材料力學I第三章

材料力學I第三章第1頁/共80頁2圓軸扭轉變形動畫第2頁/共80頁3

本章研究桿件發(fā)生除扭轉變形外，其它變形可忽略的情況，并且以圓截面(實心或空心圓截面)桿為主要研究對象。此外，所研究的問題限于桿在線彈性范圍內(nèi)工作的情況。第3頁/共80頁4§3-2薄壁圓筒的扭轉薄壁圓筒——通常指的圓筒

當其兩端面上作用有外力偶矩時，任一橫截面上的內(nèi)力偶矩——扭矩(torque)第4頁/共80頁5薄壁圓筒的扭轉動畫第5頁/共80頁6Ⅰ.薄壁圓筒橫截面上各點處切應力的變化規(guī)律表面變形情況：(1)圓周線只是繞圓筒軸線轉動,形狀及尺寸不變；(2)縱向直線在小變形情況下保持為直線,但發(fā)生傾斜;(3)圓周線之間的距離保持不變。第6頁/共80頁7推論：(1)橫截面保持為形狀、大小未改變的平面，即橫截面如同剛性平面一樣；(2)相鄰橫截面只是繞圓筒軸線相對轉動，橫截面之間的距離未變。第7頁/共80頁8橫截面上的應力：(1)只有與圓周相切的切應力(shearingstress)，且圓周上所有點處的切應力相同；(2)對于薄壁圓筒，可認為切應力沿壁厚均勻分布；(3)橫截面上無正應力。第8頁/共80頁9引進，上式亦可寫作Ⅱ.薄壁圓筒橫截面上切應力的計算公式：由根據(jù)應力分布可知

，于是有(3-1)第9頁/共80頁10Ⅲ.剪切胡克定律(Hooke’slawinshear)(1)上述薄壁圓筒表面上每個格子的直角均改變了g，這種直角改變量稱為切應變(shearingstrain)。(2)該圓筒兩個端面之間繞圓筒軸線相對轉動了j角，這種角位移稱為相對扭轉角。(3)在認為切應力沿壁厚均勻分布的情況下,有由于很小,故可近似為即g=jr0/l(3-2)此處r0為薄壁圓筒的平均半徑。第10頁/共80頁11

薄壁圓筒的扭轉實驗表明：當橫截面上切應力t

不超過材料的剪切比例極限tp時，外力偶矩Me(數(shù)值上等于扭矩T)與相對扭轉角j成線性正比例關系，從而可知t

與g亦成線性關系：

這就是材料的剪切胡克定律，式中的比例系數(shù)G稱為材料的切變模量(shearmodulus)。鋼材的切變模量的約值為：G=80GPa(3-3)第11頁/共80頁12§3-3傳動軸的外力偶矩·扭矩及扭矩圖Ⅰ.傳動軸的外力偶矩

當傳動軸穩(wěn)定轉動時，作用于某一輪上的外力偶在t秒鐘內(nèi)所作功等于外力偶之矩Me乘以輪在t秒鐘內(nèi)的轉角a

。第12頁/共80頁13

因此，外力偶Me每秒鐘所作功，即該輪所傳遞的功率為

因此，在已知傳動軸的轉速n(亦即傳動軸上每個輪的轉速)和主動輪或從動輪所傳遞的功率P之后，即可由下式計算作用于每一輪上的外力偶矩：(3-4)第13頁/共80頁14

主動輪上的外力偶其轉向與傳動軸的轉動方向相同，而從動輪上的外力偶則轉向與傳動軸的轉動方向相反。第14頁/共80頁15Ⅱ.扭矩及扭矩圖

傳動軸橫截面上的扭矩T可利用截面法來計算?？煞抡蛰S力圖的方法繪制扭矩圖第15頁/共80頁16

扭矩圖中扭矩的正負規(guī)定可按其轉向的右手螺旋法則表示：扭矩矢量離開截面在扭矩圖中的取值為正，畫在橫軸的上方;扭矩矢量指向截面為負,畫在橫軸的下方。第16頁/共80頁17

一傳動軸如圖，轉速n=300r/min，轉向如圖所示。主動輪A輸入的功率P1=500kW，三個從動B、C、D輪輸出的功率分別為：P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW。試作軸的扭矩圖。例題3-1第17頁/共80頁181.

計算作用在各輪上的外力偶矩

主動輪上M1的轉向和軸的轉向相同，從動輪上的M2、M3、M4的轉向和軸的轉向相反。例題3-1由(3-4)式可列得第18頁/共80頁192.

計算各段的扭矩BC段內(nèi),扭矩如圖所測：CA段內(nèi)：AD段內(nèi)：例題3-1得負值表明所設方向與實際相方,其轉向的右手螺旋應指向截面第19頁/共80頁203.

作扭矩圖:根據(jù)扭矩的正負規(guī)定和以上結果,畫出扭矩圖如下

由扭矩圖可見，傳動軸的最大扭矩Tmax在CA段內(nèi)，其值為9.56kN·m。例題3-1扭矩矢量離開截面為正，指向截面為負第20頁/共80頁21§3-4等直圓桿扭轉時的應力·強度條件Ⅰ.橫截面上的應力表面變形情況推斷橫截面的變形情況(問題的幾何方面)橫截面上應變的變化規(guī)律應力-應變關系橫截面上應力變化規(guī)律(問題的物理方面)內(nèi)力與應力的關系橫截面上應力的計算公式(問題的靜力學方面)第21頁/共80頁221.表面變形情況：(a)相鄰圓周線繞桿的軸線相對轉動，但它們的大小和形狀未變，小變形情況下它們的間距也未變；(b)縱向線傾斜了一個角度g

。平面假設——等直圓桿受扭轉時橫截面如同剛性平面繞桿的軸線轉動，小變形情況下相鄰橫截面的間距不變。推知：桿的橫截面上只有切應力，且垂直于半徑。(1)幾何方面第22頁/共80頁232.橫截面上一點處()的切應變隨點的位置的變化規(guī)律即bbTTO1O2dj

GG'DD'aadxAEggrrEAO1Ddj

D'G'GO2d/2dxgrgr第23頁/共80頁24

式中——相對扭轉角j

沿桿長的變化率，常用j'

來表示，對于給定的橫截面為常量。

可見，在橫截面的同一半徑

r的圓周上各點處的切應變gr

均相同；gr與r成正比，且發(fā)生在與半徑垂直的平面內(nèi)。bbTTO1O2dj

GG'DD'aadxAEggrr第24頁/共80頁25(2)物理方面由剪切胡克定律t

=Gg

知

可見，在橫截面的同一半徑r

的圓周上各點處的切應力tr

均相同，其值

與r成正比，其方向垂直于半徑。第25頁/共80頁26其中稱為橫截面的極慣性矩Ip(單位:m4)，它是橫截面的幾何性質(zhì)。(3)靜力學方面將前式代入上式(3-6)從而得等直圓桿在線彈性范圍內(nèi)扭轉時，橫截面上任一點()處切應力計算公式以代入上式得：(3-5)第26頁/共80頁27橫截面圓周邊上各點處(r

=r)的最大切應力為(3-6)式中定義

稱為扭轉截面系數(shù)，其單位為m3。(3-7)第27頁/共80頁28(1)實心圓截面Ⅱ.圓截面的極慣性矩Ip和扭轉截面系數(shù)Wp(3-8)(3-9)第28頁/共80頁29(2)空心圓截面(3-10)(3-11)第29頁/共80頁30

以橫截面、徑向截面以及與表面平行的面(切向截面)從受扭的薄壁圓筒或等直圓桿內(nèi)任一點處截取一微小的正六面體——單元體。Ⅲ.單元體·切應力互等定理

由單元體的平衡條件∑Fx=0和∑Mz=0知單元體的上、下兩個平面(即桿的徑向截面上)必有大小相等、指向相反的一對力t'dxdz并組成其矩為(t'dxdz)dy力偶?？傻?3.12)第30頁/共80頁31

即單元體的兩個相互垂直的面上，與該兩個面的交線垂直的切應力t

和t

數(shù)值相等，且均指向(或背離)該兩個面的交線——切應力互等定理。第31頁/共80頁32

現(xiàn)分析單元體內(nèi)垂直于正六面體前、后兩平面的任一斜截面ef(如圖)上的應力。Ⅳ.斜截面上的應力第32頁/共80頁33分離體上作用力的平衡方程為利用t

=t

'，經(jīng)整理得dA第33頁/共80頁34由此可知：(1)單元體的四個側面(a

=0°和a

=90°)上切應力的絕對值最大,正應力為零；(2)a

=-45°和a

=+45°截面上切應力為零，而正應力的絕對值最大；即代入(1)式得(1)(2)第34頁/共80頁35

至于上圖所示單元體內(nèi)不垂直于前、后兩平面的任意斜截面上的應力，經(jīng)類似上面所作的分析可知，也只與單元體四個側面上的切應力相關。因此這種應力狀態(tài)稱為純剪切應力狀態(tài)。第35頁/共80頁36低碳鋼扭轉試驗演示第36頁/共80頁37低碳鋼扭轉破壞斷口第37頁/共80頁38鑄鐵扭轉破壞試驗演示第38頁/共80頁39鑄鐵扭轉破壞斷口第39頁/共80頁40

直徑為d1的實心圓軸Ⅰ(圖a)和內(nèi)、外直徑分別為d2和D2，a＝d2/D2=0.8的空心圓軸Ⅱ(圖b),兩軸的長度、材料、扭矩分別相同。試求兩種圓軸在橫截面上最大切應力相等的情況下，D2與d1之比以及兩軸的重量比。例題3-2第40頁/共80頁411.分別求兩軸的最大切應力例題3-2代入(3-7)得(1)(2)第41頁/共80頁422.求D2/d1和二軸重量之比。由t1,max=t2,max，比較(1)、(2)式并將a

＝0.8代入得因為兩軸的長度l和材料密度r分別相同，所以兩軸的重量比即為其橫截面面積之比例題3-2第42頁/共80頁43

切應力的分布規(guī)律如圖c、d所示，當tmax＝[t]時，實心軸圓心附近的切應力還很小，這部分材料沒有充分發(fā)揮作用，空心軸可以提高材料的利用率。所以空心軸的重量比實心軸輕。但應注意過薄的圓筒受扭時容易發(fā)生皺折，還要注意加上成本和構造上的要求等因素。zmaxd1(c)tmaxD2d2(d)例題3-2第43頁/共80頁44Ⅴ.強度條件此處[t]為材料的許用切應力。對于等直圓軸代入（3-7)式亦即

鑄鐵等脆性材料制成的等直圓桿扭轉時雖沿斜截面因拉伸而發(fā)生脆性斷裂，但因斜截面上的拉應力與橫截面上的切應力有固定關系，故仍可以切應力和許用切應力來表達強度條件。(3.13)(3.14)第44頁/共80頁45

圖示階梯狀圓軸，AB段直徑d1=120mm，BC段直徑d2=100mm。扭轉力偶矩MA=22kN·m，MB=36kN·m，MC=14kN·m，材料的許用切應力[t]=80MPa。試校核該軸的強度。例題3-4第45頁/共80頁461.

繪扭矩圖例題3-4解：第46頁/共80頁47AB段內(nèi)2.分別求每段軸橫截面上的最大切應力例題3-4第47頁/共80頁48BC段內(nèi)2.求每段軸的橫截面上的最大切應力例題3-4第48頁/共80頁493.

校核強度

t2,max>t1,max'且有t2,max<[t]=80MPa，故該軸滿足強度條件。例題3-4

階梯狀圓軸，其，必須綜合考慮扭矩和Wp兩個因素，AB段的扭矩大，直徑d1也大，BC段的扭矩小，直徑也小，必須分別計算兩段軸的tmax，經(jīng)比較后才能確定tmax。第49頁/共80頁50例題3-4

注意：階梯狀圓軸在兩段連接處有應力集中現(xiàn)象，在以上計算中對此并未考慮。第50頁/共80頁51§3-5等直圓桿扭轉時的變形·剛度條件Ⅰ.扭轉時的變形

等直圓桿的扭轉變形可用兩個橫截面的相對扭轉角(相對角位移)

j

來度量。MeADBCMejg第51頁/共80頁52

由前已得到的扭轉角沿桿長的變化率(3-5)式(亦稱單位長度扭轉角)為可知，桿的相距l(xiāng)的兩橫截面之間的相對扭轉角j為

當?shù)戎眻A桿相距l(xiāng)的兩橫截面之間，扭矩T及材料的切變模量G為常量時有(3-15)的單位為rad,其正負號隨扭矩T而定.由上式知扭轉角與成反比,故稱為等直圓桿的扭轉剛度.第52頁/共80頁53

圖示鋼制實心圓截面軸，已知：M1=1592N·m，M2=955N·m，M3=637N·m，lAB=300mm，lAC=500mm，d=70mm，鋼的切變模量G=80GPa。試求橫截面C相對于B的扭轉角jBC。(a)例題3-5第53頁/共80頁541.

用截面法求出I、II兩段軸內(nèi)的扭矩分別為(a)例題3-5解：第54頁/共80頁55(a)2.

分別計算B、C截面相對于A截面的扭轉jAB、jAC，設A截面固定不動：jAB、jAC的轉向如圖a所示。例題3-5由(3-15)式可列出第55頁/共80頁56(a)3.

C截面相對于B截面的扭轉角為設B固定不動，jBC的轉向與M3相同。例題3-5第56頁/共80頁57Ⅱ.剛度條件式中的許可單位長度扭轉角[j‘]的常用單位是(°)/m。此時，等直圓桿在扭轉時的剛度條件表示為(即將(3-5)式代入上式)：對于精密機器的軸[j‘]≈0.15~0.30(°)/m；對于一般的傳動軸[j']≈2(°)/m。(°)(°)(3.17)(3.18)第57頁/共80頁58

由45號鋼制成的某空心圓截面軸，內(nèi)、外直徑之比a

=0.5。已知材料的許用切應力[t

]=40MPa，切變模量G=80GPa。軸的最大扭矩Tmax=9.56kN·m，許可單位長度扭轉角[j']=0.3(°)/m。試選擇軸的直徑。例題3-6第58頁/共80頁591.按強度條件求所需外直徑D例題3-6解：第59頁/共80頁602.按剛度條件求所需外直徑D例題3-6第60頁/共80頁613.空心圓截面軸所需外直徑為D≥125.5mm(由剛度條件控制)，內(nèi)直徑則根據(jù)a

=d/D=0.5知例題3-6第61頁/共80頁62§3-6等直圓桿扭轉時的應變能

純剪切應力狀態(tài)下的應變能密度

對處于純剪切應力狀態(tài)的單元體(圖a)，為計算其上的外力所作功dW可使左側面不動，此時的切應力t僅發(fā)生在豎直平面內(nèi)而只有右側面上的外力tdydz在相應的位移gdx上作功。第62頁/共80頁63于是，當材料在線彈性范圍內(nèi)工作時(t

≤tp，見圖b)，有第63頁/共80頁64由剪切胡克定律t=Gg，該應變能密度的表達式可寫為

單元體內(nèi)蓄積的應變能dVe數(shù)值上等于單元體上外力所作功dW，即dVe=dW

。單元體單位體積內(nèi)的應變能，亦即純剪切應力狀態(tài)下的應變能密度為(3-19)第64頁/共80頁65等直圓桿在扭轉時積蓄的應變能(3-20)

在扭矩T為常量時，長度為l的等直圓桿所蓄積的應變能為由可知，亦有(3-21a)(3-21c)第65頁/共80頁66

當?shù)戎眻A桿各段橫截面上的扭矩不同時，整個桿內(nèi)蓄積的應變能為

在線彈性范圍內(nèi)工作的等直圓桿在扭矩T為常量，其長度為l范圍內(nèi)的應變能亦可如下求得：結果與前頁用應變能密度積分得的結果相同.第66頁/共80頁67

試推導密圈圓柱螺旋彈簧(螺旋線升角a

<

5°)受軸向壓力(拉力)F作用時，簧桿橫截面上應力和彈簧縮短(伸長)變形的近似計算公式。已知：簧圈平均半徑R，簧桿直徑d，彈簧的有效圈數(shù)n，簧桿材料的切變模量G。設d<<(2R)。例題3-7第67頁/共80頁681.用截面法求簧桿橫截面上的內(nèi)力

對于密圈螺旋彈簧可近似認為螺旋線升角a≈0o，簧桿的橫截面就在外力F作用的彈簧軸線所在縱向平面內(nèi)，由圖b所示的分離體的平衡方程得剪力

FS=F扭矩

T=FR(b)例題3-7解：第68頁/共80頁692.求簧桿橫截面上的應力

簧桿橫截面上與剪力FS相應的切應力通常遠小于與扭矩T相應的切應力，故在求近似解時將前者略去。因為d<<(2R)，故在求簧桿橫截面上扭轉切應力時，略去簧圈的曲率影響，按直桿公式計算。于是有例題3-7Rd第69頁/共80頁703.求彈簧的縮短(伸長)變形D

當彈簧所受外力F不超過一定限度時變形D與外力F成線性關系(如圖c)。于是外力所作的功為(c)例題3-7第70頁/共80頁71

不計FS的影響，并忽略簧桿的曲率，簧桿內(nèi)的應變能Ve為(用(3-21a)的直桿公式):式中l(wèi)=2pRn，表示簧桿軸線的全長，Ip為簧桿橫截面的極慣性矩。根據(jù)能量守恒原理W=，即如令，則有，式中k為彈簧的剛度系數(shù)(N/m)。例題3-7第71頁/共80頁72

以上分析中，不計螺旋線升角產(chǎn)生的切應力和應變能，并用直桿公式計算扭轉切應力和應變能，由此得到的和均比實際值偏小。例題3-7第72頁/共80頁73§