全等三角形證明方法

全等三角形證明一、三角形全等的判定：1、三組對(duì)應(yīng)邊分別相等的兩個(gè)三角形全等(SSS)。2、有兩邊及其夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(SAS)。3、有兩角及其夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(ASA)。4、有兩角及一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(AAS)。5、直角三角形全等條件有：斜邊及一直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等(HL)。二、全等三角形的性質(zhì)：①全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等；全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等。②全等三角形的周長(zhǎng)、面積相等。③全等三角形的對(duì)應(yīng)邊上的高對(duì)應(yīng)相等。④全等三角形的對(duì)應(yīng)角的角平分線相等。⑤全等三角形的對(duì)應(yīng)邊上的中線相等。三、找全等三角形的方法：（1）可以從結(jié)論出發(fā)，看要證明相等的兩條線段（或角）分別在哪兩個(gè)可能全等的三角形中；（2）可以從已知條件出發(fā)，看已知條件可以確定哪兩個(gè)三角形相等；（3）從條件和結(jié)論綜合考慮，看它們能一同確定哪兩個(gè)三角形全等；（4）若上述方法均不行，可考慮添加輔助線，構(gòu)造全等三角形。三角形全等的證明中包含兩個(gè)要素：邊和角。缺個(gè)角的條件：1、公共角2、對(duì)頂角3、兩全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等4、等腰三角形5、同角或等角的補(bǔ)角（余角）6、等角加（減）等角7、平行線8、等于同一角的兩個(gè)角相等缺條邊的條件：1、公共邊2、中點(diǎn)1、公共邊2、中點(diǎn)3、等量和4、等量差5、角平分線性質(zhì)6、等腰三角形4、等量差5、角平分線性質(zhì)6、等腰三角形7、等面積法8、線段垂直平分線上的點(diǎn)7、等面積法8、線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端距離相等9、兩全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等1010、等于同一線段的兩線段相等2、由線段和差想到的輔助線（1）遇到求證一條線段等于另兩條線段之和時(shí)，一般方法是截長(zhǎng)補(bǔ)短法：①截長(zhǎng)：在長(zhǎng)線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等于另一條；②補(bǔ)短：將一條短線段延長(zhǎng)，延長(zhǎng)部分等于另一條短線段，然后證明新線段等于長(zhǎng)線段。截長(zhǎng)補(bǔ)短法作輔助線。在△ABC中，AD平分∠BAC，∠ACB＝2∠B，求證：AB＝AC＋CD。（2）對(duì)于證明有關(guān)線段和差的不等式，通常會(huì)聯(lián)系到三角形中兩線段之和大于第三邊、之差小于第三邊，故可想辦法放在一個(gè)三角形中證明。在利用三角形三邊關(guān)系證明線段不等關(guān)系時(shí)，如直接證不出來(lái)，可連接兩點(diǎn)或廷長(zhǎng)某邊構(gòu)成三角形，使結(jié)論中出現(xiàn)的線段在一個(gè)或幾個(gè)三角形中，再運(yùn)用三角形三邊的不等關(guān)系證明。例1：已知如圖1-1：D、E為△ABC內(nèi)兩點(diǎn),求證:AB＋AC＞BD＋DE＋CE.（法1）證明：將DE兩邊延長(zhǎng)分別交AB、AC于M、N，在△AMN中，AM＋AN＞MD＋DE＋NE;（1）在△BDM中，MB＋MD＞BD；（2）在△CEN中，CN＋NE＞CE；（3）由（1）＋（2）＋（3）得：AM＋AN＋MB＋MD＋CN＋NE＞MD＋DE＋NE＋BD＋CE∴AB＋AC＞BD＋DE＋EC（法2）如圖1-2，延長(zhǎng)BD交AC于F，延長(zhǎng)CE交BF于G，在△ABF和△GFC和△GDE中有：AB＋AF＞BD＋DG＋GF

（三角形兩邊之和大于第三邊）（1）GF＋FC＞GE＋CE（同上）………………（2）DG＋GE＞DE（同上）……（3）由（1）＋（2）＋（3）得：AB＋AF＋GF＋FC＋DG＋GE＞BD＋DG＋GF＋GE＋CE＋DE∴AB＋AC＞BD＋DE＋EC。（3）在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)角時(shí)如直接證不出來(lái)時(shí)，可連接兩點(diǎn)或延長(zhǎng)某邊，構(gòu)造三角形，使求證的大角在某個(gè)三角形的外角的位置上，小角處于這個(gè)三角形的內(nèi)角位置上，再利用外角定理：例如：如圖2-1：已知D為△ABC內(nèi)的任一點(diǎn)，求證：∠BDC＞∠BAC。分析：因?yàn)椤螧DC與∠BAC不在同一個(gè)三角形中，沒(méi)有直接的聯(lián)系，可適當(dāng)添加輔助線構(gòu)造新的三角形，使∠BDC處于在外角的位置，∠BAC處于在內(nèi)角的位置；證法一：延長(zhǎng)BD交AC于點(diǎn)E，這時(shí)∠BDC是△EDC的外角，∴∠BDC＞∠DEC，同理∠DEC＞∠BAC，∴∠BDC＞∠BAC證法二：連接AD，并延長(zhǎng)交BC于F∵∠BDF是△ABD的外角∴∠BDF＞∠BAD，同理，∠CDF＞∠CAD∴∠BDF＋∠CDF＞∠BAD＋∠CAD即：∠BDC＞∠BAC。注意：利用三角形外角定理證明不等關(guān)系時(shí)，通常將大角放在某三角形的外角位置上，小角放在這個(gè)三角形的內(nèi)角位置上，再利用不等式性質(zhì)證明。3、由中點(diǎn)想到的輔助線在三角形中，如果已知一點(diǎn)是三角形某一邊上的中點(diǎn)，那么首先應(yīng)該聯(lián)想到三角形的中線加倍延長(zhǎng)中線及其相關(guān)性質(zhì)（等腰三角形底邊中線性質(zhì)），然后通過(guò)探索，找到解決問(wèn)題的方法。（1）中線把原三角形分成兩個(gè)面積相等的小三角形即如圖1，AD是ΔABC的中線，則SΔABD=SΔACD=12SΔABC（因?yàn)棣BD與ΔACD是等底同高的）。例1、如圖2，ΔABC中，AD是中線，延長(zhǎng)AD到E，使DE=AD，DF是ΔDCE的中線。已知ΔABC的面積為2，求：ΔCDF的面積。（2）倍長(zhǎng)中線已知中點(diǎn)、中線問(wèn)題應(yīng)想到倍長(zhǎng)中線，由中線的性質(zhì)可知，一條中線將中點(diǎn)所在的線段平分，可得到一組等邊，通過(guò)倍長(zhǎng)中線又可得到一組等邊及對(duì)頂角，因而可以得到一組全等三角形。如圖，延長(zhǎng)AD到E，使得AD=AE，連結(jié)BE。例2、如圖5，已知ΔABC中，AD是∠BAC的平分線，AD又是BC邊上的中線。求證：ΔABC是等腰三角形。4、驗(yàn)證中點(diǎn)、中線問(wèn)題，應(yīng)構(gòu)造平行線，如圖，過(guò)B作BE平行AC交AD延長(zhǎng)線于E。例3．如圖3，在等腰△ABC中，AB=AC，在AB上截取BD，在AC延長(zhǎng)線上截取CE，且使CE=BD．連接DE交BC于F．求證：DF=EF．4、其他輔助線做法（1）延長(zhǎng)已知邊構(gòu)造三角形在一些求證三角形問(wèn)題中，延長(zhǎng)某兩條線段（邊）相交，構(gòu)成一個(gè)封閉的圖形，可找到更多的相等關(guān)系，有助于問(wèn)題的解決．例4．如圖4，在△ABC中，AC=BC，∠B=90°，BD為∠ABC的平分線．若A點(diǎn)到直線BD的距離AD為a，求BE的長(zhǎng)．例如：如圖7-1：已知AC＝BD，AD⊥AC于A，BC⊥BD于B，求證：AD＝BC分析：欲證AD＝BC，先證分別含有AD，BC的三角形全等，有幾種方案：△ADC與△BCD，△AOD與△BOC，△ABD與△BAC，但根據(jù)現(xiàn)有條件，均無(wú)法證全等，差角的相等，因此可設(shè)法作出新的角，且讓此角作為兩個(gè)三角形的公共角。2、連接四邊形的對(duì)角線，把四邊形的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成為三角形來(lái)解決。例如：如圖8-1：AB∥CD，AD∥BC求證：AB=CD。分析：圖為四邊形，我們只學(xué)了三角形的有關(guān)知識(shí)，必須把它轉(zhuǎn)化為三角形來(lái)解決。3、連接已知點(diǎn)，構(gòu)造全等三角形。例如：已知：如圖10-1；AC、BD相交于O點(diǎn)，且AB＝DC，AC＝BD，求證：∠A＝∠D。分析：要證∠A＝∠D，可證它們所在的三角形△ABO和△DCO全等，而只有AB＝DC和對(duì)頂角兩個(gè)條件，差一個(gè)條件，，難以證其全等，只有另尋其它的三角形全等，由AB＝DC，AC＝BD，若連接BC，則△ABC和△DCB全等，所以，證得∠A＝∠D。4、取線段中點(diǎn)構(gòu)造全等三