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文檔簡介
第2章推理與證明
2.3數(shù)學歸納法對于某類事物,由它的一些特殊事例或其全部可能情況,歸納出一般結(jié)論的推理方法,叫歸納法。歸納法{
完全歸納法不完全歸納法由特殊一般特點:a2=a1+da3=a1+2da4=a1+3d……an=a1+(n-1)d如何證明:1+3+5+…+(2n-1)=n2(n∈N*)數(shù)學歸納法:證明某些與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學題,可用下列方法來證明它們的正確性:(1)驗證當n取第一個值n0(例如n0=1)時命題成立,(2)假設(shè)當n=k(kN*
,kn0)時命題成立,
證明當n=k+1時命題也成立那么命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立。這就是數(shù)學歸納法公理。驗證n=n0時命題成立若當n=k(kn0)時命題成立,
證明當n=k+1時命題也成立命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立。(1)第一步,是否可省略?
不可以省略。(2)第二步,從n=k(k≥n0)時命題成立的假設(shè)出發(fā),推證n=k+1時命題也成立。既然是假設(shè),為什么還要把它當成條件呢?這一步是在第一步的正確性的基礎(chǔ)上,證明傳遞性。想一想所以n=k+1時結(jié)論也成立那么求證1.證明:①當n=1時,左邊=1,右邊=1,等式成立。
②假設(shè)n=k(k∈N,k≥1)時等式成立,即:
1+3+5+……+(2k-1)=k2,
當n=k+1時:
1+3+5+……+(2k-1)+[2(k+1)-1]=k2+2k+1=(k+1)2,所以當n=k+1時等式也成立。
由①和②可知,對n∈N,原等式都成立。例2、用數(shù)學歸納法證明1+3+5+……+(2n-1)=n2
(n∈N).請問:第②步中“當n=k+1時”的證明可否改換為:1+3+5+……+(2k-1)+[2(k+1)-1]=1+3+5+……+(2k-1)+(2k+1)==(k+1)2?為什么?例3用數(shù)學歸納法證明
1)第一步應(yīng)做什么?此時n0=
,左=
,2)假設(shè)n=k時命題成立,即
當n=k時,等式左邊共有
項,第k項是
。
k
k2思考?1123)當n=k+1時,命題的形式是4)此時,左邊增加的項是5)從左到右如何變形?用數(shù)學歸納法證明證明:(1)當n=1時,左邊=12=1,右邊=
等式成立。(2)假設(shè)當n=k時,等式成立,就是那么這就是說,當n=k+1時等式也成立。根據(jù)(1)和(2),可知等式對任何n∈N*都成立。例4、求證:(n+1)(n+2)…(n+n)=2n?1?3?…
?(2n-1)證明:①n=1時:左邊=1+1=2,右邊=21?1=2,左邊=右邊,等式成立。②假設(shè)當n=k((k∈N)時有:
(k+1)(k+2)…(k+k)=2k?1?3?…?(2n-1),
當n=k+1時:左邊=(k+2)(k+3)…(k+k)(k+k+1)(k+k+2)
=(k+1)(k+2)(k+3)…(k+k)?
=2k?1?3?…?(2k-1)(2k+1)?2=2k+1?1?3?…?(2k-1)?[2(k+1)-1]=右邊,∴當n=k+1時等式也成立。由①、②可知,對一切n∈N,原等式均成立。
練習:用數(shù)學歸納法證明
證明:(1)n=1時,左邊=
那么,(2)假設(shè)n=k(k∈N*)時等式成立,即
右邊=等式成立。即當n=k+1時等式也成立。根據(jù)(1)和(2),可知等式對任何n∈N*
都成立。探究:已知數(shù)列設(shè)Sn為數(shù)列前n項和,計算S1,S2,S3,S4,根據(jù)計算結(jié)果,猜想Sn的表達式,并用數(shù)學歸納法進行證明。解:S1=
S2=S3=S4=
可以看到,上面表示四個結(jié)果的分數(shù)中,分子與項數(shù)一致,分母可用項數(shù)n表示為3n+1,可以猜想
平面內(nèi)有n條直線,其中任意兩條不平行,任意三條不共點,設(shè)f(n)為n條直線的交點個數(shù),求證:f(n)=思考:
成立,那么當n=k+1時
f(k+1)=f(k)+k證明:(1)n=1時,f(1)=1(2)假設(shè)n=k時,f(k)=
根據(jù)(1)和(2),可知等式對任何n∈N*
都成立。即當n=k+1時,命題成立1.數(shù)學歸納法是一種證明與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學命題的重要方法.主要有兩個步驟一個結(jié)論:【歸納奠基】(1)證明當n
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