初中數(shù)學(xué) 導(dǎo)學(xué)案：正多邊形和圓

正多邊形與圓學(xué)習(xí)目標：1、了解正多邊形的概念、正多邊形和圓的關(guān)系；2、會通過等分圓心角的方法等分圓周，畫出所需的正多邊形；3、能夠用直尺和圓規(guī)作圖，作出一些特殊的正多邊形；4、理解正多邊形的中心、半徑、邊心距、中心角等概念。學(xué)習(xí)重點：正多邊形的概念及正多邊形與圓的關(guān)系。學(xué)習(xí)難點：利用直尺與圓規(guī)作特殊的正多邊形。學(xué)習(xí)過程：一、情境創(chuàng)設(shè)觀察下列圖形，你能說出這些圖形的特征嗎？提問：1．等邊三角形的邊、角各有什么性質(zhì)？2．正方形的邊、角各有什么性質(zhì)？二、探索活動活動一觀察生活中的一些圖形，歸納它們的共同特征，引入正多邊形的概念概念：叫做正多邊形。（注：各邊相等與各角相等必須同時成立）提問：矩形是正多邊形嗎？為什么？菱形是正多邊形嗎？為什么？如果一個正多邊形有n(n≥3)條邊，就叫正n邊形．等邊三角形有三條邊叫正三角形，正方形有四條邊叫正四邊形．活動二用量角器作正多邊形，探索正多邊形與圓的內(nèi)在聯(lián)系1、用量角器將一個圓n（n≥3）等分，依次連接各等分點所得的n邊形是這個圓的內(nèi)接正n邊形；圓的內(nèi)接正n邊形將圓n等分；2、正多邊形的外接圓的圓心叫正多邊形的中心?；顒尤剿髡噙呅蔚膶ΨQ性問題：正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形、正八邊形中，哪些是軸對稱圖形？哪些是中心對稱圖形？哪些既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形？如果是軸對稱圖形，畫出它的對稱軸；如果是中心對稱圖形，找出它的對稱中心。問題：正多邊形與圓有什么關(guān)系呢？什么是正多邊形的中心？發(fā)現(xiàn)：正三角形與正方形都有內(nèi)切圓和外接圓，并且為同心圓．圓心就是正多邊形的中心。分析：正三角形三個頂點把圓三等分；正方形的四個頂點把圓四等分．要將圓五等分，把等分點順次連結(jié)，可得正五邊形．要將圓六等分呢？你知道為什么嗎？思考：任何一個正多邊形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形嗎？跟邊數(shù)有何關(guān)系？結(jié)論：正多邊形都是軸對稱圖形，一個正n邊形有條對稱軸，每條對稱軸都通過正n邊形的；一個正多邊形，如果有偶數(shù)條邊，那么它既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形?；顒铀睦弥背吲c圓規(guī)作特殊的正多邊形問題：用直尺和圓規(guī)作出正方形，正六多邊形。思考：如何作正八邊形正三角形、正十二邊形？拓展1：已知：如圖，五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，AB=BC=CD=DE=EA．求證：五邊形ABCDE是正五邊形．拓展2：各內(nèi)角都相等的圓內(nèi)接多邊形是否為正多邊形？三、典型例題例1．已知正六邊形ABCDEF，如圖所示，其外接圓的半徑是a，求正六邊形的周長和面積．（分析：要求正六邊形的周長，只要求AB的長，已知條件是外接圓半徑，因此自然而然，邊長應(yīng)與半徑掛上鉤，很自然應(yīng)連接OA，過O點作OM⊥AB垂于M，在Rt△AOM中便可求得AM，又應(yīng)用垂徑定理可求得AB的長．正六邊形的面積是由六塊正三角形面積組成的）例2．利用你手中的工具畫一個邊長為3cm的正五邊形．四、課堂練習(xí)1、正方形ABCD的外接圓圓心O叫做正方形ABCD的______．2、正方形ABCD的內(nèi)切圓⊙O的半徑OE叫做正方形ABCD的______．3、若正六邊形的邊長為1，那么正六邊形的中心角是______度，半徑是______，邊心距是______，它的每一個內(nèi)角是______．4、正n邊形的一個外角度數(shù)與它的______角的度數(shù)相等．5、P106練習(xí)1、2五、課堂小結(jié)1、正多邊形的概念、正多邊形與圓的關(guān)系以及正多邊形的對稱性；2、利用直尺與圓規(guī)作一些特殊的正多邊形。正多邊形的外接圓(或內(nèi)切圓)的圓心叫做正多邊形的中心，外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑，內(nèi)切圓的半徑叫做正多邊形的邊心距．正多邊形各邊所對的外接圓的圓心角都相等．正多邊形每一邊所對的外接圓的圓心角叫做正多邊形的中心角．正n邊形的每個中心角都等于．六、課堂作業(yè)一、填空題（每題3分，共30分）1．如圖，小亮從A點出發(fā)，沿直線前進10米后向左轉(zhuǎn)30°，再沿直線前進10米，又向左轉(zhuǎn)30°，……照這樣走下去，他第一次回到出發(fā)地A點時，一共走了米．2．如圖，是硬幣圓周上一點，硬幣與數(shù)軸相切于原點（與點重合）．假設(shè)硬幣的直徑為1個單位長度，若將硬幣沿數(shù)軸正方向滾動一周，點恰好與數(shù)軸上點重合，則點對應(yīng)的實數(shù)是______．3．如圖，將邊長為8cm的正方形ABCD的四邊沿直線l想右滾動(不滑動)，當正方形滾動兩周時，正方形的頂點A所經(jīng)過的路線的長是cm．4．如圖，⊙Ａ、⊙Ｂ、⊙Ｃ、⊙Ｄ相互外離，它們的半徑都是，順次連結(jié)四個圓心得到四邊形，則圖中四個扇形（陰影部分）的面積之和等于__________．（結(jié)果保留）AABC(B)DABC(D)…(A)Dl（第2題）（第3題）（第4題）5．中央電視臺大風(fēng)車欄目圖標如圖甲，其中心為，半圓ACB固定，其半徑為，車輪為中心對稱圖形，輪片也是半圓形，小紅通過觀察發(fā)現(xiàn)車輪旋轉(zhuǎn)過程中留在半圓ACB內(nèi)的輪片面積是不變的（如圖乙），這個不變的面積值是___________．（甲）（甲）（乙）（1）（2）（第5題）（第8題）6．已知圓錐的側(cè)面展開圖是一個半園，則這個圓錐的母線長與底面半徑長的比是．7．學(xué)生小穎自制一個無底圓錐形紙帽，圓錐底面圓的半徑為，母線長為，那么圍成這個紙帽的面積（不計接縫）是_________（結(jié)果保留三個有效數(shù)字）．8．圖（1）、圖（2）是兩種方法把6根圓形鋼管用鋼絲捆扎的截面圖．設(shè)圖（1）、圖（2）兩種方法捆扎所需鋼絲繩的長度是a、b（不記接頭部分），則a、b的大小關(guān)系為：a________b（填“＜”、“＝”或“＞”）．9．如圖，底面半徑為1，母線長為4的圓錐，一只小螞蟻若從A點出發(fā)，繞側(cè)面一周又回到A點，它爬行的最短路線長是___________．（第10題）（第（第9題）10．如圖，⊙O1的半徑O1A是⊙O2的直徑，⊙O1的半徑Ｏ１Ｃ交⊙Ｏ２于點B，則弧AC和弧AB的長度的大小關(guān)系是．二、選擇題（每題3分，共24分）11．已知正三角形外接圓半徑為，這個正三角形的邊長是（）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．12．等邊三角形的外接圓的面積是內(nèi)切圓面積的（）Ａ．2倍 Ｂ．3倍Ｃ．4倍Ｄ．5倍13．如圖，一塊含有30o角的直角三角形ABC，在水平桌面上繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)到A’B’C’的位置．若BC的長為15cm，那么頂點A從開始到結(jié)束所經(jīng)過的路徑長為（）A．cmB．cmC．cmD．cm14．如圖，的邊長都大于2，分別以它的頂點為圓心，1為半徑畫?。ɑ〉亩它c分別在三角形的相鄰兩邊上），則這三條弧的長的和是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．（第（第13題）（第14題）（第15題）15．如圖，分別以直角△ABC的三邊AB、BC、CA為直徑向外作半圓，設(shè)直線AB左邊陰影部分面積為S1，右邊陰影部分面積為S2，則（）A．S1＝S2B．S1＜S2C．S1＞S2D．無法確定16．將如右圖所示的圓心角為90°的扇形紙片AOB圍成圓錐形紙帽，使扇形的兩條半徑OA與OB重合(接縫粘貼部分忽略不計)，則圍成的圓錐形紙帽是（）OOBA17．如圖，小麗要制作一個圓錐模型，要求圓錐的母線長為9cm，底面圓的直徑為10cm，那么小麗要制作的這個圓錐的側(cè)面展開扇形的紙片的圓心角度數(shù)是（）A．150°B．200°C．180°D．240°18．如圖，在半徑為的圓內(nèi)作一個內(nèi)接正方形，然后作這個正方形的內(nèi)切圓，又在這個內(nèi)切圓中作內(nèi)接正方形，依此作到第個內(nèi)切圓，它的半徑是（）A．B．C．D．AA1ABCDEF2B1C1D1E1F11（第17題）（第18題）（第19題）三、解答題（共46分）19．（8分）右圖的花環(huán)狀圖案中,ABCDEF和A1B1C1D1E1F1都是正六邊形.（1）求證:∠1=∠2；（2）找出一對全等的三角形并給予證明．20．（10分）如圖1、2、3、…、n，M、N分別是⊙O的內(nèi)接正三角形ABC、正方形ABCD、正五邊形ABCDE、…、正n邊形ABCDE…的邊AB、BC上的點，且BM=CN，連結(jié)OM、ON．ACBMACBMNO圖１ABCDOMNE圖3ABCDOMNEFG圖nABCDOMN圖2（1）求圖1中∠MON的度數(shù)；（2）圖2中∠MON的度數(shù)是_________，圖3中∠MON的度數(shù)是_________；（3）試探究∠MON的度數(shù)與正n邊形邊數(shù)n的關(guān)系（直接寫出答案）．21．（10分）如圖1，分別表示邊長為的等邊三角形和正方形，表示直徑為的圓．圖2是選擇基本圖形用尺規(guī)畫出的圖案，．（1）請你從圖1中任意選擇兩種基本圖形，按給定圖形的大小設(shè)計一個新圖案，還要選擇恰當?shù)膱D形部分涂上陰影，并計算陰影的面積；（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留痕跡，作直角時可以使用三角板）（2）請你寫一句在完成本題的過程中感受較深且與數(shù)學(xué)有關(guān)的話．圖圖2圖1Ｐ22．（8分）如圖是兩個半圓，點為大半圓的圓心，是大半圓的弦關(guān)與小半圓相切，且．問：能求出陰影部分的面積嗎？若能，求出此面積；若不能，試說明理由．23．（10分）如圖，這是一個由圓柱體材料加工而成的零件，它是以圓柱體的上底面為底面，在其內(nèi)部“掏取”一個與圓柱體等高的圓錐體而得到的，其底面直徑AB=，高BC=，求這個零件的表面積．（結(jié)果保留）一、填空題1．1202．3．4．5．6．2：17．2518．＝9．