甘肅省民勤縣第三中學(xué)2023年高三第四次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿(mǎn)、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z=i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z，將向量繞原點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，所得向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是（）A． B． C． D．2．已知，，，則的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．3．已知集合，集合，則等于（）A． B．C． D．4．胡夫金字塔是底面為正方形的錐體，四個(gè)側(cè)面都是相同的等腰三角形．研究發(fā)現(xiàn)，該金字塔底面周長(zhǎng)除以倍的塔高，恰好為祖沖之發(fā)現(xiàn)的密率．設(shè)胡夫金字塔的高為，假如對(duì)胡夫金字塔進(jìn)行亮化，沿其側(cè)棱和底邊布設(shè)單條燈帶，則需要燈帶的總長(zhǎng)度約為A． B．C． D．5．在原點(diǎn)附近的部分圖象大概是（）A． B．C． D．6．函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．7．已知若（1-ai）(3+2i)為純虛數(shù)，則a的值為（）A． B． C． D．8．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（）A．45 B．42 C．25 D．369．已知中，角、所對(duì)的邊分別是，，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．既不充分也不必要條件 D．充分必要條件10．已知函數(shù)且的圖象恒過(guò)定點(diǎn)，則函數(shù)圖象以點(diǎn)為對(duì)稱(chēng)中心的充要條件是()A． B．C． D．11．已知集合的所有三個(gè)元素的子集記為．記為集合中的最大元素，則（）A． B． C． D．12．一個(gè)算法的程序框圖如圖所示，若該程序輸出的結(jié)果是，則判斷框中應(yīng)填入的條件是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)函數(shù)，則______.14．函數(shù)的最大值與最小正周期相同，則在上的單調(diào)遞增區(qū)間為_(kāi)_____.15．已知向量，，若，則實(shí)數(shù)______.16．已知，是互相垂直的單位向量，若與λ的夾角為60°，則實(shí)數(shù)λ的值是__．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在三棱錐S-ABC中，∠BAC=∠SBA=∠SCA=90°,∠SAB=45°,∠SAC=60°,D為棱AB的中點(diǎn)，SA=2(I)證明：SD⊥BC；(II)求直線SD與平面SBC所成角的正弦值.18．（12分）已知函數(shù)，函數(shù)在點(diǎn)處的切線斜率為0.（1）試用含有的式子表示，并討論的單調(diào)性；（2）對(duì)于函數(shù)圖象上的不同兩點(diǎn)，，如果在函數(shù)圖象上存在點(diǎn)，使得在點(diǎn)處的切線，則稱(chēng)存在“跟隨切線”.特別地，當(dāng)時(shí)，又稱(chēng)存在“中值跟隨切線”.試問(wèn)：函數(shù)上是否存在兩點(diǎn)使得它存在“中值跟隨切線”，若存在，求出的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由.19．（12分）如圖所示，四棱柱中，底面為梯形，，，，，，.（1）求證：；（2）若平面平面，求二面角的余弦值.20．（12分）在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）寫(xiě)出直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)直線與曲線相交于兩點(diǎn)，的頂點(diǎn)也在曲線上運(yùn)動(dòng)，求面積的最大值.21．（12分）如圖是圓的直徑，垂直于圓所在的平面，為圓周上不同于的任意一點(diǎn)（1）求證：平面平面；（2）設(shè)為的中點(diǎn)，為上的動(dòng)點(diǎn)（不與重合）求二面角的正切值的最小值22．（10分）設(shè)數(shù)陣，其中、、、．設(shè)，其中，且．定義變換為“對(duì)于數(shù)陣的每一行，若其中有或，則將這一行中每個(gè)數(shù)都乘以；若其中沒(méi)有且沒(méi)有，則這一行中所有數(shù)均保持不變”（、、、）．表示“將經(jīng)過(guò)變換得到，再將經(jīng)過(guò)變換得到、，以此類(lèi)推，最后將經(jīng)過(guò)變換得到”，記數(shù)陣中四個(gè)數(shù)的和為．（1）若，寫(xiě)出經(jīng)過(guò)變換后得到的數(shù)陣；（2）若，，求的值；（3）對(duì)任意確定的一個(gè)數(shù)陣，證明：的所有可能取值的和不超過(guò)．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

由復(fù)數(shù)z求得點(diǎn)Z的坐標(biāo)，得到向量的坐標(biāo)，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到向量的坐標(biāo)，則對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)可求.【詳解】解：∵復(fù)數(shù)z=i（i為虛數(shù)單位）在復(fù)平面中對(duì)應(yīng)點(diǎn)Z（0，1），

∴＝(0，1)，將繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，

設(shè)＝(a，b)，，則，即，

又，解得：，∴，對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎(chǔ)題.2、A【解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，借助特殊值即可比較大小.【詳解】因?yàn)?，所?因?yàn)?，所以，因?yàn)?，為增函?shù)，所以所以，故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性比較大小，屬于中檔題.3、B【解析】

求出中不等式的解集確定出集合，之后求得.【詳解】由，所以，故選：B.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)集合的運(yùn)算的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有一元二次不等式的解法，集合的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題目.4、D【解析】

設(shè)胡夫金字塔的底面邊長(zhǎng)為，由題可得，所以，該金字塔的側(cè)棱長(zhǎng)為，所以需要燈帶的總長(zhǎng)度約為，故選D．5、A【解析】

分析函數(shù)的奇偶性，以及該函數(shù)在區(qū)間上的函數(shù)值符號(hào)，結(jié)合排除法可得出正確選項(xiàng).【詳解】令，可得，即函數(shù)的定義域?yàn)?，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，，則函數(shù)為奇函數(shù)，排除C、D選項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，，，則，排除B選項(xiàng).故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)解析式選擇函數(shù)圖象，一般要分析函數(shù)的定義域、奇偶性、單調(diào)性、零點(diǎn)以及函數(shù)值符號(hào)，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于中等題.6、C【解析】

顯然函數(shù)在區(qū)間內(nèi)連續(xù),由的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi),則,即可求解.【詳解】由題,顯然函數(shù)在區(qū)間內(nèi)連續(xù),因?yàn)榈囊粋€(gè)零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi),所以,即,解得,故選:C【點(diǎn)睛】本題考查零點(diǎn)存在性定理的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.7、A【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則化簡(jiǎn)可得，根據(jù)純虛數(shù)的概念可得結(jié)果.【詳解】由題可知原式為，該復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，所以.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算和復(fù)數(shù)的分類(lèi)，屬基礎(chǔ)題.8、D【解析】

由等差數(shù)列的性質(zhì)可知,進(jìn)而代入等差數(shù)列的前項(xiàng)和的公式即可.【詳解】由題,.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì),考查等差數(shù)列的前項(xiàng)和.9、D【解析】

由大邊對(duì)大角定理結(jié)合充分條件和必要條件的定義判斷即可.【詳解】中，角、所對(duì)的邊分別是、，由大邊對(duì)大角定理知“”“”，“”“”.因此，“”是“”的充分必要條件.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查充分條件、必要條件的判斷，考查三角形的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查邏輯推理能力，是基礎(chǔ)題．10、A【解析】

由題可得出的坐標(biāo)為，再利用點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，即可求出和.【詳解】根據(jù)題意，，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，又，所以.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)函數(shù)過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題和函數(shù)對(duì)稱(chēng)性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.11、B【解析】

分類(lèi)討論，分別求出最大元素為3,4,5,6的三個(gè)元素子集的個(gè)數(shù)，即可得解.【詳解】集合含有個(gè)元素的子集共有，所以．在集合中：最大元素為的集合有個(gè)；最大元素為的集合有；最大元素為的集合有；最大元素為的集合有；所以．故選：．【點(diǎn)睛】此題考查集合相關(guān)的新定義問(wèn)題，其本質(zhì)在于弄清計(jì)數(shù)原理，分類(lèi)討論，分別求解.12、D【解析】

首先判斷循環(huán)結(jié)構(gòu)類(lèi)型，得到判斷框內(nèi)的語(yǔ)句性質(zhì)，然后對(duì)循環(huán)體進(jìn)行分析，找出循環(huán)規(guī)律，判斷輸出結(jié)果與循環(huán)次數(shù)以及的關(guān)系，最終得出選項(xiàng)．【詳解】經(jīng)判斷此循環(huán)為“直到型”結(jié)構(gòu)，判斷框?yàn)樘鲅h(huán)的語(yǔ)句，第一次循環(huán)：；第二次循環(huán)：；第三次循環(huán)：，此時(shí)退出循環(huán)，根據(jù)判斷框內(nèi)為跳出循環(huán)的語(yǔ)句，，故選D．【點(diǎn)睛】題主要考查程序框圖的循環(huán)結(jié)構(gòu)流程圖，屬于中檔題．解決程序框圖問(wèn)題時(shí)一定注意以下幾點(diǎn)：(1)不要混淆處理框和輸入框；(2)注意區(qū)分程序框圖是條件分支結(jié)構(gòu)還是循環(huán)結(jié)構(gòu)；(3)注意區(qū)分當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)和直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)；(4)處理循環(huán)結(jié)構(gòu)的問(wèn)題時(shí)一定要正確控制循環(huán)次數(shù)；(5)要注意各個(gè)框的順序，（6）在給出程序框圖求解輸出結(jié)果的試題中只要按照程序框圖規(guī)定的運(yùn)算方法逐次計(jì)算，直到達(dá)到輸出條件即可．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

由自變量所在定義域范圍，代入對(duì)應(yīng)解析式，再由對(duì)數(shù)加減法運(yùn)算法則與對(duì)數(shù)恒等式關(guān)系分別求值再相加，即為答案.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，則因?yàn)椋瑒t故故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)求值，屬于簡(jiǎn)單題.14、【解析】

利用三角函數(shù)的輔助角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，求出函數(shù)的解析式，結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可．【詳解】∵，則函數(shù)的最大值為2，周期，的最大值與最小正周期相同，，得，則，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，得，即函數(shù)在，上的單調(diào)遞增區(qū)間為，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)、單調(diào)區(qū)間，利用輔助角公式求出函數(shù)的解析式是解決本題的關(guān)鍵，同時(shí)要注意單調(diào)區(qū)間為定義域的一個(gè)子區(qū)間．15、-2【解析】

根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算可求得，根據(jù)平行關(guān)系可構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】由題意得：，解得：本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，關(guān)鍵是能夠利用平行關(guān)系構(gòu)造出方程.16、【解析】

根據(jù)平面向量的數(shù)量積運(yùn)算與單位向量的定義，列出方程解方程即可求出λ的值．【詳解】解：由題意，設(shè)（1，0），（0，1），則（，﹣1），λ（1，λ）；又夾角為60°，∴（）?（λ）λ＝2cos60°，即λ，解得λ．【點(diǎn)睛】本題考查了單位向量和平面向量數(shù)量積的運(yùn)算問(wèn)題，是中檔題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(I)證明見(jiàn)解析；(II)1【解析】

(I)過(guò)D作DE⊥BC于E，連接SE，根據(jù)勾股定理得到SE⊥BC，DE⊥BC得到BC⊥平面SED，得到證明.(II)過(guò)點(diǎn)D作DF⊥SE于F，證明DF⊥平面SBC，故∠ESD為直線SD與平面SBC所成角，計(jì)算夾角得到答案.【詳解】(I)過(guò)D作DE⊥BC于E，連接SE，根據(jù)角度的垂直關(guān)系易知：AC=1，AB=SB=2，CS=CB=3，故DE=BDsin∠CBD=6根據(jù)余弦定理：13+SE2-2故SE⊥BC，DE⊥BC，SE∩DE=E，故BC⊥平面SED，SD?平面SED，故SD⊥BC.(II)過(guò)點(diǎn)D作DF⊥SE于F，BC⊥平面SED，DF?平面SED，故DF⊥BC，DF⊥SE，BC∩SE=E，故DF⊥平面SBC，故∠ESD為直線SD與平面SBC所成角，SD2=S故sin∠ESD=【點(diǎn)睛】本題考查了線線垂直，線面夾角，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.18、（1），單調(diào)性見(jiàn)解析；（2）不存在，理由見(jiàn)解析【解析】

（1）由題意得，即可得；求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)、、、分類(lèi)討論，分別求出、的解集即可得解；（2）假設(shè)滿(mǎn)足條件的、存在，不妨設(shè)，且，由題意得可得，令（），構(gòu)造函數(shù)（），求導(dǎo)后證明即可得解.【詳解】（1）由題可得函數(shù)的定義域?yàn)榍?，由，整理?.（?。┊?dāng)時(shí)，易知，，時(shí).故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（ⅱ）當(dāng)時(shí)，令，解得或，則①當(dāng)，即時(shí)，在上恒成立，則在上遞增.②當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以在上單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增.③當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以在上單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增.綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，在及上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，在上遞增.當(dāng)時(shí)，在及上單調(diào)遞增；在上遞減.（2）滿(mǎn)足條件的、不存在，理由如下：假設(shè)滿(mǎn)足條件的、存在，不妨設(shè)，且，則，又，由題可知，整理可得：，令（），構(gòu)造函數(shù)（）.則，所以在上單調(diào)遞增，從而，所以方程無(wú)解，即無(wú)解.綜上，滿(mǎn)足條件的A、B不存在.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化化歸思想，屬于中檔題.19、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】

（1）取中點(diǎn)為，連接，，，，根據(jù)線段關(guān)系可證明為等邊三角形，即可得；由為等邊三角形，可得，從而由線面垂直判斷定理可證明平面，即可證明.（2）以為原點(diǎn)，，，為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，并求得平面和平面的法向量，即可由法向量法求得二面角的余弦值.【詳解】（1）證明：取中點(diǎn)為，連接，，，如下圖所示：因?yàn)椋?，，所以，故為等邊三角形，則.連接，因?yàn)?，，所以為等邊三角形，則.又，所以平面.因?yàn)槠矫?，所?（2）由（1）知，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面，所以平面，以為原點(diǎn)，，，為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，易求，則，，，，則，，.設(shè)平面的法向量，則即令，則，，故.設(shè)平面的法向量，則則令，則，，故，所以.由圖可知，二面角為鈍二面角角，所以二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直的判定，由線面垂直判定線線垂直，由空間向量法求平面與平面形成二面角的大小，屬于中檔題.20、（1）：，：；（2）【解析】

（1）由直線參數(shù)方程消去參數(shù)即可得直線的普通方程，根據(jù)極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程互化的公式即可得曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）由即可得的底，由點(diǎn)到直線的距離的最大值為即可得高的最大值，即可得解.【詳解】（1）由消去參數(shù)得直線的普通方程為，由得，曲線的直角坐標(biāo)方程為；（2）曲線即，圓心到直線的距離，所以，又點(diǎn)到直線的距離的最大值為，所以面積的最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查了參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程的互化，考查了直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題.21、（1）見(jiàn)解析（2）【解析】

（1）推導(dǎo)出，，從而平面，由面面垂直的判定定理即可得證．（2）過(guò)作，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間坐標(biāo)系，設(shè)，利用空間向量法表示出二面角的余弦值，當(dāng)余弦值取得最大時(shí)，正切值求得最小值；【詳解】（