數(shù)學(xué)23歸納法課件蘇教版選修

第2章推理與證明

2.3數(shù)學(xué)歸納法對于某類事物，由它的一些特殊事例或其全部可能情況，歸納出一般結(jié)論的推理方法，叫歸納法。歸納法｛

完全歸納法不完全歸納法由特殊一般特點:a2=a1+da3=a1+2da4=a1+3d……an=a1+(n-1)d如何證明:1+3+5+…+(2n-1)=n2(n∈N*)數(shù)學(xué)歸納法：證明某些與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)題,可用下列方法來證明它們的正確性:(1)驗證當(dāng)n取第一個值n0(例如n0=1)時命題成立,(2)假設(shè)當(dāng)n=k(kN*

，kn0)時命題成立,

證明當(dāng)n=k+1時命題也成立那么命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立。這就是數(shù)學(xué)歸納法公理。驗證n=n0時命題成立若當(dāng)n=k(kn0)時命題成立,

證明當(dāng)n=k+1時命題也成立命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立。(1)第一步，是否可省略？

不可以省略。(2)第二步，從n=k(k≥n0)時命題成立的假設(shè)出發(fā)，推證n=k+1時命題也成立。既然是假設(shè)，為什么還要把它當(dāng)成條件呢？這一步是在第一步的正確性的基礎(chǔ)上，證明傳遞性。想一想所以n=k+1時結(jié)論也成立那么求證1.證明：①當(dāng)n=1時，左邊=1，右邊=1，等式成立。

②假設(shè)n=k(k∈N,k≥1)時等式成立,即：

1+3+5+……+(2k-1)=k2，

當(dāng)n=k+1時：

1+3+5+……+(2k-1)+[2(k+1)-1]=k2+2k+1=(k+1)2，所以當(dāng)n=k+1時等式也成立。

由①和②可知，對n∈N，原等式都成立。例2、用數(shù)學(xué)歸納法證明1+3+5+……+(2n-1)=n2

（n∈N）.請問：第②步中“當(dāng)n=k+1時”的證明可否改換為：1+3+5+……+(2k-1)+[2(k+1)-1]=1+3+5+……+(2k-1)+(2k+1)==(k+1)2?為什么？例3用數(shù)學(xué)歸納法證明

1）第一步應(yīng)做什么？此時n0=

，左=

，2）假設(shè)n=k時命題成立，即

當(dāng)n=k時，等式左邊共有

項，第k項是

。

k

k2思考？1123）當(dāng)n=k+1時，命題的形式是4）此時，左邊增加的項是5)從左到右如何變形？用數(shù)學(xué)歸納法證明證明：（1）當(dāng)n=1時，左邊＝12＝1，右邊＝

等式成立。（2）假設(shè)當(dāng)n=k時，等式成立，就是那么這就是說，當(dāng)n=k+1時等式也成立。根據(jù)（1）和（2），可知等式對任何n∈N＊都成立。例4、求證:(n+1)(n+2)…(n+n)=2n?1?3?…

?(2n-1)證明：①n=1時：左邊=1+1=2，右邊=21?1=2，左邊=右邊，等式成立。②假設(shè)當(dāng)n=k((k∈N）時有：

(k+1)(k+2)…(k+k)=2k?1?3?…?(2n-1),

當(dāng)n=k+1時：左邊=(k+2)(k+3)…(k+k)(k+k+1)(k+k+2)

=(k+1)(k+2)(k+3)…(k+k)?

=2k?1?3?…?(2k-1)(2k+1)?2=2k+1?1?3?…?(2k-1)?[2(k+1)-1]=右邊，∴當(dāng)n=k+1時等式也成立。由①、②可知，對一切n∈N,原等式均成立。

練習(xí)：用數(shù)學(xué)歸納法證明

證明：(1)n=1時，左邊=

那么,(2)假設(shè)n=k（k∈N*)時等式成立，即

右邊=等式成立。即當(dāng)n=k+1時等式也成立。根據(jù)（1）和（2），可知等式對任何n∈N*

都成立。探究：已知數(shù)列設(shè)Sn為數(shù)列前n項和，計算S1,S2,S3,S4,根據(jù)計算結(jié)果，猜想Sn的表達式，并用數(shù)學(xué)歸納法進行證明。解：S1=

S2=S3=S4=

可以看到，上面表示四個結(jié)果的分?jǐn)?shù)中，分子與項數(shù)一致，分母可用項數(shù)n表示為3n+1,可以猜想

平面內(nèi)有n條直線，其中任意兩條不平行，任意三條不共點，設(shè)f(n)為n條直線的交點個數(shù)，求證：f(n)=思考：

成立，那么當(dāng)n=k+1時

f(k+1)=f(k)+k證明：(1)n=1時，f(1)=1(2)假設(shè)n=k時,f(k)=

根據(jù)（1）和（2），可知等式對任何n∈N*

都成立。即當(dāng)n=k+1時，命題成立1.數(shù)學(xué)歸納法是一種證明與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的重要方法.主要有兩個步驟一個結(jié)論:【歸納奠基】（1）證明當(dāng)n