軸向運(yùn)動復(fù)合材料圓柱殼的非線性振動研究 - 物理學(xué)

軸向運(yùn)動復(fù)合材料圓柱殼的非線性振動研究-物理學(xué)摘要：采用RungeKutta法和多尺度法對軸向運(yùn)動分層復(fù)合材料薄壁圓柱殼的非線性振動特性進(jìn)行了研究。首先根據(jù)層合殼理論建立軸向運(yùn)動分層復(fù)合材料薄壁圓柱殼的波動方程，利用Galerkin法對方程進(jìn)行離散，得到相互耦合模態(tài)方程組。然后應(yīng)用RungeKutta法分析了不同參數(shù)條件下的幅頻特性曲線，得到了系統(tǒng)由于固有頻率接近所導(dǎo)致的內(nèi)共振現(xiàn)象，以及系統(tǒng)呈現(xiàn)軟特性等非線性特性。最后采用多尺度法進(jìn)行了系統(tǒng)1:1內(nèi)共振時的近似解析分析，對系統(tǒng)在不同參數(shù)下的振動研究說明，激振力幅值、阻尼、速度等參數(shù)對位移響應(yīng)幅值、共振區(qū)間、模態(tài)間的耦合度及系統(tǒng)軟特性程度均有影響，其結(jié)論與數(shù)值計(jì)算結(jié)果一致，并同時對解的穩(wěn)定性進(jìn)行了研究。

關(guān)鍵詞：法,多尺度法,分層,內(nèi)共振,穩(wěn)定性

復(fù)合材料薄壁圓柱殼具有比強(qiáng)度高、比剛度大、材料性能可設(shè)計(jì)性等諸多材料優(yōu)點(diǎn)及良好的幾何特性，這些特點(diǎn)使其在航空、航天、船舶等領(lǐng)域中得到越來越廣泛的應(yīng)用。飛機(jī)副油箱在運(yùn)動中的振動，可以看作軸向運(yùn)動復(fù)合材料殼體動力學(xué)問題的典型例子，相關(guān)方面的研究在近些年受到各國學(xué)者的普遍關(guān)注。F.Moussaoui和R.Benamar對殼類結(jié)構(gòu)的非線性振動問題進(jìn)行了綜述性的研究，指出了前人研究過程中存在的問題，對后來的研究者提出了倡議。C.H.Riedel用多尺度法研究了軸向運(yùn)動梁的內(nèi)共振問題，并用一次近似理論判斷其穩(wěn)定性；陳樹輝、黃建亮用多元L-P法研究了軸向運(yùn)動梁的非線性振動和內(nèi)共振；Argento和Scott采用攝動法對軸向載荷作用下的層合圓柱殼動力穩(wěn)定性進(jìn)行了研究。

與單一組分圓柱殼相比，復(fù)合材料因其具有各向異性、非均勻性，幾何及物理非線性，動態(tài)彈性參數(shù)等特點(diǎn)而使問題研究變得更加復(fù)雜。本文主要研究受外部鼓勵的懸臂復(fù)合材料薄壁圓柱殼，沿軸向作勻速運(yùn)動時的內(nèi)共振問題。其中，考慮了幾何大變形引起的幾何非線性、軸向運(yùn)動產(chǎn)生的科氏慣性力所引起的運(yùn)動學(xué)非線性、動態(tài)彈性模量以及阻尼的影響。同時，多尺度法也被引入研究軸向運(yùn)動復(fù)合材料圓柱殼的內(nèi)共振問題。

1根本方程

考慮軸向運(yùn)動復(fù)合材料薄壁圓柱殼模型如圖1(a)所示，過x軸作一縱向截面，截得圓柱殼的截面分層如圖1(b)所示。其中E18#為玻璃鋼纖維布，USN1000為碳素布，中間粘層為環(huán)氧樹脂。

(a)整體示意圖

(a)Wholeschematicdiagram

(b)截面分層圖

(b)Slicemapforcross-section

圖1軸向運(yùn)動復(fù)合材料薄壁圓柱殼示意圖

Fig.1Modelofcompositecircularcylindricalshellmovinginthex-direction

模型的幾何和物理參數(shù)為：長度，半徑，各層坐標(biāo)，，0，玻璃鋼密度，波松比；碳素密度，波松比。層合殼的幾何方程為

其中，下劃線表示幾何非線性項(xiàng)。該式根據(jù)Donnell"s假定，忽略了中面位移對曲率和扭率的影響。層合殼物理方程為

其中，在計(jì)算剛度系數(shù)時，每層復(fù)合材料的彈性模量均為動態(tài)彈性模量，是關(guān)于振動頻率f的函數(shù)。

根據(jù)Donnell"s假定，并考慮幾何及物理方程，經(jīng)整理后，可得到軸向運(yùn)動分層復(fù)合材料薄壁圓柱殼的波動方程

0

為外激振力，表示非線性項(xiàng)

式中和為激振力振幅和頻率，和為外激振力作用位置。從方程中可以看出，由于軸向速度的影響，慣性力已經(jīng)變?yōu)槿?xiàng)，和，分別由牽連加速度、相對加速度和科氏加速度引起。

采用法把非線性波動方程離散化。由文獻(xiàn)可知，軸向模態(tài)對非線性振動特性影響較大,同時，本文研究內(nèi)共振問題，應(yīng)選取前兩階軸向雙模態(tài)來分析復(fù)合材料圓柱殼的動力學(xué)行為。設(shè)方程的解為

其中，為薄壁圓柱殼的軸向振型函數(shù)，和為廣義模態(tài)變量。由于本文采用了Donnell"s假定，故將環(huán)向波數(shù)取為6。將式代入方程后，兩邊分別對或正交化，整理可得四個關(guān)于、、和的相互耦合的模態(tài)方程組。聯(lián)立求解該模態(tài)方程組，使每個方程只含一個二階導(dǎo)數(shù)

其中，和是與激振力幅值、速度和阻尼系數(shù)等參數(shù)有關(guān)的變量，。

2數(shù)值解

本文應(yīng)用四階Runge-Kutta法求解前面得到的歸一化模態(tài)方程組。給定頻率計(jì)算得到、、、某段時間內(nèi)的穩(wěn)定值，將其代人式求出定點(diǎn)位移，并依此畫出幅頻特性曲線。

在求解過程中，先取~和~均為零，得到零初值幅頻特性曲線。

再改變位移的初值條件，得到完整的幅頻特性曲線。其中，激振力振幅，阻尼，軸向運(yùn)動速度。圖中曲線出現(xiàn)了跳躍并說明了內(nèi)共振現(xiàn)象的存在。與零初始條件相比，完整幅頻特性曲線在多值區(qū)的非線性更為明顯，出現(xiàn)了新的曲線，系統(tǒng)表現(xiàn)出明顯軟特性。同時，和的幅頻特性曲線重合，和與此情況相同，由此可得到，的關(guān)系，在下面的多尺度法求解中應(yīng)用了這個關(guān)系。

圖2零初值下的幅頻特性曲線

Fig.2Amplitude-frequencycurvesofwithzeroinitialvalue

圖3的幅頻特性曲線

Fig.3Amplitude-frequencycurvesof

圖4和幅頻特性曲線的比擬

Fig.4Differencebetweenand

圖5為圓柱殼在不同軸向運(yùn)動速度下的完整幅頻特性曲線。由圖可知，在第一階固有頻率附近均存在跳躍現(xiàn)象，隨著速度減小，非線性現(xiàn)象更加明顯，多值區(qū)越來越復(fù)雜并出現(xiàn)新的曲線，響應(yīng)幅值也相應(yīng)增大。

圖5時的幅頻特性曲線

Fig.5Amplitude-frequencycurvesofwith

圖6為圓柱殼在不同激振力振幅下的完整幅頻特性曲線。由圖中可知，隨著激振力振幅的增大，幅頻特性曲線的非線性特征越來越明顯，第一、二階模態(tài)的耦合程度加強(qiáng)，即內(nèi)共振現(xiàn)象越發(fā)顯著。

圖7為圓柱殼在不同阻尼下的完整幅頻特性曲線。由圖中可知，隨著阻尼的減小，幅頻特性曲線的幅值增加，共振頻率的偏移程度減小，非線性特征越來越明顯，內(nèi)共振現(xiàn)象也越發(fā)顯著。

圖6時的幅頻特性曲線

Fig.6Amplitude-frequencycurvesofwith

圖7時的幅頻特性曲線

Fig.7Amplitude-frequencycurvesofwith

為進(jìn)一步證實(shí)上述幅頻特性曲線中所說明的內(nèi)共振現(xiàn)象的存在，現(xiàn)對相同條件下的響應(yīng)曲線進(jìn)行研究。圖8和圖9分別是，阻尼0，速度條件下，和時和響應(yīng)曲線，圖中的兩個模態(tài)幅值交替增減，能量在它們之間相互傳遞，再一次證明文中所選兩階模態(tài)間存在內(nèi)共振現(xiàn)象。

圖8時,的響應(yīng)

Fig.8Responseofandwith

圖9時,的響應(yīng)

Fig.9Responseofandwith

3多尺度法分析1:1內(nèi)共振

通過前面數(shù)值計(jì)算中得到的結(jié)果，，并令模態(tài)方程組中的第1、3式，第2、4式，那么式可簡化成兩個方程，引進(jìn)攝動小參數(shù)后，這兩個方程可寫為

其中，，，，為陀螺項(xiàng)的系數(shù)，，，，為阻尼項(xiàng)的系數(shù)。系統(tǒng)所對應(yīng)的兩階固有頻率,由方程得出，同時可得振型系數(shù),

令，將其看成不同時間尺度的自變量，并將解的精度取為，那么解可設(shè)為

將代入式，可推出和的一、二階導(dǎo)數(shù)的形式為

其中，。

將式和代入和，令和同次冪的系數(shù)相等，得到0和1階偏微分方程組

：

：

系統(tǒng)中和彼此并不獨(dú)立，由數(shù)值解知兩階模態(tài)之間存在內(nèi)共振，設(shè)方程的解為

其中，cc表示前面敘述式的復(fù)共軛。第一階固有頻率接近第二階固有頻率，很可能發(fā)生1:1內(nèi)共振，設(shè)

其中，和為頻率調(diào)諧參數(shù)。把式和代入式方程組的右邊并整理得

其中~是關(guān)于，，，，，的函數(shù)，因此設(shè)和含有如下形式特解

把式代入式的左邊并整理，由和兩邊的系數(shù)相等可以列出四個方程，根據(jù)它們所組成的非齊次方程組的解的條件可以進(jìn)一步得到另外四個方程，考慮到本文研究的激振力頻率在第一階固有頻率的附近，并且關(guān)于小參數(shù)的展開也在第一階固有頻率附近，應(yīng)選擇采用其中的兩個方程進(jìn)行計(jì)算

方程是關(guān)于，，，的函數(shù)，設(shè)

其中和是系統(tǒng)分別以和振動時第一階模態(tài)和第二階模態(tài)的幅值。將式代入式并別離實(shí)部和虛部，可以得到四個方程，將它們整理化簡，得到，，，的敘述式，在這些敘述式中考慮穩(wěn)態(tài)響應(yīng)解的條件，即

經(jīng)化簡消去和后最終得到關(guān)于和的兩個方程如式所示，其中，

式中，0和中含有參數(shù)，，及變量、的高次方項(xiàng)。給定不同參數(shù)，可求得對應(yīng)幅頻曲線，求解時應(yīng)將利用轉(zhuǎn)化成激振力頻率。

圖10~13給出了不同速度下第一階模態(tài)和第二階模態(tài)的幅頻特性曲線，由于，而和在同一量級，故圖中分別用和來表示第一、二階模態(tài)的幅值。從圖10~11可以看出，當(dāng)時，第一、二階模態(tài)分別有六組解，由于所

取的解均為正數(shù)，故這六組解在同一相平面內(nèi)。一階模態(tài)的第5、6組解所對應(yīng)的曲線中，幅值隨頻率增加而增大，二階模態(tài)的對應(yīng)曲線那么恰恰相反。此外，兩圖中的第4組解也表現(xiàn)出相反的特性，這三組解都體現(xiàn)了兩階模態(tài)幅值大小的相互轉(zhuǎn)換，是非線性系統(tǒng)內(nèi)共振的特有規(guī)律。第1、2組解對應(yīng)的曲線變化規(guī)律相同，雖然不能表明內(nèi)共振現(xiàn)象，但從本文后面的穩(wěn)定性研究中可以看到，這兩組解大多數(shù)為不穩(wěn)定解。

圖10時的幅頻特性曲線

Fig.10Amplitude-frequencycurvesofwith

圖11時的幅頻特性曲線

Fig.11Amplitude-frequencycurvesofwith

從圖12~13中看出，在的條件下，第一、二階模態(tài)的四組解所對應(yīng)的曲線均表現(xiàn)出了相反的變化規(guī)律，內(nèi)共振現(xiàn)象非常顯著。從圖10~13的整體比擬來看，當(dāng)速度由增加到時，第一、二階模態(tài)的幅值都由六個解變?yōu)樗膫€解，共振區(qū)域明顯減小，同時，幅值減小。

在、、時，做出和下的、響應(yīng)曲線。其形式與圖8~9相同，也表現(xiàn)為隨著頻率的變化，幅值交替增減，能量在兩階模態(tài)之間相互傳遞，證明了內(nèi)共振現(xiàn)象的存在。

圖12時的幅頻特性曲線

Fig.12Amplitude-frequencycurvesofwith

圖13時的幅頻特性曲線

Fig.13Amplitude-frequencycurvesofwith

圖14給出了不同激振力幅值下的幅頻特性曲線，由于對一、二階模態(tài)的影響相似，故文中只列出了的幅頻特性曲線，由圖中可知，激振力的增大，使共振區(qū)擴(kuò)大，振幅增加，同時，發(fā)生內(nèi)共振的頻率逐漸遠(yuǎn)離第一階固有頻率。當(dāng)時，產(chǎn)生了幅值封閉曲線，表明此時非線性對幅值的增大加以限制。

圖14,,,的幅頻特性曲線

Fig.14Amplitude-frequencycurvesofwith

圖15給出了不同阻尼下的幅頻特性曲線，由圖可知，隨著阻尼的增大，振幅減小，共振區(qū)域也變小，且更快產(chǎn)生幅值封閉曲線，但總體來說，阻尼對近似解的影響并不顯著。

圖15,,,的幅頻特性曲線

Fig.15Amplitude-frequencycurvesofwith,,,

圖16給出了不同小參數(shù)下的幅頻特性曲線，由圖中可知，小參數(shù)對幅頻特性曲線根本沒有影響。

圖16,,,時幅頻特性曲線

Fig.16Amplitude-frequencycurvesofwith

考慮到解的穩(wěn)定性分析的重要性，本文利用李雅普諾夫一次近似判別理論對多尺度法共振解的穩(wěn)定性進(jìn)行了初步研究。將式代入式并別離實(shí)部和虛部，整理化簡后可以變形表示為式，其矩陣是關(guān)于的函數(shù)，把幅頻特性曲線上每一點(diǎn)的值同時代入矩陣的特征方程，可求得對應(yīng)的特征值，并運(yùn)用穩(wěn)定性定理判斷該點(diǎn)的穩(wěn)定性。

圖17給出了，，條件下的第一、二階模態(tài)幅頻特性曲線的穩(wěn)定點(diǎn)和不穩(wěn)定點(diǎn)。

(a)的穩(wěn)定性

(a)Stabilityof

(b)的穩(wěn)定性

(b)Stabilityof

圖17和的穩(wěn)定性

Fig.17Stabilityofand

4結(jié)論

本文分別用數(shù)值法和近似解析法對受法向鼓勵的軸向運(yùn)動分層復(fù)合材料薄壁圓柱殼的非線性振動進(jìn)行了研究。通過分析得到下列結(jié)論

(1)材料的分層對系統(tǒng)非線性特性產(chǎn)生了本質(zhì)改變，使軸向運(yùn)動分層復(fù)合材料圓柱殼的非線性特性呈現(xiàn)明顯軟特性，與其它軸向運(yùn)動體及非軸向運(yùn)動復(fù)合材料薄壁圓柱殼的非線性呈現(xiàn)明顯的硬特性有著很大區(qū)別。

(2)兩種辦法所得到的幅頻特性曲線均能表明本文中的系統(tǒng)存在1:1內(nèi)共振。

(3)數(shù)值法與多尺度法的研究結(jié)果保持一致，進(jìn)一步驗(yàn)證了結(jié)果的可靠性，參數(shù)研究說明，激振力幅值的增大及阻尼、速度的減小會帶來響應(yīng)振幅增加、共振區(qū)域擴(kuò)大及內(nèi)共振現(xiàn)象更加顯著。而多尺度法的小參數(shù)對幅頻特性曲線影響不大。

參考文獻(xiàn)

1MoussaouiF,BenamarR.Nonlinearvibrationsofshell-typestructures:Areviewwithbibliography[J].JournalofSoundandVibration,2008,255(1):161-184.

2RiedelCH,TanCA.Coupled,forcedresponseofanaxiallymovingstripwithinternalresonance[J].InternationalJournalofNon-LinearMechanics,2008,37(1):101-116.

3ChenSH,HuangJL,SzeKY.MultidimensionalLindstedt-Poincaremethodfornonlinearvibrationofaxiallymovingbeams[J].JournalofSoundandVibration,2008,306(1-2):1-11.

/>4ArgentoA,ScottRA.Dynamicinstabilityoflayeredanisotropiccircularcylindricalshells,PartI:theoreticaldevelopment[J].JournalofSoundandVibration,1993,162(2),311-322.5LamKY,LoyCT.Analysisofrotatinglaminatedcylindricalshellsbydifferentthinshelltheories[J].JournalofSoundandVibration,1995,186(1):23-35.

6LamKY,LoyCT.Effectofboundaryconditionsonfrequenciesofamulti-layeredcylindricalshell[J].JournalofSoundandVibration,1995,188(3):363-384.

7李健,郭星輝,郭明濤,顏云輝.復(fù)合材料薄壁圓柱殼動態(tài)彈性模量的研究[J].東北大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2008,29(12):1770-1773.(LiJ,GuoXH,GuoMT,YanYH.AnalysisofDynamicElasticModulusofThin-WallCylindricalShellsMadefromComposites[J].JournalofNortheasternUniversity:NaturalScience,2008,29(12):1770-1773.(inChinese))

8李健,郭星輝,李永剛,顏云輝,董家林.基于Galerkin法的旋轉(zhuǎn)薄壁圓柱殼非線性行波振動