6.2幾種常用的迭代格式顯然對(duì)任何一個(gè)ω值,(D+ωL)非奇異,(因?yàn)榧僭O(shè)

)于是超松弛迭代公式為(k=0,1,2,…)第34頁(yè)，共70頁(yè)，2023年，2月20日，星期五35/68鄭州大學(xué)研究生2011-2012學(xué)年課程數(shù)值分析

NumericalAnalysis例6.2.3它的精確解為取，迭代公式為用SOR方法解方程組解第35頁(yè)，共70頁(yè)，2023年，2月20日，星期五36/68鄭州大學(xué)研究生2011-2012學(xué)年課程數(shù)值分析

NumericalAnalysis§6.2幾種常用的迭代格式取，取其他值，迭代次數(shù)如下表.第11次迭代結(jié)果為第36頁(yè)，共70頁(yè)，2023年，2月20日，星期五37/68鄭州大學(xué)研究生2011-2012學(xué)年課程數(shù)值分析

NumericalAnalysis

從此例看到，松弛因子選擇得好，會(huì)使SOR迭代法的收斂大大加速.本例中是最佳松弛因子.第37頁(yè)，共70頁(yè)，2023年，2月20日，星期五38/68鄭州大學(xué)研究生2011-2012學(xué)年課程數(shù)值分析

NumericalAnalysis定義設(shè)有矩陣序列及,如果個(gè)數(shù)列極限存在且有則稱收斂于，記為第38頁(yè)，共70頁(yè)，2023年，2月20日，星期五39/68鄭州大學(xué)研究生2011-2012學(xué)年課程數(shù)值分析

NumericalAnalysis例且設(shè)，考查其極限.

解由于，當(dāng)時(shí)，有設(shè)有矩陣序列所以第39頁(yè)，共70頁(yè)，2023年，2月20日，星期五40/68鄭州大學(xué)研究生2011-2012學(xué)年課程數(shù)值分析

NumericalAnalysis定理設(shè),則(零矩陣)的充分必要條件是矩陣的譜半徑（證明參見(jiàn)：關(guān)治，陳景良.數(shù)值計(jì)算方法,清華大學(xué)出版社，P410~412）第40頁(yè)，共70頁(yè)，2023年，2月20日，星期五41/68鄭州大學(xué)研究生2011-2012學(xué)年課程數(shù)值分析

NumericalAnalysis矩陣的譜半徑第41頁(yè)，共70頁(yè)，2023年，2月20日，星期五42/68鄭州大學(xué)研究生2011-2012學(xué)年課程數(shù)值分析

NumericalAnalysis定理

對(duì)給定方陣G,若,則為非奇異矩陣,且

證:用反證法,若為奇異矩陣,則存在非零向量x,使,即有由相容性條件得

由于,兩端消去,有,與已知條件矛盾,假設(shè)不成立,命題得證。又由于有即

將G分別取成G和-G，再取范數(shù)

又已知，有

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NumericalAnalysis§6.3迭代法的收斂性及誤差估計(jì)對(duì)于給定的方程組可以構(gòu)造成雅可比迭代公式、高斯-塞德?tīng)柕胶统沙诘?，但并非一定收斂?，F(xiàn)在分析它們的收斂性。對(duì)于方程組經(jīng)過(guò)等價(jià)變換構(gòu)造出的等價(jià)方程組

在什么條件下迭代序列收斂？第43頁(yè)，共70頁(yè)，2023年，2月20日，星期五44/68鄭州大學(xué)研究生2011-2012學(xué)年課程數(shù)值分析

NumericalAnalysis定理6.3.1

迭代公式收斂的充分必要條件是迭代矩陣G的譜半徑證:必要性設(shè)迭代公式收斂,當(dāng)k→∞時(shí),則在迭代公式兩端同時(shí)取極限得記,則收斂于0(零向量),且有

于是由于可以是任意向量,故收斂于0當(dāng)且僅當(dāng)收斂于零矩陣，即當(dāng)時(shí)所以必第44頁(yè)，共70頁(yè)，2023年，2月20日，星期五45/68鄭州大學(xué)研究生2011-2012學(xué)年課程數(shù)值分析

NumericalAnalysis充分性:設(shè),則必存在正數(shù)ε,使則存在某種范數(shù)

,使,,則,所以

,即。故收斂于0,

收斂于由此定理可知，不論是雅可比迭代法、高斯—塞德?tīng)柕ㄟ€是超松弛迭代法，它們收斂的充要條件是其迭代矩陣的譜半徑。

§6.3迭代法的收斂性及誤差估計(jì)第45頁(yè)，共70頁(yè)，2023年，2月20日，星期五46/68鄭州大學(xué)研究生2011-2012學(xué)年課程數(shù)值分析

NumericalAnalysis定理6.3.2

(迭代法收斂的充分條件)若迭代矩陣G的一種范數(shù),則迭代公式收斂,且有誤差估計(jì)式,且有誤差估計(jì)式及§6.3迭代法的收斂性及誤差估計(jì)第46頁(yè)，共70頁(yè)，2023年，2月20日，星期五47/68鄭州大學(xué)研究生2011-2012學(xué)年課程數(shù)值分析

NumericalAnalysis§6.3迭代法的收斂性及誤差估計(jì)證:矩陣的譜半徑不超過(guò)矩陣的任一種范數(shù),已知,因此,根據(jù)定理6.3.1可知迭代公式收斂又因?yàn)?則det(I-G)≠0,I-G為非奇異矩陣,故x＝Gx＋d有惟一解,即與迭代過(guò)程相比較,有第47頁(yè)，共70頁(yè)，2023年，2月20日，星期五48/68鄭州大學(xué)研究生2011-2012學(xué)年課程數(shù)值分析

NumericalAnalysis∴

兩邊取范數(shù)§6.3迭代法的收斂性及誤差估計(jì)第48頁(yè)，共70頁(yè)，2023年，2月20日，星期五49/68鄭州大學(xué)研究生2011-2012學(xué)年課程數(shù)值分析

NumericalAnalysis§6.3迭代法的收斂性及誤差估計(jì)由迭代格式，有

兩邊取范數(shù)，代入上式，得證畢第49頁(yè)，共70頁(yè)，2023年，2月20日，星期五50/68鄭州大學(xué)研究生2011-2012學(xué)年課程數(shù)值分析

NumericalAnalysis§6.3迭代法的收斂性及誤差估計(jì)

由定理知，當(dāng)時(shí)，其值越小，迭代收斂越快，在程序設(shè)計(jì)中通常用相鄰兩次迭代

（ε為給定的精度要求）作為控制迭代結(jié)束的條件第50頁(yè)，共70頁(yè)，2023年，2月20日，星期五51/68鄭州大學(xué)研究生2011-2012學(xué)年課程數(shù)值分析

NumericalAnalysis§6.4判別收斂的幾個(gè)常用條件迭代法收斂的判別條件：1.Jacobi迭代法（簡(jiǎn)單迭代法）的收斂判定。2.Gauss-Seidel迭代法的收斂判定。3.SOR迭代法的收斂判定。第51頁(yè)，共70頁(yè)，2023年，2月20日，星期五52/68鄭州大學(xué)研究生2011-2012學(xué)年課程數(shù)值分析

NumericalAnalysis定理6.4.1

設(shè)n階方陣為對(duì)角占優(yōu)陣,則它是非奇異的。證:因A為對(duì)角占優(yōu)陣,其主對(duì)角元素的絕對(duì)值大于同行其它元素絕對(duì)值之和,且主對(duì)角元素全不為0,故對(duì)角陣為非奇異。作矩陣第52頁(yè)，共70頁(yè)，2023年，2月20日，星期五53/68鄭州大學(xué)研究生2011-2012學(xué)年課程數(shù)值分析

NumericalAnalysis§6.4判別收斂的幾個(gè)常用條件利用對(duì)角占優(yōu)知知非奇異,從而A非奇異,證畢

系數(shù)矩陣為對(duì)角占優(yōu)陣的線性方程組稱作對(duì)角占優(yōu)方程組。

第53頁(yè)，共70頁(yè)，2023年，2月20日，星期五54/68鄭州大學(xué)研究生2011-2012學(xué)年課程數(shù)值分析

NumericalAnalysis§6.4判別收斂的幾個(gè)常用條件定理6.4.2

對(duì)角占優(yōu)線性方程組的雅可比迭代公式和高斯-賽德?tīng)柕骄諗?。證:雅可比迭代公式的迭代矩陣為

由定理6.4.1知,這時(shí),再由定理6.3.2知迭代收斂.再考察高斯-賽德?tīng)柕降牡仃嚨?4頁(yè)，共70頁(yè)，2023年，2月20日，星期五55/68鄭州大學(xué)研究生2011-2012學(xué)年課程數(shù)值分析

NumericalAnalysis§6.4判別收斂的幾個(gè)常用條件令，則有即寫出分量形式有設(shè)

而由上式得第55頁(yè)，共70頁(yè)，2023年，2月20日，星期五56/68鄭州大學(xué)研究生2011-2012學(xué)年課程數(shù)值分析

NumericalAnalysis§6.4判別收斂的幾個(gè)常用條件由此整理得利用對(duì)角占優(yōu)條件知上式右端小于1,(如果右端大于1,則得出與對(duì)角占優(yōu)條件矛盾的結(jié)果)故有據(jù)定理6.3.2知G-S法收斂第56頁(yè)，共70頁(yè)，2023年，2月20日，星期五57/68鄭州大學(xué)研究生2011-2012學(xué)年課程數(shù)值分析

NumericalAnalysis定理6.4.3

當(dāng)系數(shù)矩陣A為正定矩陣，高斯-塞德?tīng)柕諗俊６ɡ?.4.4

松弛迭代收斂的必要條件是0<ω<2§6.4判別收斂的幾個(gè)常用條件第57頁(yè)，共70頁(yè)，2023年，2月20日，星期五58/68鄭州大學(xué)研究生2011-2012學(xué)年課程數(shù)值分析

NumericalAnalysis

定理6.4.6

若A為對(duì)稱正定矩陣時(shí)，則松弛迭代收斂的充要條件是.

定理6.4.5(松弛法收斂的充分條件)

如果系數(shù)矩陣A為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)，當(dāng)松弛因子

時(shí)，松弛迭代法收斂?！?.4判別收斂的幾個(gè)常用條件第58頁(yè)，共70頁(yè)，2023年，2月20日，星期五59/68鄭州大學(xué)研究生2011-2012學(xué)年課程數(shù)值分析

NumericalAnalysis§6.5迭代法收斂判定的應(yīng)用舉例例6.5.1

已知線性方程組考察用Jacobi迭代和G-S迭代求解時(shí)的收斂性解:⑴雅可比迭代矩陣第59頁(yè)，共70頁(yè)，2023年，2月20日，星期五60/68鄭州大學(xué)研究生2011-2012學(xué)年課程數(shù)值分析

NumericalAnalysis§6.5迭代法收斂判定的應(yīng)用舉例故Jacobi迭代收斂

第60頁(yè)，共70頁(yè)，2023年，2月20日，星期五61/68鄭州大學(xué)研究生2011-2012學(xué)年課程數(shù)值分析

NumericalAnalysis§6.5迭代法收斂判定的應(yīng)用舉例故高斯—塞德?tīng)柕諗俊?/p>

第61頁(yè)，共70頁(yè)，2023年，2月20日，星期五62/68鄭州大學(xué)研究生2011-2012學(xué)年課程數(shù)值分析

NumericalAnalysis§6.5迭代法收斂判定的應(yīng)用舉例例6.5.2

設(shè)有迭代格式

X(k+1)=BX(k)+g(k=0,1,2……）其中B=I-A,如果A和B的特征值全為正數(shù)，試證：該迭代格式收斂。分析:根據(jù)A，B和單位矩陣I之間的特征值的關(guān)系導(dǎo)出(B)<1,從而說(shuō)明迭代格式收斂。

第62頁(yè)，共70頁(yè)，2023年，2月20日，星期五63/68鄭州大學(xué)研究生2011-2012學(xué)年課程數(shù)值分析

NumericalAnalysis§6.5迭代法收斂判定的應(yīng)用舉例證:因?yàn)锽=I-A,故(B)=(I)-(A)=1-(A)(A)+(B)=1

由于已知(A)和(B)全為正數(shù)，故