2021年上海高考數(shù)學(xué)沖刺直通車03函數(shù)（專練）（教師版）

考點(diǎn)03函數(shù)

考點(diǎn)練

一、單選題

1.（2020?上海高三專題練習(xí)）設(shè)[x]表示不大于x的最大整數(shù)，則對任意實(shí)數(shù)x,y,有（）

A.[-x]=-[x]B.[2x]=2[x]

C.[x+y]<[x]+[yjD.[x-y]<[x]-lyj

【答案】D

【解析】取x=2.5,則[一幻=[-2.5]=-3,-團(tuán)=一[2.5]=-2,所以A項(xiàng)錯誤;

[2x]=[5]=5,2M=2[2.5]=4,所以B項(xiàng)錯誤；再取y=2.8,則

[x+y]=[5.3]=5,[劃+[訓(xùn)=[2.5]+[2.8]=2+2=4,所以C項(xiàng)錯誤.

【考點(diǎn)定位】本題考查取整函數(shù)（即高斯函數(shù)），分段函數(shù)思想.屬于難題.

2.（2020?上海高三專題練習(xí)）定義在R上的函數(shù)/（X）既是奇函數(shù)，又是周期函數(shù)，7是它的一個(gè)正周期.

若將方程/（幻=0在閉區(qū)間[-7;7']上的根的個(gè)數(shù)記為“，則”可能為

A.0B.1C.3D.5

【答案】D

【解析】定義在R匕的函數(shù)/（x）是奇函數(shù)，/（0）=0,乂是周期函數(shù)，7是它的一個(gè)正周期，

:.于6=f(-T)=0,/(-1)=-/(1)=/(-1+T)/(-y)=/(y)=0,則〃可能為5,

選D.

3.(2020?上海高三專題練習(xí))函數(shù)f(x)=一^(xeR)的值域是()

1+x

A.(0,1)B.(0,1]C.[0,1)D.[0,1]

【答案】B

【分析】本題首先可令『=1+一，然后將函數(shù)轉(zhuǎn)化為y=L最后利用反比例函數(shù)性質(zhì)得出

當(dāng)fe[1,+8)時(shí)函數(shù)y=；的值域，即可得出結(jié)果.

【詳解】令/=1+/，則f?l,+oo),

因?yàn)楹瘮?shù)y在[1,+8)上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)fe1,+8)時(shí)函數(shù)y=；的值域?yàn)?0,1],

則函數(shù)/⑴=乙，(xeR)值域?yàn)?0,1],

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)值域的求法，考查通過換元法求函數(shù)值域，考查反比例函數(shù)的性質(zhì)，考查推理能力，

是簡單題.

二、填空題

4.(2020.上海高三專題練習(xí))設(shè)函數(shù)/U)=ln(l+|x|)——二，則使得<x)>/(2x—1)成立的x的取值范圍是

\+x

【答案】加

【分析】判斷了(X)的奇偶性和單調(diào)性，據(jù)此等價(jià)轉(zhuǎn)化不等式，則問題得解.

【詳解】由yu)=ln(l+|x|)—；~^=ln(l+|-x|)-\2=/(_x),

\+x1+(—x)

艮其定義域?yàn)镽，故次X)為H上的偶函數(shù)，

于是危)>>(2L1)即為/|x|)>XI2x-l|).

當(dāng)x20時(shí)，/(x)=ln(l+x)----二，

1+x

y=ln(x+l),y=-1*在[(),”)均是單調(diào)增函數(shù)，

所以7U)為[0，+8)上的增函數(shù)，

則由?國)>川2r-1|)得國>|2r-l|,

兩邊平方得3/—4x+l<0,解得

3

故答案為：(-3j

【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷，涉及利用函數(shù)性質(zhì)解不等式，屬綜合基礎(chǔ)題.

5.(2020?上海高三專題練習(xí))已知丁=/(幻+%2是奇函數(shù)，且/(1)=1,若g(x)=/(x)+2,則

g(T)=一?

【答案】-1

試題解析：因?yàn)閥=，(x)+f是奇函數(shù)且/⑴=1,所以f(1)+1=2,

則所以g(-l)=f(-l)+2=-3+2=-l.

考點(diǎn)：函數(shù)的奇偶性.

6.(2020?上海高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=x|x|+px+q(xeR),給出下列四個(gè)命題：(1)/(幻為奇

函數(shù)的充要條件是4=0；(2)/(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(0國)對稱；(3)當(dāng)p=0時(shí)，方程/(幻=0的解集一定

非空；(4)方程/(x)=0的解的個(gè)數(shù)一定不超過兩個(gè).其中所有正確命題的序號是.

【答案】⑴(2)(3)

【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性性質(zhì)，中心對稱，函數(shù)零點(diǎn)性質(zhì)，依次判斷每個(gè)選項(xiàng)得到答案.

【詳解】若函數(shù)為奇函數(shù)，則/(-x)=-x|x|—px+4=-/(x)=-x|x|-px-q,即q=0,

若4=0,則/(-x)=-x|x|-px=-/(x),函數(shù)為奇函數(shù)，故(1)正確；

/(x)+/(-%)=x\x\+px+q-x\x\-px+q=2q,故函數(shù)關(guān)于(0國)對稱，(2)正確；

尢2x>0

p=0時(shí)，/(x)=x|%|+<7=0,即x|x|=-q,函數(shù)y=x|x|=4'一的值域?yàn)镽,故(3)正確；

[-X,x<0

取p=-2,q=0,則/(x)=x|x|-2x=0,則％=0,12=2,七=一2,(4)錯誤.

故答案為：(I)(2)(3).

【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的奇偶性，充要條件，函數(shù)的中心對稱，對應(yīng)方程的解，意在考查學(xué)生的計(jì)算能

力和綜合應(yīng)用能力.

三、解答題

7.(2020?上海高三專題練習(xí))已知函數(shù)f(x)=lg(x+l).

(1)若(Xf(l-2x)-f(x)<l,求實(shí)數(shù)x的取值范圍；

(2)若g(x)是以2為周期的偶函數(shù)，且當(dāng)00x01時(shí),有g(shù)(x)=f(x),當(dāng)xG[1,2]時(shí),求函數(shù)y=g(x)的解析式.

[答案](2)y=lg(3—x)

【分析】(1)先求出對數(shù)函數(shù)的定義域，由對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)有

/(I-2x)-f(x)=lg((2-2x)-lg(x+1)=1g,則0<lg二臺<1,再根據(jù)對數(shù)函數(shù)的圖象分析可

X+lX+1

2-2%

得1<一二<10,從而可得方的取值范圍;(2)根據(jù)題意，由函數(shù)的奇偶性與周期性分析可得

y=g(x)=g(x—2)=g(2-x)=f(2-x),代入函數(shù)的解析式即可得答案.

[2-2x>0,

【詳解】⑴由得一l〈x<L

lx+l>0,

9—9v

由0<lg(2-2x)-lg(x+l)=lg—<b

x+1

得2—2x因?yàn)閤+l>0,所以x+l<2-2x<10x+10,解得一2:x<1《.

x+133

由卜沁泮』91.

(2)當(dāng)xG[1,2]時(shí),2—xS[0,1],因此y=g(x)=g(x—2)=g(2—x)=f(2—x)=lg(3—x).

【點(diǎn)睛】本題考查對數(shù)函數(shù)的圖象以及對數(shù)不等式的解法，以及根據(jù)函數(shù)周期性與奇偶性求函數(shù)的解析式.

已知當(dāng)%>加時(shí)，函數(shù)y=/(x),則當(dāng)％<加時(shí)，求函數(shù)的解析式，有如下結(jié)論：若函數(shù)為偶函數(shù)，

則當(dāng)％<帆時(shí)，函數(shù)的解析式為y=-/(x)；若函數(shù)八幻為奇函數(shù)，則函數(shù)的解析式為y=-/(T)

8.(2020.上海高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=log3號詈1的定義域?yàn)镽，值域?yàn)閇0,2],求，"，"的值.

【答案】m=n=5

試題分析：由/'(%)=log?吟詈二得3F=吧?：：+二B|J(3>-m)-x2-8x+3>,-n=0

,?*xeJ?,.-.21=64-4(3>,-m)(3>--n)>0,BP32>'-(m+n)-3>,+mn-16<0

由0=”2,得1=3"9,由根與系數(shù)的關(guān)系得{黑解得m=”=5

考點(diǎn)：本題主要考查對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，復(fù)合函數(shù).

【點(diǎn)睛】點(diǎn)評：己知函數(shù)定義域、值域，求參數(shù)問題，往往從求值域方法入手.

9.(2020?上海高三專題練習(xí))(1)已知集合4={田丁=彳2-,

5={yly=-》2+2x+15,xw/?},求AB；

(2)已知集合M=卜羽>)|丁=/-2x-l,xwR},N=kx,y)|y=-x2+2x+15,xwR},求.McN.

【答案】(1)AnB=[-2,16](2)MnTV={(4,7),(-2,7)}

【分析】(1)根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，得到,=%2一2%—1的值域，求出集合4,同理求得集合B，再求交

集，即可得出結(jié)果；

y=J_2x_1,

(2)聯(lián)立9求解，即可得出結(jié)果.

y——廠+2x+15,

【詳解】(1)A={y|y=F-2x—l,xeR},表示y=f一2%一1的值域.

由y=x?—2,x—1>—2>解得A=[-2,+oo)；

又y=—x2+2x+i5=-(x-l1+16<16,所以B=(-oo,16L

所以AcB=[-2,16].

(2)加={。,刈尸/一2》一1,%€/?}表示拋物線》=%2-2%—1上的點(diǎn)集，因此McN表示同時(shí)在

曲線y=f一2%-1與y=—V+2x+15上的點(diǎn)集，解方程組

y=x2-2x-l,

y=-r+2x+15,

x=4,x=-2,

得《或《

y=7If

所以McN={(4,7),(—2,7)}.

【點(diǎn)睛】本題主要考查求集合的交集，熟記交集的定義，以及集合的表示法即可，屬于?？碱}型.

bx4-c1I

10.（2020.上海高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)/（%）=—5~；（a,仇ceZ）為奇函數(shù)，又/（1）=一，/（2）>-,且

ax+123

“X）在口,一）上遞減.

（1）求a,h,c的值；

（2）當(dāng)x<0時(shí)，討論f（x）的單調(diào)性.

【答案】（1）a=l.h=\,c=0（2）f（x）在單調(diào)遞增，在（一8,—1）單調(diào)遞減

【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)結(jié)合函數(shù)值計(jì)算得到答案.

（2）變換/（“）=—T,根據(jù)雙勾函數(shù)性質(zhì)得到答案.

XH—

X

【詳解】

(1)由/(X)為奇函數(shù)，/(0)=c=0,又"1)="-=L得a+l=2A,

a+\2

由/(2)=——得一一<a<2,；.a=l,b=\.

4n+l34

根據(jù)雙勾函數(shù)性質(zhì)知y=x+：在［一1,0）單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，旦y<0,

故/（X）在［-1,0）單調(diào)遞增，在（T?,—1）單調(diào)遞減.

【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)奇偶性求參數(shù)，確定函數(shù)單調(diào)性，意在考查學(xué)生對于函數(shù)性質(zhì)的靈活運(yùn)用.

>一次函數(shù)與二次函數(shù)

一、單選題

1.（2020?上海高三專題練習(xí)）函數(shù)危）="+bx+c（存0）的圖象關(guān)于直線x=一/對稱.據(jù)此可推測，對任

意的非零實(shí)數(shù)a,b,c,m,/?,p,關(guān)于x的方程加［/U）］2+川（x）+p=0的解集都不可能是（）

A.{1,2}B.{1,4}

C.{1,2,3,4}D.{1,4,16,64}

【答案】D

【分析】方程時(shí)+，琰(x)+〃=0不同的解的個(gè)數(shù)可為0.1,23,4.若有4個(gè)不同解，則可根據(jù)二次函數(shù)

的圖像的對稱性知道4個(gè)不同的解中，有兩個(gè)的解的和與余下兩個(gè)解的和相等，故可得正確的選項(xiàng).

【詳解】設(shè)關(guān)于/(力的方程對2(x)+W(x)+〃=O有兩根，即〃力=4或/?(司=1

而〃￡)=加+云+c的圖象關(guān)于x=對稱，因而〃力=4或/(力=今的兩根也關(guān)于》=一持?對

稱.而選項(xiàng)D中"笆工上且.故選D.

22

【點(diǎn)睛】對于形如/[g(x)]=0的方程(常稱為復(fù)合方程)，通過的解法是令，=g(x),從而得到方程組

/(0=o

，考慮這個(gè)方程組的解即可得到原方程的解，注意原方程的解的特征取決于兩個(gè)函數(shù)的圖像特征.

g(x)=f

二、填空題

2.(2020?上海高三專題練習(xí))函數(shù)y=32-3F的單調(diào)遞減區(qū)間是,

【答案】(0,的)

【分析】本題首先可令〃=2-3/，則y=3",然后根據(jù)〃=2—3好以及y=3"的單調(diào)性即可求出函數(shù)

y=32-37的單調(diào)遞減區(qū)間.

【詳解】令“=2-3/，則y=3",

因?yàn)椤霸赬G(F,0)上遞增，在XG(O,*?)上遞減，而y=3"是增函數(shù)，

所以原函數(shù)y=32-3’的遞減區(qū)間為(0,+。)，

故答案為：(0,+8).

【點(diǎn)睛】判斷復(fù)合函數(shù)單調(diào)性要注意把握兩點(diǎn)：一是要同時(shí)考慮兩個(gè)函數(shù)的定義域；二是同時(shí)考慮兩個(gè)函

數(shù)的單調(diào)性，正確理解“同增異減''的含義.

3.(2020?上海高三專題練習(xí))已知/(x)=/n(x—2m)(x+m+3),g(x)=2*-2,若同時(shí)滿足條件：

①VxeRJ(x)<0或g(x)<0；②玉e(-a),-4),f(x)g(x)<0.則m的取值范圍是.

【答案】me(-4,-2)

［解析】根據(jù)g(x)=2'-2<0可解得X<1,由于題H中第一個(gè)條件的限制，導(dǎo)致f(x)在XN1是必須是

f(x)<0,當(dāng)m=0時(shí),/(%)=0不能做到心)在轉(zhuǎn)1時(shí)/(幻<0,所以舍掉，因此，f(x)作為二次函數(shù)開

口只能向下，故m<0,且此時(shí)2個(gè)根為王=2根,9=一加一3,為保證條件成立，只需

x=2m<1m<—

°,n{2,和大前提m<0取交集結(jié)果為一4<根<0；又由于條件2的限制，可分析得

x,=—m—3<1.

-m>-4

出在co,T),/(x)恒負(fù)，因此就需要在這個(gè)范圍內(nèi)g(x)有得正數(shù)的可能，即-4應(yīng)該比X&兩個(gè)根中

較小的來的大，當(dāng)〃ze(-1,0)時(shí)，―加―3<—4,解得交集為空，舍.當(dāng)m=-l時(shí)，兩個(gè)根同為—2>-4,

舍.當(dāng)me(-4,—1)時(shí)，2〃?<—4,解得用<—2,綜上所述，me(-4,-2).

【考點(diǎn)定位】本題考查學(xué)生函數(shù)的綜合能力，涉及到二次函數(shù)的圖像開口，根大小，涉及到指數(shù)函數(shù)的單

調(diào)性，還涉及到簡易邏輯中的“或”，還考查了分類討論思想.

4.(2020?上海高三專題練習(xí))在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)定點(diǎn)A(a,a),P是函數(shù)y=,(x>0)圖象上一

x

動點(diǎn).若點(diǎn)P,A之間的最短距離為20,則滿足條件的實(shí)數(shù)a的所有值為.

【答案】一1或亞

試題分析：設(shè)點(diǎn)P(x,J(x>0),則

令f=x+Lx>0,.*./>2

x

令g（，）=廣一2at+2a~_2=（/_+礦_2

(1)當(dāng)“22時(shí)，時(shí)g(r)取得最小值g(a)=a2-2,一2=2及，解得a=

(2)當(dāng)a<2時(shí)，g?)在區(qū)間［2,+oo)上單調(diào)遞增，所以當(dāng)r=2時(shí)，g")取得最小值g(2)=勿2-4。+2

.?.，2片—44+2=2&，解得。=-1

綜上可知：。=一1或4=而

所以答案應(yīng)填：-1或癡.

考點(diǎn)：1、兩點(diǎn)間的距離公式；2、基本不等式；3、一元二次函數(shù)的性質(zhì).

r（1與

5.（2020?上海高三專題練習(xí)）已知a=（6,T），b=弓，；，且存在實(shí)數(shù)k和，，使得x=a+d-3）。，

[22）

女十產(chǎn)

y=—ka+tb，且則巴土的最小值________.

t

7

【答案】一二

4

【分析】根據(jù)題意將x=a+（5一3）〃，y=—3+加且工，y,代入化簡后得左J的關(guān)系，

k+,2

再代入到竺L,轉(zhuǎn)化為求關(guān)于，的函數(shù)的最小值.

t

【詳解】,**ci—（V3,—1）?b-（―,——■）????何=2,同=l,a,Z?=0,

t3-3r

又???[々+（*-3）勿?（一%+由）=0,化簡得左二-----,

4

r3-3r2

k+t24+t1/2“c、1/c、27,

-----=----------=T（廠+4r—3）=1?+2）-

tt444

,當(dāng)f=-2時(shí)）+'有最小值一故答案為：一：

t44

【點(diǎn)睛】本題考查了向量垂直的坐標(biāo)表示，考查了轉(zhuǎn)化與化歸的思想，將最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值,

屬于中檔題.

三、解答題

6.（2020.上海高三專題練習(xí)）設(shè)a〉0,0<X<2TT,若函數(shù)y=cos?x-asinx+。的最大值為0,最小

值為-4,試求。與〃的值，并求使y取得最大值和最小值時(shí)的x值.

a=2jr37t

【答案】…當(dāng)》=￡時(shí)，v取得最小值；當(dāng)彳=工時(shí)，y取得最大值.

b=-222

【分析】通過同角三角函數(shù)的平方關(guān)系進(jìn)行化簡，然后進(jìn)行配方法，對a分類討論，結(jié)合函數(shù)的最值，求

出的值，從而得到解析式，最后求出相應(yīng)最值時(shí)的x的值即可

【詳解】/W=y=cos2x-?sinx+/?=-sin2x-?sinx+/?+l=-(sinx+^)2+?+/?+1

因?yàn)椤?gt;0,所以---<0,

2

(i)當(dāng)一14一@<0,即0<〃42時(shí)，

2

2

Xnax=/(-1)=y+^+l=0①

Vmin=/()="一口=T②

a=2a--6

由①，②解得c或，（舍去）

h=-2b=-l0

(ii)當(dāng)一0<—1,即a>2時(shí),

2

^max=f(.~l)=a+b=O③

Nmin=/⑴=》一a=~4④

a=2fa=2

由③，④解得，c（舍去）綜上，，一

b=，l[b=-2

77*3TC

所以/（x）=cos?x—2sinx—2=—（sinx+l）2,當(dāng)》=弓時(shí)，）'取得最小值；當(dāng)苫=5時(shí)，丫取得最大值

【點(diǎn)睛】此題考查三角函數(shù)的最值，以及同角三角函數(shù)的關(guān)系和配方法，同時(shí)考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想,

屬于中檔題

jrjr

7.（2020?上海高三專題練習(xí)）若1<%<萬，求函數(shù)y=1曲2%匕113犬的最大值.

【答案】-8

【分析】先根據(jù)二倍角正切公式化簡，取倒數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于」一的一元二次函數(shù)，再根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求

tan-x

最值，即得結(jié)果.

7171

【詳解】Q—<x<—/.tanx>1

42

4

2tanx32tanx11z11、

「?y=-------tanx=-----（——；------------------—）.

l-tan-xl-tan-xy2tanxtanx

11191191

令，=----，貝！J，e（0,l）—（r=.

tan~xy2224

1111」1,、」c

當(dāng)，=—時(shí)，一最小值為—，，-gW—<0,丁4一8

2y88y

即》的最大值為-8,故答案為：-8

【點(diǎn)睛】本題考查二倍角正切公式、利用二次函數(shù)求最值，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.

8.(2020?上海高三專題練習(xí))已知向量a,b，c,d及實(shí)數(shù)X,》，且|a|=g|=l,c=a+(x—3)人，

d=—ya+xb，若a_Lb，c_Ld，且1。區(qū)V10?

(I)求y關(guān)于X的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=/(x)及定義域；

(2)求函數(shù)/(X)的最大值與最小值.

9

【答案】⑴y=^-3x,0<x<6；(2)/(x)max=18,/(x)inin

【分析】(1)根據(jù)c_Ld得到y(tǒng)=d—3x,根據(jù)|c|wj而計(jì)算得到0<xW6,得到答案.

(2)根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)計(jì)算得到答案.

【詳解】(1)od=[a+(x-3)。]?(一/+賄)=7—+x(x-3)0-+[x-y(x-3)]a.。

=-y+x(x-3)=0,故y=d-3x，

c2=[a+(x—3)Z?]=?'+(%—3)2Z?+2(%—=l+(x—3)2<10,解得0WxW6,

故解析式為y=/(x)=￡-3x,0<x<6.

⑵y=/(x)=x2_3x=(x—2_：，

(3、g

故小*=/圖=一"〃x)a=/(6)=62-18=18.

【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)向量垂直求函數(shù)解析式，求函數(shù)最值，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.

9.(2020?上海高三專題練習(xí))a>0,當(dāng)時(shí)，函數(shù)/(x)=—V—皈+匕的最小值是一1,最大值

是1,求使函數(shù)取得最大值和最小值時(shí)相應(yīng)的x的值.

【答案】當(dāng)X=1時(shí)，/(X)取最小值；當(dāng)X=1-后時(shí)，/(X)取最大值

【分析】由已知可得函數(shù)的對稱軸方程為*=一]<0,可得/⑺疝…/⑴，對一界—1，—L,一￡<0分

類討論求出/(x),皿，建立關(guān)于。泊的方程組，求出a,。，即可得出結(jié)論.

[詳解】/(x)=-x2-ax+b=-(x+-1)2+

對稱軸方程為x=—,

2

當(dāng)一@＜一1,即。＞2時(shí)，/(%)在單調(diào)遞減,

2

"(幻2=/(-1)"?！?)，

[a+h=2a=l

即Vb=l(舍去);

—a+h=O

當(dāng)一L,\＜0,即0＜。42時(shí)，/(x)max=/(-y),/U)min=/(D

—+b^\]a=2血-2以=-2及-2

即14，解得｛L或L(舍去)，

M+A=OW=2忘-2,=-20-2

所以當(dāng)X=1時(shí)，/(X)取最小值；當(dāng)x=l—血時(shí)，/(X)取最大值.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，利用單調(diào)性求最值是解題的關(guān)鍵，考查分類討論思想及計(jì)算求解能力,

屬于中檔題.

YV2

10.(2020?上海高三專題練習(xí))(1)求與--乙=1共漸近線且焦距為8的雙曲線方程；

53

(2)定點(diǎn)A(4,0)到/一y=/(。＞0)上的點(diǎn)最近距離為逐，求〃，并求雙曲線上到點(diǎn)A距離為百的

點(diǎn)的坐標(biāo).

2222

【答案】(1)——=1或-------1：(2)a=時(shí)P(2,±l)：a=4+時(shí)P(4+V^,0).

106610

【分析】(l)根據(jù)共漸近線可設(shè)方程，再根據(jù)焦距列等量關(guān)系，解得結(jié)果；

(2))設(shè)P(x,y)為/-卜2=/上的點(diǎn)，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式列函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合點(diǎn)P(x,y)在雙曲線上,

轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)，根據(jù)對稱軸與定義區(qū)間位置關(guān)系討論最小值取法，進(jìn)而確定。以及對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo).

22

【詳解】(1)設(shè)雙曲線方程為、一《=/1(/1H0).

若4＞0,則cr=5Z‘h~—34.c2=8Z=42,；?4=2.

若A<0,貝ij/=—32，h2=—5/1，c2=—8/1=42?，2=-2.

2222

因此，所求方程為土-匕=1或上一二=1.

106610

(2)設(shè)P(x,y)為/一：/=/上的點(diǎn)

則|PA『=(x-4)2+丁=(%-4)2+x2-a2=2x2-8x+16-a2(x2a或x4-a),

對稱軸x=2.

若a<2,則當(dāng)x=2時(shí)，|E4|,,=8-4=5.

nun~

解得a=G(負(fù)舍)，此時(shí)尸(2,±1)：

若a>2,則當(dāng)x=a時(shí)，|Q4|3=a2-8a+16=5,解得”=4+石(a=4—6<2舍)，此時(shí)

P(4+石,0).

【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)漸近線求雙曲線方程、利用二次函數(shù)求最值，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.

叁妄>指對塞函數(shù)

一、單選題

1.(2020?上海高三專題練習(xí))若函數(shù)/(x)=J二，則該函數(shù)在(-8,+8)上是()

A.單調(diào)遞減無最小值B.單調(diào)遞減有最小值

C.單調(diào)遞增無最大值D.單調(diào)遞增有最大值

【答案】A

【詳解】本題考查函數(shù)的單調(diào)性及最值.

設(shè)f=2'+l,則當(dāng)xw(T?,+<?)時(shí)為增函數(shù)，且r>l；

于是y=^，=l(f>l)為減函數(shù)，其圖象如圖所示：

則故y=kT為減函數(shù)且y<i；圖象在y軸上方，y>o,所以原函數(shù)既無最小值，也無最大值?

2+1

故正確答案為A.

2.（2020?上海高三專題練習(xí)）滿足（加+1）1＜（3—2，〃）T的實(shí)數(shù)〃?的取值范圍是（）.

23(2。1，|、

A.B.

352二'3

7

223

C.—,+00D.(-oo,-l)U

33?2

【答案】D

【分析】根據(jù)嘉函數(shù)二■的單調(diào)性結(jié)合函數(shù)值的正負(fù)，將所求不等式轉(zhuǎn)化為關(guān)”的一次不等式組，求

解即可.

【詳解】暴函數(shù)y=H在（0,+8）為減函數(shù),且函數(shù)值為正,

在（-oo,0）為減函數(shù)，口.函數(shù)值為負(fù),

11

(/?+lp<(3—2m)不等價(jià)于，

3—2m>0m+1<03-2m>0

<或<

m+l>3-2mm+1>3-2mm4-1<0

23

解得一＜m＜一或a￡0或加＜一1,

32

（23、

所以不等式的解集為（-8,-l）u三弓.

13ZJ

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查不等式的求解，利用塞函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵，考查分類討論思想和計(jì)算求解能力,

屬于中檔題.

3.（2020.上海高三專題練習(xí)）若。＞方＞1,3=Jlgalg+,Q=g（lga+Igb）,/?=lg（^^）,則（）

A.R<P<QB.P<Q<RC.Q<P<RD.P<R<Q

【答案】B

【分析】利用對數(shù)函數(shù)y=igx,結(jié)合基本不等式即可確定尸、。、R的大小關(guān)系

【詳解】由于函數(shù)y=lgx在(0,+8)卜.是增函數(shù)

a>b>\,則lga>lgb>0

由基本不等式可得

7=<g(lga+lgb)=glg(aZ?)=lg?^<lgg2=H

因此，P<Q<R

故選：B

【點(diǎn)睛】本題考查了利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小，應(yīng)用函數(shù)思想構(gòu)造對數(shù)函數(shù)，并利用其單調(diào)性和基

本不等式比較大小

4.(2020?上海高三專題練習(xí))函數(shù)_/U)=a、r的圖象如圖，其中a,b為常數(shù)，則下列結(jié)論正確的是()

A.a>l,b<0

B.a>\,b>Q

C.0<a<l,b>6

D.0<a<l,b<0

【答案】D

【分析】由函數(shù)的單調(diào)性得到0<a<l,再根據(jù)函數(shù)火x)=a「〃的圖象是在y(x)=a的基礎(chǔ)上向左平移得到的,

分析出匕的范圍.

【詳解】由yu)=。'〃的圖象可以觀察出，函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減，

所以

函數(shù)兀0=爐”的圖象是在40=談的基礎(chǔ)上向左平移得到的，

所以6Vo.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查圖象變換，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.

二、填空題

5.（2020?上海高三專題練習(xí)）若10'=3,10'=4,則1（T三.

3

【答案】-

【解析】因?yàn)?0。=3,10、=4,所以l（）r=U10*=23,應(yīng)填答案3一.

10,44

6.（2020?上海高三專題練習(xí)）已知1喻2=工,108。3=丫，則/+>，=

【答案】12

【解析】解：因?yàn)閘og"2=x,log“3=y,則2x+y=21og“2+log“3=log“12,a2，+>=*g“i2=i2

7.（2020.上海高三專題練習(xí)）函數(shù)y=log〃（x+3）-1.（?！?且）的圖像恒過定點(diǎn)A,若點(diǎn)A在直

12

線7nx+〃y+l=0上（其中根，71>0）,則一+一的最小值等于.

mn

【答案】8

【分析】根據(jù)函數(shù)平移法則求出點(diǎn)A（—2,-1）,得2機(jī)+〃=1,再結(jié)合基本不等式即可求解

【詳解】由題可知，丁=108“（％+3）—1恒過定點(diǎn)（-2,—1）,乂點(diǎn)4在百線皿+毆+1=0匕故2機(jī)+〃=1,

12rl2、n4-mr-112

一+—=一+—（2m+〃）=4+—+—>4+274=8,當(dāng)且僅當(dāng)〃=2m=—時(shí)取到等號，故一+―的

mn\mn）mn2mn

最小值等于8

故答案為：8

【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)平移法則的使用，基本不等式中“1”的妙用，屬于中檔題

8.（2020?上海高三專題練習(xí)）函數(shù)y=l°gl?nx一cosx）的單調(diào)遞增區(qū)間是

3

（37r5乃）

【答案】2^+—,2^+—UeZ

【分析】首先化簡函數(shù)y=log1夜sin（x-?）,先求函數(shù)的定義域，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)

的單調(diào)遞增區(qū)間.

【詳解】

/\

函數(shù)化簡為y=iogiV2sinx---

3<4>

/IT\1T

函數(shù)的定義域需滿足5泊［*一4）>。02%乃<%-1<2匕1+萬，keZ

TT、冗

解得：2k?tH—<x<2k,7r4-----,kwZ①

44

根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知，

2k兀H—<x----<H------,keZ、

242

3乃7萬

解得：2左乃H---<x<2&乃H----,keZ、②

44

37r57r

綜匕①②求交集可得2人萬H---<x<2k/rH----，k￡Z,

44

(57r、

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是12%乃+彳,24萬+q-J,&eZ.

（3457r1

故答案為：12左"+7-,2%乃+-^—）左￡Z

【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題型，本題容易忽略函數(shù)的定義域.

三、解答題

9.（2020?上海高三專題練習(xí)）設(shè)集合A={x+42-*,B={x|x2-3mr+2/M2-/n-l<（）}.

（1）當(dāng)xeZ時(shí)，求A的非空真子集的個(gè)數(shù)；

（2）若8=0,求機(jī)的取值范圍；

（3）若A衛(wèi)8,求m的取值范圍.

【答案】（I）254個(gè)；（2）機(jī)=一2；（3）加=一2或一掇加2

【分析】（1）利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)化簡集合A,再利用子集個(gè)數(shù)公式求解即可；

（2）由由5=0,f一3力x+2/”2—m―1<0無解，則其對應(yīng)的方程的△?（）

（3）討論三種情況，分別化簡集合5,利用包含關(guān)系列不等式求出機(jī)的范圍，綜合三種情況可得結(jié)果.

【詳解】解：化簡集合4={劃―2<%<5},集合8={x|（x-m+1）（%-2加—1）<0}.

（1）兀€乙;.4={—2,—1,0,1,2,3,4,5}.即4中含有8個(gè)元素，

故A的非空真子集數(shù)為28-2=254個(gè).

（2）由6=0,則△=（一3m）2—4（2加2-加一1）40,得（〃?+2）240，

得m--2.

（3）①加=一2時(shí)，5=0qA；

②當(dāng)機(jī)<一2時(shí)，（2加+1）-（加-1）=2+m<0,所以3=（2加+1,加-1）,因此，要BqA,則只要

2m+12—23

<,「=>一一<m<6,所以加的值不存在；

m-l<52

,、/71—1>—2

③當(dāng)機(jī)>一2時(shí)，3=（加-1,2m+1）,因此，要BqA,則只要<=>-l</n<2.

[2m+\<5

綜上所述，知機(jī)的取值范圍是加=-2或-1V"?42.

【點(diǎn)睛】本題考查集合的真子集個(gè)數(shù)的求數(shù)，考查滿足條件的實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，考查了分類討論思想的

應(yīng)用，屬于中檔題.

10.（2020?上海高三專題練習(xí)）確定函數(shù)/>（x）=log1夜sin（x—的定義域、值域、單調(diào)區(qū)間、奇偶

性、周期性.

Jr57r!

【答案】定義域：｛幻2%%+生<X<2上左+L,AeZ｝；值域：[一一,+oo）；單調(diào)區(qū)間：的遞減區(qū)間

442

是12%乃+工，2左乃+二乃次eZ：遞增區(qū)間2攵萬+二乃,2%乃+一萬,k^Z-奇偶性：非奇非偶函數(shù)；周

144」L44）

期性：周期函數(shù)，且最小正周期是2萬

【分析】化筒函數(shù)式為/（x）=—g+log[Sin]x-7）根據(jù)對數(shù)函數(shù)的真數(shù)sin（x-?）>0,結(jié)合正弦函

數(shù)的性質(zhì)，可得/（x）定義域：由正弦函數(shù)的有界性和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可得“X）的值域；利用復(fù)合函數(shù)

單調(diào)性增減原則，結(jié)合正弦型函數(shù)的單調(diào)性，即可求出f（x）的單調(diào)性；先判斷定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱，

否則就是非奇非偶，若對稱，再判斷/（一x）與f（x）的關(guān)系；/（x）的周期取決于亞sin（x—f]的周期.

【詳解】由已知/（x）=log1

必須sin[x——

（1）欲使，（x）有意義,>0,

JI

2kn<x-—<2%乃+乃次wZ,

T[S/r

即2攵乃H—<尤v2k兀H---,ZcGZ,

44

7157r

所以/。)的定義域?yàn)椋2%乃+—＜工＜2%"+—水￡2｝；

44

7171

(2)sinx￡(0,1],.=log]sin[x>0,

即/(x)…一;，所以/(x)的值域?yàn)?

(3)考慮到sin1了一?JI

>0,即x——E(2%萬,2女乃+萬).

4

兀jl\T7Ct53

當(dāng)x---G2k;r,2k/r+—,即xw2Qr+—,2Z%+二"，kEZ時(shí),

4I2jI44J

y=sin卜一?

單調(diào)遞增，/(x)單調(diào)遞減,

713

所以/(x)的遞減區(qū)間是—,2ZTTH—7i,keZ.

I44

35、

同理可求，/(%)的遞增區(qū)間2左萬+—),2左乃+—萬，女￡2.

44)

(4)由于〃x)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以J。)是非奇非偶函數(shù).

71

(5)由于JEsinX——是周期為27的函數(shù),

所以/(x)是周期函數(shù)，且最小正周期是2%.

【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)，涉及到對數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的性質(zhì)，掌握正弦函數(shù)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵,

考查邏輯推理、數(shù)學(xué)計(jì)算能力，屬于中檔題.

多通函數(shù)的綜合應(yīng)用

一、單選題

1.(2020?上海高三專題練習(xí))函數(shù)f(x)=?-cosx在［0,+8)內(nèi)).

A.沒有零點(diǎn)B.有且僅有一個(gè)零點(diǎn)

C.有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)D.有無窮多個(gè)零點(diǎn)

【答案】B

【詳解】令乂=五，%=cosx,則它們的圖像如圖

故選B

2.(2020?上海高三專題練習(xí))若則()

A.xoG(―,—)B.xoG(―,—)C.xoG(—,—)D.迎6(0,—)

3243646

【答案】C

【分析】畫出丫二乂^二^^^^的圖像判斷出兩個(gè)函數(shù)圖像只有一個(gè)交點(diǎn)，構(gòu)造函數(shù)/（x）=x-cosx,利用

零點(diǎn)存在性定理，判斷出了（X）零點(diǎn)與所在的區(qū)間

【詳解】畫出y=x，y=cosx的圖像如下圖所示，由圖可知，兩個(gè)函數(shù)圖像只有一個(gè)交點(diǎn)，構(gòu)造函數(shù)

/(x)=x—COSX,=-?0.523-0.866=-0.343<0,

{6J62

?0.785-0.707=0.078>0,根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可知“X）的唯一零點(diǎn)與在區(qū)間

故選：C

【點(diǎn)睛】本小題主要考查方程的根，函數(shù)的零點(diǎn)問題的求解，考查零點(diǎn)存在性定理的運(yùn)用，考查數(shù)形結(jié)合

的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.

3.(2020?上海高三專題練習(xí))設(shè)定義域?yàn)镽的函數(shù)/(x)={I"",，則關(guān)于工的方程

0，彳=1

，2(x)+"?(x)+c=0有7個(gè)不同實(shí)數(shù)解的充要條件是()

A.6<0且c>0B.h>OMc<0C.bvO且c=0D.h>OS.c=O

【答案】C

【解析】因?yàn)?(X)NO,所以由題設(shè)可知c<0不成立，排除答案應(yīng)當(dāng)人<0,c>0時(shí)，如取

3=-l,c=l,則/2(x)+/(x)+c=0無解，故應(yīng)排除答案A;若人=。,。=0,也不合題意，所

以應(yīng)排除答案D；當(dāng)6<0且c=0時(shí)?，方程/(x)+"(x)+c=0可化為f(x)=OJ(x)=-h符合

題意，應(yīng)選答案C。

點(diǎn)睛：解答本題所運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想方法不是正面進(jìn)行求解，而是采用排除、篩選的方法，將題

設(shè)提供的四個(gè)選擇支中的四個(gè)答案逐一分析推斷，排除和剔除錯誤的答案，選出正確的命題的

答案，從而使得問題獲解。

二、填空題

-,x>2

4.(2020?上海高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=Jx,若關(guān)于％的方程=Z有兩個(gè)不同的

(x-1)3,%<2

實(shí)根，則數(shù)々的取值范圍是.

【答案】(0,1)

22

【分析】分類討論代入解析式，求出/(%)=&的兩個(gè)根為x=￡，x=T+&，山工N2且1+我<2可

K